教師說題說什么

程龍軍 丁永愿

摘? 要：教師說題是近年來常見的教研活動形式，為了說明說題的內(nèi)容和方法，文章以一道中考幾何試題為例，闡述如何從背景立意、解法思路、問題實質(zhì)和變式拓展等方面展開分析，進而達到提煉思想方法、拓展深度和廣度、把握命題規(guī)律、提升數(shù)學思維的目的.

關鍵詞：教師說題;背景立意;解法思路;變式拓展

教師說題是近年來常見的一種教研活動形式，是考查數(shù)學教師基本功和數(shù)學素養(yǎng)的重要載體. 具體是指教師通過對一個數(shù)學問題的詳細解說，剖析問題的背景立意和思想方法，明確解題的思路和策略，拓展問題的深度和廣度，把握命題的規(guī)律和趨勢. 那么，說題要說什么？怎么說？又要注意哪些問題？下面筆者以2020年安徽卷第23題為例進行說明.

一、題目展示

題目? 如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，[AE=AD.] EC與BD相交于點G，與AD相交于點F，[AF=AB.]

（1）求證：[BD⊥EC;]

（2）若[AB=1，] 求AE的長;

（3）如圖2，連接AG，求證：[EG-DG=2AG.]

二、說明背景

每道數(shù)學題目中或多或少都會包含一些社會、文化、生活，或者高等數(shù)學等背景，也經(jīng)常與教材中的例題、習題、中考試題及競賽題有密切聯(lián)系. 因此，教師說題要首先明晰問題的背景，弄清題型、題源和考查方向，揭示考查的知識點和思想方法，以及與社會生活的密切聯(lián)系.

從立意看，題目第（1）小題從常見的旋轉(zhuǎn)型全等入手，通過證明[△AEF≌△ADB]推導線段間的特殊位置關系，屬于對通性、通法的考查.

第（2）小題從《幾何原本》第Ⅱ卷命題11中選取素材（如圖3），滲透了黃金分割的文化背景，由[△DFC∽][△AFE，] 易求得[AE=][1+52.] 事實上，由已知條件可分別推出[DFAF=AFAD]和[ABAE=][AEBE.] 所以點F和點A分別為線段AD和線段BE的黃金分割點，由[ABAD=AFAD=][5-12，] 可知矩形ABCD為黃金矩形，其中點G是黃金矩形內(nèi)的等角螺線無限趨近的點.

第（3）小題證明共端點的三條線段之間的數(shù)量關系，其內(nèi)在實質(zhì)與托勒密定理及三弦定理相關聯(lián). 三道小題的設置循序漸進，滲透了濃厚的數(shù)學文化和數(shù)學之美，內(nèi)涵豐富、立意高遠.

從選材看，與題目類似的圖形在教材中也有出現(xiàn). 例如，第（1）小題與滬科版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“滬科版教材”）八年級上冊第109頁第3題類似（如圖4）;第（2）小題是十分常見的“X”型相似的基本圖形;第（3）小題與滬科版教材八年級上冊第149頁第3題類似（如圖5）. 題目解法多樣，不僅考查了矩形、直角三角形、三角形全等、三角形相似、一元二次方程、圓等知識，也綜合考查了學生的數(shù)感、幾何直觀、推理能力和模型思想.

三、說清解法

解法分析是說題的重點環(huán)節(jié)，反映了教師對問題理解的深度和廣度. 由于教師說題的對象是教師而不是學生. 因此，本環(huán)節(jié)不僅要關注一題多解，還要重點理清解題方向和思路，對不同解法進行比較、分析、歸納、總結(jié)，力求達到“知其然，知其所以然”的效果.

下面結(jié)合題目的第（3）小題進行重點分析.

1. 思路分析

從結(jié)論來看，等式[EG-DG=2AG]呈現(xiàn)了三條線段之間的數(shù)量關系，其結(jié)構(gòu)特征比較突出，如果執(zhí)果索因，可以考慮在線段EG上截長或者在線段DG上補短，將三條線段轉(zhuǎn)化為兩條線段，或者從[2AG]出發(fā)聯(lián)想等腰直角三角形. 從已知條件來看，圖2中有多個直角和直角三角形，由此入手，可以聯(lián)想四點共圓或“三垂直”模型. 由[∠EGD=∠EAD=90°]，可得D，G，A，E四點共圓;由[∠FGB+∠FAB=180°]，可得F，A，B，G四點共圓. 進而還能發(fā)現(xiàn)更為隱蔽的信息[∠EGA=45°.]

2. 解題方法

證法1：（截長法）如圖6，在線段EG上截取[EH=DG，] 連接AH.

由已知條件，易證得[△AEH≌△ADG.]

則[△AHG]是等腰直角三角形.

得到[HG=2AG.]

從而[EG-DG=EG-EH=HG=2AG.]

證法2：（截長法）如圖7，在線段GE上截取[GH=][GD，] 連接DH，DE.

則[△ADE]和[△GDH]均為等腰直角三角形.

由已知條件，易證得[△EDH∽△ADG].

得到[EH=2AG].

從而[EG-DG=EG-GH=EH=2AG.]

證法3：（補短法）如圖8，延長DG到點H，使得[DH=EG，] 連接AH.

由已知條件，易證得[△AEG≌△ADH.]

則[△AHG]是等腰直角三角形.

得到[GH=2AG.]

從而[EG-DG=DH-DG=GH=2AG.]

證法4：（補短法）如圖9，延長GD到點H，使得[GH=GE，] 連接ED，EH.

則[△ADE]和[△EGH]均為等腰直角三角形.

由已知條件，易證得[△DEH∽△AEG.]

得到[HD=2AG.]

從而[EG-DG=HG-DG=HD=2AG.]

證法5：（“三垂直”模型）如圖10，過點E作[EM⊥][AG]，交GA的延長線于點M，過點D作[DN⊥AG]，交AG的延長線于點N.

由已知條件，易證得[△EMA≌△AND.]

得到[AM=DN.]

再結(jié)合[∠EGA=45°，]

得[EG-DG=2MG-2DN=2MG-2AM=2AG.]

證法6：（四點共圓）如圖11，連接ED，以ED為直徑作[⊙O.]

由已知條件，易證得[DE=2AD.]

由[∠DGE=∠DAE=90°，]

可得A，E，D，G四點共圓.

由托勒密定理，得[DE?AG+DG?AE=AD?EG.]

所以[2AD?AG+DG?AD=AD?EG.]

所以[2AG+DG=EG，]

即[EG-DG=2AG].

3. 解法比較

說題需要一題多解，但是不能糾結(jié)于一題多解，問題的多種解法要能反映不同的解題思路，而不是在處理某些步驟時，把不同的處理方式當作不同解法. 從這點來說，上述證法1 ～ 4的思路都是截長補短. 因此，可視為同一類證法，這種方法常用來處理三條線段之間的和差關系，符合學生的認知規(guī)律，屬于通性、通法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想. 如果將截長補短法和結(jié)論中的[2AG]結(jié)合起來聯(lián)想，顯然證法1和證法3更為簡潔、自然，而證法2和證法4涉及等式的變形和相似三角形的運用，方法迂回，略顯復雜. 證法5從直角出發(fā)聯(lián)想“三垂直”模型，再結(jié)合隱蔽條件[∠EGA=45°]轉(zhuǎn)換線段，雖然構(gòu)思巧妙，但是對學生的聯(lián)想構(gòu)圖能力和發(fā)散思維能力要求較高. 證法6從直角出發(fā)聯(lián)想四點共圓，運用托勒密定理進行妙解，方法簡單精妙，也更加逼近問題的實質(zhì)，但此證法不夠常規(guī)且超出課程要求，因此并不能被大部分學生接受.

四、說透實質(zhì)

一個問題的解法往往不止一種，如果教師不能在紛繁復雜的解法中提煉出問題的實質(zhì)，那么眾多的解題方法也只是霧里看花，無法識得問題的廬山真面目. 因此，教師說題就需要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，善于將數(shù)學問題“打回原形”，提煉出問題實質(zhì)，達到“知何由以知其所以然”的境界.

由圖12不難發(fā)現(xiàn)，題目中的線段GD，GE，GA為[⊙O]上過點G的三條弦. 下面研究過圓上同一點的三條弦之間的數(shù)量關系. 顯然，三條弦之間的數(shù)量關系與其夾角[α，β]有關，如果這兩個角的大小進行變化，那么三條弦之間的數(shù)量關系會有怎樣的變化？

如圖12，不妨設[⊙O]半徑為R，[∠DGE=α，∠AGE=]

[β.] 在[△DGA，△AGE，△DGE]中，分別根據(jù)正弦定理，得[AD=2R?sinα+β，AE=2R?sinβ，DE=2R?sinα.]由托勒密定理，得[EG ? AD=DG ? AE+AG ? DE.] 所以[EG ? 2Rsinα+β=DG ? 2Rsinβ+AG ? 2Rsinα.] 所以[EG ? sinα+β=DG?sinβ+AG?sinα.]

上述結(jié)論被稱為“三弦定理”，即過圓上一點作三條弦，可由弦之間的角度確定三條弦之間的數(shù)量關系，這一定理反映了圓內(nèi)弦、角之間的關系，可視為托勒密定理的一個重要推論. 通過這個定理我們不難發(fā)現(xiàn)，題目第（3）小題的實質(zhì)就是在[∠α=90°，∠β=45°]的條件下證明三條弦的數(shù)量關系.

五、說通拓展

問題變式拓展的質(zhì)量體現(xiàn)了教師對問題本質(zhì)的理解. 此環(huán)節(jié)不能滿足于簡單的條件或結(jié)論變式，而是要在看透實質(zhì)的基礎上對數(shù)學本質(zhì)進行深度地、有邏輯地拓展和應用，以達到融會貫通，萬變不離其宗的目的. 對于題目第（3）小題，可以從角度與線段兩個方向?qū)栴}進行變式.

1. 三弦夾角特殊化

變式1：已知PA，PB，PD是[⊙O]的三條弦，PD平分[∠APB.]

（1）如圖13，若AB是[⊙O]的直徑，求證：[PA+][PB=2PD.]

（2）如圖14，若[∠APB=α，] 求證：[PA+PB=2PDcosα2.]

2. 線段關系特殊化

變式2：如圖15，在四邊形AEDG中，[EG⊥DG，] [EA⊥DA.]

（1）當[AE=3AD]時，求證：[EG-3DG=2GA.]

（2）當[AE=kAD]時，求證：[EG-kDG=k2+1GA.]

3. 解法分析

變式1將弦PD特殊化為角平分線，兩道小題均可以延長PB至點C，使得[BC=AP，] 連接DC，通過補短法構(gòu)造全等三角形進行證明，其中第（1）小題和第（2）小題之間是特殊和一般的關系. 變式2與題目中的第（3）小題一脈相承，只是將AE和AD的關系一般化，兩道小題均可以在EG上截取kDG，通過截長法構(gòu)造相似三角形進行證明，第（1）小題和第（2）小題之間也是特殊和一般的關系. 這樣的變式緊扣問題實質(zhì)，解法多樣，符合學生的認知特點，體現(xiàn)了處理線段關系的通性、通法，對培養(yǎng)學生的觀察能力、分析能力和歸納推理能力大有裨益.

六、兩點建議

1. 把握好說題與解題的關系

說題非解題，兩者之間既有區(qū)別也有聯(lián)系. 解題是說題的基礎，不僅要會解，會一題多解、一題多變，還要知道為什么這么解. 為此，教師不僅要積累扎實的專業(yè)知識和豐富的解題經(jīng)驗，也要有善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)的慧眼和善于刨根問底的慧心. 說題是解題的升華，其內(nèi)涵更為豐富，包含了問題的背景、特征、解法、拓展、反思等多個思維過程，是教師綜合素養(yǎng)的集中體現(xiàn). 因此，要想把題目的各個方面都說清楚，就要結(jié)合教育教學理論對問題進行全面、深入地研究，要站在較高的視角審視問題，提高解題站位，避免習題教學中常見的套模型、套思路的機械做法和不良導向. 在本例中，如果能從圖形的結(jié)構(gòu)特征“直角”入手，發(fā)現(xiàn)四點共圓，進而從托勒密定理和三弦定理的高度提煉問題，就抓住了該問題的本質(zhì)屬性，將“把握數(shù)學本質(zhì)”這一課程理念落到了實處，也為后續(xù)更好地變式拓展奠定了重要基礎.

2. 把握好教、學、研三者的關系

教師說題是一個解題、研題、說題、改題的系列活動，雖然對象是同行和專家，但是終端對象仍然是學生. 因此，說題是教師的“教”，學生的“學”以及考試命題的“研”三維一體的過程. 從“學”的角度來說，要結(jié)合學生的認知特點和最近發(fā)展區(qū)，分析解題思路和思維斷點，關注解題的通性、通法，及時對解法進行比較、優(yōu)選、反思;從“教”的角度來說，說題要體現(xiàn)教師對題目本質(zhì)的理解與認識，要說透問題的本質(zhì)特征，在此基礎上說通問題的變式拓展;從“研”的角度來說，在前兩者的基礎上，還要分析問題的背景和題源，理清考查的知識點和思想方法，把握命題的規(guī)律和方向. 上述題目的證法1 ～ 4是從結(jié)論代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征入手尋找思路，解法也是通性、通法，符合學生的認知特點，屬于“學”的視角，證法5和證法6是從圖形的結(jié)構(gòu)特征入手，解法高于課程的基本要求，具有一定的難度，屬于“教”的視角;對證法6運用正弦定理進行提煉進而發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)“三弦定理”，并由此進行特殊化的變式拓展，完整地體現(xiàn)了研究一個數(shù)學問題從特殊到一般的歸納過程，以及再從一般到特殊的應用過程，屬于“研”的視角. 三個視角的和諧統(tǒng)一，體現(xiàn)了數(shù)學教師所必備的關鍵能力和核心素養(yǎng).

參考文獻：

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