認識基本圖形：為數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展奠基

摘? 要：文章對“母子直角三角形”包含的基本條件、主要結論和教材分布等情況進行了研究，并以此為例呈現(xiàn)了認識基本圖形的不同角度和基本方法.

關鍵詞：數(shù)學建模;基本圖形;案例分析;教學規(guī)劃

在初中階段，基本圖形是較為常見的數(shù)學模型. 教師借助基本圖形進行教學，可以讓學生經(jīng)歷“數(shù)學抽象—模型建構—問題解決”的過程，以發(fā)展其數(shù)學建模素養(yǎng). 在這個過程中，對基本圖形的充分認識是最為重要的. 教師應該充分利用課堂教學，幫助學生從不同角度認識基本圖形，不斷夯實基本圖形的應用基礎. 本文結合一個常見基本圖形談談筆者的思考，希望能為一線教師的教學帶來啟示.

一、一個常見基本圖形的分析

數(shù)學模型蘊藏于學生的數(shù)學認知活動中，是學生利用數(shù)學知識解決問題的主要工具之一. 在很多數(shù)學問題中都有著固定結構的基本圖形，其極易引發(fā)學生對重要數(shù)學結論的聯(lián)想，使他們能夠快速形成解決問題的思路. 因而，教師把這些基本圖形也作為數(shù)學模型進行教學，以此來發(fā)展學生的數(shù)學建模素養(yǎng). 下面，我們就先來認識這樣一個基本圖形.

1. 基本條件

如圖1，在[△ABC]中，[∠ACB=90°，] [CD⊥AB]于點D.

2. 重要結論

（1）角之間的關系.

① 由 垂直的定義，得[∠ACB=∠ADC=∠BDC][=90°;]

② 由直角三角形的兩個銳角互余，得[∠A+∠B=][∠ACD+∠A=∠B+∠BCD=90°;]

③ 由同角的余角相等，得[∠A=∠DCB，∠B=∠ACD.]

（2）三角形之間的關系.

由兩角分別相等的兩個三角形相似，得[△ACD∽][△CBD∽△ABC.]

（3）邊之間的關系.

① 由垂線段最短，得[AC>CD，BC>CD;]

② 由勾股定理，得[AB2=AC2+BC2，AC2=AD2+CD2，][BC2=BD2+BC2;]

③ 由相似三角形的對應邊成比例，得[ACCB=ADCD=][CDBD， ACCD=ABCB=BCBD.]

④ 由比例的性質(zhì)，得[AC · CD=AD · CB，] [CD2=][AD · BD，AC · BC=AB · CD，BC2=AB · BD.]

（4）邊、角之間的關系.

由銳角三角函數(shù)的定義，得[sinA=BCAB=CDAC，cosA=] [ACAB=ADAC，] [tanA=BCAC=CDAD.]

（5）三角形的面積.

由三角形的面積公式，得[S△ABC=12AC · BC=][12AB · CD.]

3. 教材分析

圖1是由[Rt△ABC]及其斜邊上的高CD構成的，在初中數(shù)學中有很多問題會涉及這一基本圖形. 以人教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）為例，在除了教材七年級上冊以外的五本教材中，蘊含圖1（含“基本條件”）或與圖1高度相近的教學內(nèi)容至少有16處. 具體見下表.

在上述問題中，與圖1相關的內(nèi)容基本上是以“圖形 + 文本”的形式漸進呈現(xiàn)的，而“圖1 + 基本條件”是辨識度最高的內(nèi)容架構. 在這一架構之上，通過上述16個問題及變式問題的解答與交流，相關重要結論逐步生長出來，不斷豐富和拓寬學生對圖1的認知，使以圖1為支撐的數(shù)學結構成為學生解決數(shù)學問題的重要工具. 在教材中，同一類型的數(shù)學結構以如此高的頻次出現(xiàn)，足以說明其在本學段的重要性. 因而，包括筆者在內(nèi)的很多一線教師將圖1作為基本圖形展開教學，根據(jù)教學進度不斷豐富與發(fā)展其數(shù)學結構，形成基于圖1的龐大知識網(wǎng)絡，更好地培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)的發(fā)展.

4. 基本圖形的賦名

從上表中不難看出，學生最早接觸圖1是在教材七年級下冊“5.1.2 垂線”，給出的圖2及“[PO⊥l]”中就已經(jīng)有了圖1的影子. 教材八年級上冊第14頁“練習”第1題給出的條件“如圖1，[∠ACB=90°，CD⊥AB，] 垂足為D”與后面幾冊教材中圖1反復出現(xiàn)時所給條件完全一致，要探索的“[∠ACD]與[∠B]的關系”不僅是本節(jié)課知識的應用，還是后面很多與圖1相關結論探索的基礎. 鑒于“基本條件 + 圖1”中蘊含的豐富數(shù)學結論不僅能在問題解決中發(fā)揮“工具”作用，還能使學生在數(shù)學學習中得到更好地發(fā)展. 因此，筆者在進行該課教學時，引導學生剖析圖形特征——直角三角形 + 斜邊上的高，在回顧圖中邊的關系的基礎上，進一步推導出圖中角的關系，并在學生認同的情況下將圖1這一基本圖形稱為“母子直角三角形”.

在接下來的學習中，隨著學生對勾股定理和相似三角形探索的不斷深入，各種基于“圖1 + 基本條件”的不同類別的結論逐漸生長，不斷豐富著這一基本圖形的內(nèi)涵. 與此相伴的是，很多數(shù)學問題需要學生從復雜的情境中發(fā)現(xiàn)并抽象出“母子直角三角形”，并應用其中蘊含的重要結論去建構等量關系解決問題. 在整個初中階段，每次“母子直角三角形”內(nèi)涵的豐富與應用的升級，不僅會提高學生分析問題和解決問題的能力，還會同步推動學生的數(shù)學建模素養(yǎng)的快速發(fā)展.

二、從不同角度認識基本圖形

基本圖形一般具有抽象性、典型性、綜合性、應用性等特征. 因而，認識一個基本圖形，應是一項“綜合工程”. 在接觸之初，教師就應引導學生對圖形進行多角度、全方位的分析，通過對基本條件、存在結論、適用情境等諸多要素逐一分析，理清圖形的整體架構、生長流程、適用范圍和應用前景.

1. 分析圖文條件，理清外部架構

任何一個基本圖形，都是基于一定條件之上“生長”而成的. 因而，對條件的細致分析應該成為學生認識基本圖形的第一步. 對于基本圖形的教學，教師不僅要引導學生讀懂以文字、圖形、符號等形式呈現(xiàn)的基本條件，還要理清這些條件之間的關系，通過條件的比對呼應明晰其外部架構. 例如，在解答教材八年級上冊第14頁“練習”第1題時，學生首次完整接觸圖1，這也是“母子直角三角形”在整套教材中第一次成型出現(xiàn). 此時，教師應該引導學生通讀文圖條件，將文本條件“[∠ACB=90°，CD⊥AB，] 垂足為點D”與圖形中標注的直角符號聯(lián)系起來，并分別明確圖中線段之間、三角形之間的關系. 解讀線段間的特殊位置關系，明確圖中的“雙垂直”（[AC⊥CB，] [CD⊥AB]）關系;觀察三個直角三角形間的位置關系，明確[Rt△ABC]對兩個共邊直角三角形[Rt△ACD]和[Rt△CBD]的包含關系. 明確了基于給定條件的位置關系，也就形成了基本圖形的外部架構，這是學生從“外在長相”上把握圖形特征的基礎，也是學生發(fā)現(xiàn)、分析和應用基本圖形的基礎，更是學生數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展的基礎.

2. 推導主要結論，明晰圖形內(nèi)核

基本圖形是簡化了的數(shù)學結構，不僅包括由文本呈現(xiàn)的基本條件下的圖形，還包含蘊藏于圖形中的結論. 其中，這些結論是圖形應用的主體，是其價值發(fā)揮的核心元素. 認識基本圖形，應對圖中所蘊含的數(shù)學結論進行重點認知，教師不僅要讓學生發(fā)現(xiàn)蘊含其中的主要數(shù)學結論，還要讓他們經(jīng)歷這些結論的推導過程. 以“母子直角三角形”為例，教師應該結合具體的教學時點，讓學生發(fā)現(xiàn)并證明上面的重要結論，以實現(xiàn)圖形內(nèi)核的自然生長. 例如，對于結論（1）③，教師應該利用教材八年級上冊第14頁“練習”第1題的教學引導學生進行探索. 因為有了“直角的定義”“直角三角形兩銳角互余”和“同角的余角相等”等知識的鋪墊，通過對此題的探索，學生是可以依次推導出上面（1） 中的三個重要結論，隨著結論（1）③的得出，基本圖形中角之間的關系便聚集明晰，成為新的應用點. 與此類似的其他結論，教師同樣應該緊扣上面表格中的問題，安排學生自主探索，使其“知其然，且知其所以然”，用不斷“生長”出的新的數(shù)學結論，充實圖形的內(nèi)核，擴大其適用范圍. 學生有了一次次清晰的獲得后，對圖1的認知就會不斷加深，他們才有可能對“母子直角三角形”做到抽象合理準確、提取自然順暢、應用坦然有序，其數(shù)學建模素養(yǎng)才會得到同步發(fā)展.

3. 關注適用情境，感知應用價值

一般地，基本圖形的抽象與應用都離不開具體的情境. 對基本圖形的教學，認識其存在情境應該是一個重點. 在初中階段，蘊含基本圖形的情境有兩類，一類是與學生息息相關的生活情境，另一類是具有學科特征的數(shù)學情境. 在教學過程中，教師要結合具體的情境，讓學生思考這里有沒有我們熟悉的圖形？是什么圖形？你能根據(jù)這一圖形得到哪些結論？這些結論中，哪些與要說明的數(shù)學問題之間有關系？用這些結論能解決問題嗎？在這種反復追問、精準標注與有效關聯(lián)中，使學生經(jīng)歷基本圖形的抽象與應用過程，并深刻領會基本圖形的生長背景、抽象途徑和應用方式，感知其應用價值.

例如，教材七年級下冊的圖5.1-9（即圖2）是在學生探索“垂線段最短”時給出的. 圖2很容易讓學生聯(lián)想到有多組斜拉索橋，這正是“母子直角三角形”中所隱藏的一種生活情境，將在與銳角三角函數(shù)相關的一些實際問題中出現(xiàn). 教學圖2時，教師有必要揭示圖2與斜拉索橋間潛在的關系，讓學生初步感知“母子直角三角形”適用的生活情境. 當然，“母子直角三角形”更多存在于數(shù)學情境中. 例如，教材八年級上冊習題13“復習鞏固”第7題：如圖3，在[△ABC]中，[∠ACB=90°，][CD]是高，[∠A=30°.] 求證[BD=][14AB]. 此題將“母子直角三角形”與30°角相結合，形成了蘊含更多結論的數(shù)學情境. 在教學這道練習題時，教師應該引導學生從多角度充分認識圖中的“母子直角三角形”，聯(lián)想與圖形相關的已學結論，再反復甄別哪些結論對問題解決是有用的，從而形成基于問題解決之上的數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展路徑.

三、如何讓學生認識基本圖形

1. 整體規(guī)劃，分段落實

和其他數(shù)學知識一樣，學生對基本圖形的認識不是一蹴而就的，其認知歷程一般都是由單一到綜合、由低級到高級、由簡單到復雜. 無論在哪個版本的教材中，基本圖形都是遵循“循序漸進，螺旋上升”的規(guī)則設計與呈現(xiàn)的. 因而，無論在哪個學段，想要讓學生認識基本圖形，都應該基于整個學段教材給定的順序展開. 為了更好地落實教材確定的教學要求，教師應通讀學段教材，整體把握基本圖形教學的具體時點和落實要求，然后站在學段學習，乃至整個數(shù)學學科學習的高度上，分段逐次對落實基本圖形的認知要求.

隨著年級的上升，“文本 + 圖形 + 結論”的數(shù)學結構不斷豐滿. 從教材給出的“生長”過程來看，想要讓學生深刻認識“母子直角三角形”，教師首先要結合教材的編排體系對其教學要求的學段分布有一個清醒的認識. 圖1的學習分為幾個階段？每個階段的認知基礎是什么？要達到怎樣的要求？獲得哪些具體的結論？……在對“母子直角三角形”的教材分布進行整體感知后，確定具體的教學時段、教學內(nèi)容和教學要求并分階段落實. 教材七年級下冊的教學，認識圖2，知道圖中存在“單垂直”，有可能出現(xiàn)“雙垂直”關系，同時知曉圖1中部分線段間的大小關系（結論（3）①）;教材八年級上冊的教學，探索圖1中的各個角的關系（結論（1）②③）和△ABC的面積的不同求法（結論（5））;教材教材八年級下冊、教材九年級上冊的教學，借助勾股定理認識圖1中部分邊的平方間的關系（結論（3）②）;九年級下冊的教學，認識圖1中的相似三角形（結論（2））、部分邊之間的比例關系（結論（3）③④）、圖中的邊、角之間的關系（結論（4））.

2. 緊扣節(jié)點，充分認知

“好雨知時節(jié)，當春乃發(fā)生”. 對基本圖形的認知，只有把握住“時節(jié)”，學生的認識才能深刻，其數(shù)學素養(yǎng)才能得到真正發(fā)展. 因此，在學生認識基本圖形的各個節(jié)點上，教師應設計出與學生認知基礎匹配的問題組，通過追問展開探索，引導他們充分認識圖形的條件、“生長環(huán)境”，以及基于基本條件可能獲得的數(shù)學結論，從而不斷豐富其內(nèi)涵.

例如，教材九年級下冊“27.2.1 相似三角形的判定”36頁“練習”第2題：如圖1，[Rt△ABC]中，CD是斜邊AB上的高. 求證：（1）[△ACD∽△ABC;] （2）[△CBD∽] [△ABC.] 這是對“母子直角三角形”中三角形之間關系的探索，是對“兩角分別相等的兩個三角形相似”結論的應用，如果不考慮基本圖形的認知要求，證得[△ACD∽△ABC]和[△CBD∽△ABC]就能達成課時目標. 然而，此題中還涉及了“母子直角三角形”，這是教材滲透、師生認同的重要數(shù)學圖形，在教學時，筆者首先以“這個圖形你們見過嗎”引出“母子直角三角形”，在引導學生證得題中的兩組相似三角形后，繼續(xù)追問：這三個三角形之間有著怎樣的關系？（結論（2））它們的邊之間有怎樣的關系呢？（結論（3）③）你能將得到的這些比例式轉化為等積式嗎？（結論（3）④）對這些問題的探索，增加了教學容量，將原本簡單的對兩個三角形關系的探索延伸到三個三角形的關系和相似三角形對應邊的關系上來. 如此拓展，讓學生對“母子直角三角形”中所蘊藏的數(shù)學結論有了更深層次的認識，為接下來解決更復雜的問題提供了更多的依據(jù)，夯實了學生數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展的基礎.

3. 回顧總結，強化建網(wǎng)

在數(shù)學學習中，遺忘是不可避免的. 學生對基本圖形的認識同樣是在“認知—遺忘—認知”的過程中曲折前行的. 圖形教學應該尊重這一認知規(guī)律，順應學生的發(fā)展態(tài)勢，在遵循教材編排順序，落實教材編排意圖的同時，通過對圖形基本架構的梳理與應用，實現(xiàn)對基本圖形內(nèi)涵的鞏固、提煉和擴張. 事實上，一個基本圖形的任何一次內(nèi)涵擴張，都應該是從已知到未知的過程，是其原有內(nèi)涵的自然延續(xù)和有效生長，教師應該將新內(nèi)涵的“生長”建構在對原有內(nèi)涵的充分梳理之上. 而在圖形內(nèi)涵得到有效拓展后，教師同樣要做好即時總結，讓新的生成與舊的網(wǎng)絡連接起來，形成更多維度的知識網(wǎng)絡.

例如，教學“母子直角三角形”時，探索圖1中三個直角三角形的相似關系時，自然要回顧圖中各個角之間的關系. 在獲得了相似關系之后，我們有必要引導學生進一步探索兩個相似三角形對應邊之間的關系，得出諸如[AC · BC=AB · CD]之類的結論. 對于結論[AC · BC=AB · CD，] 除了可以由比例式[ACCD=][ABCB]變形得到，還可以由[S△ABC=12AC ·][ BC=12AB · CD]和[sinA=][BCAB=CDAC]變形得到.這些結論之間的關聯(lián)理應成為教學中回顧、總結的重點. 因此，探索結論（4）時，不僅要回顧結論（3）和結論（5），還要總結它們與結論（4）之間的關系，將結論（3）（4）（5）關聯(lián)起來.

與學生在更高學段認知的幾何圖形相比，本文給出基本圖形是較為低級的，但它在學生數(shù)學建模素養(yǎng)發(fā)展的道路上所起的作用卻不容小覷. 對基本圖形“認識—應用—再認識”的過程，是學生發(fā)現(xiàn)模型、應用模型的過程，也是提升素養(yǎng)的過程. 基本圖形生于教材，長于教學. 因而，為了幫助學生更好地認識基本圖形，教師應該立足于教材、扎根于教學，站在發(fā)現(xiàn)學生數(shù)學建模素養(yǎng)的角度去分析教材，并結合圖形生長的階段性和持續(xù)性合理設計教學，使學生在不知不覺中發(fā)現(xiàn)它，認識它，并用好它.“母子直角三角形”是初中階段數(shù)學中常見的基本圖形，具有一定的代表性，但本文給出的認識角度和教學方法未必有示范性，大家可以批判性應用.

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