變中明晰 多題同源

彭象華

摘? 要：在一次教師說(shuō)題比賽中，組織者在教材上選取了三道題目，參賽選手根據(jù)抽簽內(nèi)容選講其中一道題目，每位選手根據(jù)題目的具體情況，進(jìn)行“一題多變”“一題多解”或“多題同法”的闡述，各選手講述精彩，特別是三道題目意外得到了統(tǒng)一，形異質(zhì)同、三題同源. 說(shuō)題是一項(xiàng)常見(jiàn)的教研活動(dòng)，有助于命題技巧的掌握，有利于解題能力的提高，有益于教學(xué)水平的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);教師說(shuō)題;多題同源

說(shuō)題是一種常見(jiàn)的教研活動(dòng)，是教師深入研究數(shù)學(xué)問(wèn)題后，說(shuō)自己對(duì)題目的認(rèn)識(shí)與理解;說(shuō)題目涉及的知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想;說(shuō)解題的途徑與方法;說(shuō)題目的變式與拓展. 筆者曾觀摩過(guò)一次教師說(shuō)題比賽，要求選手根據(jù)題目題目的具體情況，進(jìn)行“一題多變”“一題多解”或“多題同法”的闡述.

為重視教材，提高教師靈活運(yùn)用教材的能力，這些題目題目均選自湘教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”），各選手說(shuō)題思路清晰、風(fēng)格各異、亮點(diǎn)不斷，給了現(xiàn)場(chǎng)觀摩教師很好的啟發(fā). 筆者現(xiàn)在把題目和思考做些整理，與同行分享、交流.

一、案例呈現(xiàn)

1. 一題多變

題目1 （教材八年級(jí)上冊(cè)復(fù)習(xí)題2第15題）如圖1，兩只螞蟻分別位于一個(gè)正方形相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B上，它們分別沿AE和BF的路線向BC和CD爬行，如果AE和BF相互垂直，那么它們爬行的距離相等嗎？

這道應(yīng)用題實(shí)際上是一個(gè)幾何問(wèn)題，即在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，[AE⊥BF，] 問(wèn)AE和BF是否相等？

這道題目的求解比較簡(jiǎn)單，由已知，易證[△ABE≌][△BCF，] 所以[AE=BF，] 即兩只螞蟻爬行的距離相等. 題簡(jiǎn)易變，所以有的教師主要從“一題多變”的角度來(lái)闡述觀點(diǎn).

變式1：如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，[AE=BF]，求證：[AE⊥BF.]

變式1是通過(guò)互換題目1中的條件和結(jié)論，得到題目1的逆命題，然后判斷其逆命題為真命題. 因?yàn)閇AE=][BF，] [AB=BC，] [∠ABE=∠BCF=90°，] 所以[Rt△ABE≌][Rt△BCF.] 所以[∠BAE=∠FBC.] 所以[∠FBC+∠AEB=][90°.] 所以[AE⊥BF.]

變式2：如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，[BE=CF]，求證：[AE=BF]且[AE⊥BF.]

變式2是把題目1中的“AE和BF相互垂直”改為“[BE=CF]”，探究結(jié)論是否改變. 因?yàn)閇BE=CF，AB=][BC，∠ABE=∠BCF，]? 所以[Rt△ABE≌Rt△BCF.] 所以[AE=FB，] [∠BAE=][∠FBC.] 所以[∠FBC+∠AEB=90°.] 所以[AE⊥BF.]

變式3：如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)G，E，H，F(xiàn)分別是正方形邊上的點(diǎn)，如果GE和HF相互垂直，那么GE和HF相等嗎？

在題目1中，正方形內(nèi)部互相垂直的兩條線段的一個(gè)端點(diǎn)均為正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，我們將這兩條線段平移，探究結(jié)論是否成立. 如圖3，過(guò)點(diǎn)B作[BF∥HF，]交CD于點(diǎn)[F]，過(guò)點(diǎn)A作[AE∥GE]，交BC于點(diǎn)[E]，則[FH=][BF，EG=AE.] 由已知易證[△ABE≌△BCF.] 所以[AE=BF.] 所以[GE=HF.]

題目1中涉及的知識(shí)點(diǎn)有：正方形的性質(zhì)、垂直、全等三角形的判定與性質(zhì). 通過(guò)證明[△ABE≌][△BCF，] 可以得到[AE=BF.]

有的教師主要從“拓展提升”這個(gè)視角來(lái)闡述自己的想法.

拓展1：如圖4，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），垂直于AE的一條直線HF分別交AB，AE，CD于點(diǎn)H，P，F(xiàn). 探究線段DF，HB，EC之間的數(shù)量關(guān)系.

在題目1中，我們可以試著平移其中一條線段來(lái)尋找和發(fā)現(xiàn)結(jié)論的變化. 兩個(gè)直角三角形全等是關(guān)鍵，如圖5，過(guò)點(diǎn)B作[BF∥HF]交CD于點(diǎn)[F.] 則[HB=FF.]由已知易證[△ABE≌△BCF.] 所以[BE=CF.] 所以[EC=][BC-EB=DC-CF=DF=DF+HB.] 條件簡(jiǎn)單變化，結(jié)論就有了思維深度，但抓住“[△ABE≌][△BCF]”這個(gè)關(guān)鍵就比較容易找到解題途徑.

拓展2：如圖6，在四邊形AHFD中，如果[FD⊥AD，][HA⊥AD，GO⊥HF，] 垂足分別為點(diǎn)[D，A，O，OF=OH，] [GO=12HF，] 探究AD，DF，AH之間的數(shù)量關(guān)系.

在題目1和以上變式題及拓展題中，兩條垂線的垂足位于正方形內(nèi)部的任意一個(gè)位置，如果其位于正方形ABCD的中心O，再去掉四邊形BCFH，經(jīng)過(guò)思考和探究，則可以發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論. 如圖7，連接BD，則點(diǎn)O在直線BD上. 由已知易證[△DFO≌△BHO.] 所以[DF=][BH.] 所以[AD=AB=AH+HB=AH+DF.]

題目1以爬行的螞蟻?zhàn)鳛橐?，以正方形作為條件，探究正方形內(nèi)兩條互相垂直的線段的長(zhǎng)度關(guān)系. 在題目1講解的基礎(chǔ)之上，對(duì)題目進(jìn)行了多種改編，開(kāi)放設(shè)問(wèn)、變式探究，深入分析已知和結(jié)論之間的聯(lián)系，揭示了問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu).

2. 一題多解

題目2 （教材八年級(jí)上冊(cè)復(fù)習(xí)題2第16題）已知：如圖8，在等腰三角形ABC中，[∠C=90°，°] D是AB的中點(diǎn)，[DE⊥DF，] 點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC上. 求證：[DE=DF.]

證明線段相等可以利用等腰三角形的判定定理或證明三角形全等，但證明[△DEF]是等腰三角形比較困難，所以可以作輔助線構(gòu)造全等三角形. 通過(guò)嘗試和思考，可以找到多種解題思路，從而用“一題多解”的方法來(lái)說(shuō)題.

思路1：如圖9，過(guò)點(diǎn)D作[DG⊥AC，] [DH⊥BC，] 垂足分別為點(diǎn)G，H. 由已知條件易證[△AGD≌△BHD.] 所以[GD=HD.] 因?yàn)閇∠FDH+][∠HDE=90°，∠EDG+∠HDE=] [90°，] 所以[∠FDH=∠EDG.] 因?yàn)閇∠DGE=∠DHF=90°，] 所以[△DGE≌△DHF.] 所以[DE=DF.]

思路2：如圖10，連接CD. 仔細(xì)觀察圖形后，發(fā)現(xiàn)[△EDC]與[△FDB]可能全等，然后利用全等三角形“ASA”定理給出證明. 也可以證明[△AED≌CFD.] 得到[DE=DF.]

思路3：我們也可以利用對(duì)稱的知識(shí)來(lái)考慮問(wèn)題. 如圖11，連接CD，作DF關(guān)于CD所在直線的軸反射DG，交AC于點(diǎn)G. 所以[DG=DF.] 由已知條件易證[△ADG≌][△CDE.] 所以[DG=DE.] 所以[DE=DF.]

思路4：我們還可以從旋轉(zhuǎn)的角度來(lái)思考問(wèn)題. 如圖12，連接CD，將[△DFB]繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°，得到[△DFA，] 則[DF=DF.] 由已知易證[△DFA≌△DEC.] 所以[DF=][DE.] 所以[DE=DF.]

準(zhǔn)確作出輔助線是解決題目2的一個(gè)難點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵. 這一類型的題目只需要抓住證明三角形全等這一主線，以不變應(yīng)萬(wàn)變，即可順利完成題目分析和解題證明. 題目2第4種解題思路所用的圖形與題目1中的拓展2相仿，這為下面的“多題歸一”奠定了基礎(chǔ).

3. 多題歸一

題目3 （教材八年級(jí)下冊(cè)復(fù)習(xí)題2第15題）如圖13，兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形重疊在一起，O是其中一個(gè)正方形的中心，求陰影部分的面積.

陰影部分是一個(gè)不規(guī)則四邊形，不易直接求解. 所以可以采用從特殊到一般的思想方法來(lái)考慮問(wèn)題，如圖14，由這個(gè)特殊位置可以得出陰影部分的面積是1. 再考慮在一般情況下，結(jié)論是否成立. 一般會(huì)想到以下兩種解題思路.

思路1：如圖15，在正方形的頂點(diǎn)處標(biāo)上字母，連接OC，OB. 由已知易證[△OCF≌△OBE.] 由割補(bǔ)法，得[S四邊形OFCE=S△OCB=14S正方形ABCD=1.]

思路2：因?yàn)樘乩慕Y(jié)果剛好為正方形面積的[14，] 我們嘗試過(guò)正方形中心O作兩條互相垂直的直線[l1，l2]（如圖16），正方形被分成了四個(gè)部分[S1，S2，S3，][S4.] 通過(guò)觀察與思考，發(fā)現(xiàn)當(dāng)整個(gè)圖形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)[90°°]時(shí)，所得到的圖形與原圖形重合，所以[S1=S2=S3=][S4，] 即正方形被直線[l1，l2]分成了全等的四個(gè)部分，從而得到題目3中陰影部分的面積為正方形面積的[14，] 即為1.

思路1較為常規(guī)，思路2比較新穎. 用思路2來(lái)考慮題目2時(shí)，我們?nèi)菀紫氲接谩岸囝}歸一”的方法來(lái)思考問(wèn)題. 題目2和題目1非常類似，不同的地方是：這兩道題目中正方形內(nèi)兩條垂線的垂足的位置不同，題目2中的垂足位于正方形的中心. 如果把題目2的圖形補(bǔ)全，可以變成題目3（如圖17）. 根據(jù)題目1，我們知道[EH=FI，] 因?yàn)閇DE=][12EH，DF=12FI，] 所以[DE=DF.] 所以三道題目都源于同一道題目，三題歸一，其解法也有共性，找到了規(guī)律，求解題目2就能化難為易.

三道題目并蒂連理，低起點(diǎn)、高升華. 教師的說(shuō)題各有側(cè)重，有的重視“一題多變”，有的注重“一題多解”，有的頓悟“多題源一”.

二、感悟反思

1. 說(shuō)題有助于命題技巧的掌握

命題是教師的一項(xiàng)基本功，如果沒(méi)有掌握命題的方法和技巧，則不能命制出新穎且高質(zhì)量的題目. 改編教材上的例題或習(xí)題很常見(jiàn)，從題目1我們可以知道，改編原題時(shí)，可以置換題目中的條件和結(jié)論（變式1和變式2），可以改變題目中的條件（變式3），可以拓展結(jié)論（拓展1），也可以同時(shí)對(duì)題目的條件和結(jié)論進(jìn)行調(diào)整（拓展2）. 改編后的新題要從多方面論證其科學(xué)性與規(guī)范性. 如果把題目1改編為：如圖6，在四邊形[AHFD]中，如果[FD⊥AD，HA⊥AD，GO⊥HF，]垂足分別為點(diǎn)[D，A，O，OF=OH，] 證明：[GO=12HF.] 則條件不足，稍不留神就容易出錯(cuò). 對(duì)于典型的幾何問(wèn)題，我們可以對(duì)已知條件和圖形進(jìn)行仔細(xì)研究，深入挖掘可能的結(jié)論. 對(duì)于題目1，正方形內(nèi)兩條直線的垂足位于正方形的內(nèi)部（中心是其特殊位置），我們還可以進(jìn)一步思考，當(dāng)垂足位于正方形的邊上時(shí)，會(huì)有哪些結(jié)論;對(duì)于題目2，在已知不變的條件下，可以探究[S四邊形ECFD]和[S△ACB]之間的關(guān)系.

2. 說(shuō)題有利于解題能力的提高

波利亞有一句名言，掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題. 對(duì)學(xué)生是這樣，對(duì)教師亦然. 通過(guò)“刷題”，模仿解題方法，事倍功半，效率低下，不利于靈活掌握知識(shí)，對(duì)新面孔的題目束手無(wú)策，最大的遺憾還會(huì)失去對(duì)解題的興趣. 透徹理解解題的規(guī)律，清楚問(wèn)題的本質(zhì)，才會(huì)到達(dá)一個(gè)更高的層次. 黑格爾說(shuō)，本質(zhì)是簡(jiǎn)單的！但本質(zhì)往往又是深藏的. 在對(duì)“一題多變”“一題多解”的不斷探索中，本質(zhì)才會(huì)露出冰山一角. 以上三道題目，通過(guò)教師的講解與分析，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)相同！題目1為“題根”，根深而葉茂，了解了這一實(shí)質(zhì)，則對(duì)題目2和題目3的設(shè)問(wèn)和解法，我們都能運(yùn)籌帷幄、胸有成竹. 通過(guò)以上題目的分析，發(fā)現(xiàn)這些題目形異質(zhì)同、多題源一. 題目2在補(bǔ)全圖形以后，通過(guò)觀察，能馬上找到要證明的全等三角形，所有方法如出一轍，可謂“做一題，會(huì)一類，通一片”.

3. 說(shuō)題有益于教學(xué)水平的發(fā)展

“一題多變”是為了更好地運(yùn)用變式教學(xué)，變式教學(xué)易于學(xué)生接受，學(xué)生可以理清原題和變式之間的關(guān)系，深入了解知識(shí)，對(duì)解題方法進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)，有效發(fā)展思維. 改編經(jīng)典題目或錯(cuò)誤率比較高的題目，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，改善學(xué)生的思維品質(zhì).“一題多解”可以啟發(fā)學(xué)生從不同角度、不同方位，以不同的方法思考同一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，改變思維定勢(shì)，培養(yǎng)思維的靈活性，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的嫻熟運(yùn)用. 通過(guò)說(shuō)題，始知“多題歸一”，使教師拓寬視角，以聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題，做到理性辨析，系統(tǒng)思考，恰似拾級(jí)而上、漸入佳境，引導(dǎo)學(xué)生游刃有余.“一題多變”“一題多解”“多題同解”可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的感知、理解和運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 教師要選用適合學(xué)生的題目，尋求好的解法，探討問(wèn)題之間的聯(lián)系，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，為學(xué)生的成長(zhǎng)付出努力，在此過(guò)程中，逐漸提高自身的教學(xué)水平. 有教師說(shuō)，在觀摩這次說(shuō)題比賽之前，所看到的這三道題目是孤立的，似乎沒(méi)有聯(lián)系，但經(jīng)過(guò)參賽教師的講解，使這幾道題目串聯(lián)了起來(lái). 教材是學(xué)習(xí)之本、有源之水，掌握教材、用活教材，是教師教學(xué)必備的基本技能.

參考文獻(xiàn)：

[1]林運(yùn)來(lái). 解題教學(xué)要善于揭示問(wèn)題的本質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)通訊（下半月），2019（4）：27-31.

[2]羅增儒. 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]. 西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001.