基本圖形——求解幾何問題的腳手架

摘? 要：對數(shù)學試題的研究是教師日常工作中的一部分，通過研究可以總結(jié)出處理問題常用的數(shù)學思想方法，提煉出復(fù)雜圖形中隱藏的基本圖形，從而使學生“知一形，曉一類”. 筆者通過對一道幾何題的解法研究，總結(jié)出利用不同的基本圖形而衍生出的5種解法，并且對這些解法進行比較，從而引發(fā)對一題多解的幾點思考.

關(guān)鍵詞：角平分線;基本圖形;思想方法

筆者曾經(jīng)在一次區(qū)級教研活動中聽了一節(jié)“一題一課”中考復(fù)習課. 該節(jié)課的執(zhí)教教師主要講解了一道關(guān)于圓的幾何題的多種解法. 題目如下.

題目? 如圖1，半圓O的直徑[AB=5，] 弦[AC=3，] 將半圓O沿著AD折疊后弦AC恰好落在AB上，則折痕AD的長為????? .

在聽課后，筆者也對此題進行了研究，認為如果能夠準確識別和構(gòu)造出適當?shù)幕緢D形，不但可以使問題迎刃而解，甚至還可以一題多解. 于是，筆者繼續(xù)研究此題中隱藏的基本圖形及對應(yīng)的解法，與同行分享，不當之處敬請指正.

一、解法分析

此題屬于求線段長問題. 求線段長的方法有勾股定理、相似三角形等. 如果將折痕AD看作是半圓O的一條弦，則還可以利用垂徑定理求解. 但對于此題，無論運用哪種方法，都不太容易求解. 筆者曾經(jīng)利用波利亞的“怎樣解題表”仔細聚焦此題條件“有什么”，并不斷將條件重組，從而獲得了不同的解法. 但是當筆者在課堂上講解時，只有小部分學生能根據(jù)提示想出一種解法，再想引導學生提出其他解法時發(fā)現(xiàn)很困難，一度出現(xiàn)了臺上教師著急而臺下學生茫然的局面. 究其原因，是題目中給出的條件加上圓中隱藏的條件比較零散. 這就要求學生具備條件重組的能力，而提高這種能力的方式之一就是積累基本圖形. 林崇德在《學習與發(fā)展：中小學生心理能力發(fā)展與培養(yǎng)》一書中就用三個水平等級來劃分數(shù)學空間想象能力，其中第二等級就是能夠由較復(fù)雜的圖形分解出簡單的、基本圖形，在基本圖形中找出基本元素及其關(guān)系，并能夠?qū)D形及其特征聯(lián)系起來.

接下來，筆者將從基本圖形的角度來談?wù)劥祟}的幾種解法.

1. 角平分線性質(zhì)定理

此題屬于折疊問題. 由折疊可以得出AD是[∠CAB]的角平分線. 關(guān)于角平分線，最為常見的就是角平分線的性質(zhì)定理. 由此，如圖2，連接CB，交AD于點E，過點E作[EF⊥AB，] 垂足為點F，從而可以求出[△ACE]和[△AFE]的各邊邊長，最后通過三角形相似即可求出AD的長.

解法1：如圖2，連接BD，CB，交AD于點E，過點E作[EF⊥AB，] 垂足為點F.

由角平分線的性質(zhì)定理，得[CE=FE.]

易證得[△ACE≌△AFE.]

所以[CE=FE，AC=AF=3.]

所以[BF=AB-][AF=2.]

在[Rt△ABC]中，由勾股定理，得[BC=4.]

設(shè)[CE=x，] 則[FE=][x，] [BE=4-x.]

在[Rt△EFB]中，由勾股定理，得[EF2+BF2=BE2，]

即[x2+][22=4-x2.]

解得[x=32.]

在[Rt△ACE]中，由勾股定理，得[AE=][325.]

由[∠CAD=∠BAD，∠ACE=∠ADB=90°]，

得[△ACE∽△ADB.]

所以[ACAD=AEAB，]

即[3AD=3255.]

解得[AD=25.]

對于角平分線性質(zhì)定理，也可以過點D向[∠CAB]的兩邊分別作垂線DE，DF，如圖3所示，再通過[△DEB]求出AE的長，最后利用直角三角形相似（射影定理）求出AD的長.

解法2：如圖3，連接DB，CD，過點D作[DE⊥AB]于點E，過點D作[DF⊥AC，] 交AC的延長線于點F.

由角平分線性質(zhì)定理，得[DF=DE.]

由已知條件，易證得[CD=DB.]

從而可證得[Rt△CDF ≌ Rt△BDE.]

所以[BE=CF.]

設(shè)[BE=CF=x，]

則[AF=3+x，AE=5-x.]

由已知條件，易證得[AF=AE，]

即[5-x=][3+x.]

解得[x=1.]

所以[AE=4.]

由[∠EAD=∠DAB，∠DEA=∠BDA=90°，]

得[Rt△DAE∽Rt△BAD.]

所以[ADAB=AEAD，]

即[AD5=4AD.]

解得[AD=25].

2. 等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)

由題目中給出的角平分線，學生還會想到等腰三角形“三線合一”的性質(zhì). 如圖4，構(gòu)造等腰三角形EAB，得到[DE=DB，] 以及線段AE和CE的長. 再通過三角形相似求出DB的長，最后利用勾股定理求出AD的長.

解法3：如圖4，連接BD并延長，交AC的延長線于點E，連接CB.

則[∠EDA=∠BDA=90°.]

因為[∠EAD=∠BAD，AD=AD，]

所以[△ADE≌△ADB.]

所以[ED=BD，] [AE=AB=5.]

所以[CE=2.]

由[∠E=∠E，∠ADE=∠BCE=90°，]

得[△ADE∽△BCE.]

所以[EDEC=AEBE，]

即[BD2=52BD.]

解得[BD=5.]

在[Rt△ADB]中，由勾股定理，得[AD=25.]

3. 利用角平分線和平行關(guān)系得到等腰三角形

在初中幾何學習中，學生需要熟練掌握一些由兩個或兩個以上的基本圖形構(gòu)成的圖形. 如圖5，AF為[∠CAB]的平分線，[AC∥BF]，由此可以得到[BF=AB.]

解法4：如圖6，連接BC，BD，過點B作[AC]的平行線交AD的延長線于點F.

由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，以及AD是[∠CAB]的平分線，得[∠F=∠DAB.]

所以[BF=AB=5.]

在[Rt△ACB]中，由勾股定理，得[BC=4.]

設(shè)[CE=x，則BE=4-x.]

由[AC∥BF]，得[△ACE∽△FBE.]

所以[CEBE=ACFB，]

即[x4-x=35.]

解得[x=32.]

以下步驟同解法1.

4. 通過角平分線和圓，利用垂徑定理求解

垂徑定理是圓這部分的重要定理之一. 與垂徑定理相關(guān)的基本圖形也有很多，其中任意一個圓周角被平分時出現(xiàn)垂徑定理的基本圖形較為常用. 如圖7，連接OD，BC，CD，BD，OD與BC交于點E. 由點D是[BC]的中點，易證得OD垂直平分BC. 所以O(shè)E是[△ABC]的中位線. 從而易求得OE的長，進而得到DE的長. 在[Rt△DEB]中，易求得DB的長. 最后，在[Rt△ADB]中通過勾股定理即可求得AD的長.

解法5：如圖7，連接OD，BC，CD，DB，OD交BC于點E.

在[Rt△ACB]中，由勾股定理，得[BC=4.]

由已知條件得[∠CAD=∠DAB.]

所以[CD=DB.]

易得OD垂直平分BC.

所以[EC=EB.]

因為[OA=OB，]

所以O(shè)E是[△ABC]的中位線.

所以[OE=12AC=][32，BE=12BC=2.]

所以[DE=OD-OE=1.]

在[Rt△DEB]中，由勾股定理，得[BD=5.]

在[Rt△ADB]中，由勾股定理，得[AD=][25.]

二、幾點思考

1. 抓住解題關(guān)鍵，建構(gòu)方法體系

以上5種解法各具特點，又殊途同歸，找到相應(yīng)的基本圖形是解題的關(guān)鍵. 有的解法根據(jù)基本圖形可以直接獲得解題思路，有的解法需要適當添加輔助線，將多個基本圖形組合來求解. 例如，在解法2和解法3中，除了先分析出角平分線性質(zhì)定理和等腰三角形“三線合一”外，計算線段的長時還要借助直角三角形相似. 在遇到難度稍大的幾何題時，教師要引導學生仔細分析題目條件，識別隱藏在其中的常見的基本圖形，進而建構(gòu)出解決問題的方法和體系.

2. 辨析解法優(yōu)劣，優(yōu)化解題方法

教師在教學中可以通過讓學生進行一題多解的練習，鍛煉學生的思維，開闊學生的思路，從而提高學生的數(shù)學學習興趣. 但需要注意的是，這樣的一題多解練習一定要適當. 前面給出的5種解法中，前3種解法是學生容易掌握的，而解法4需要作平行線來獲得基本圖形，對學生來說難度較大. 解題后優(yōu)化解法也是很重要的，這需要教師和學生共同努力. 一方面，教師在講解之前要認真?zhèn)湔n，不僅備題目，更要備學生;另一方面，在師生共同探究出題目的多種解法后，教師一定要引導學生及時思考，從而提升解題能力.

3. 尋求方法本質(zhì)，滲透數(shù)學思想

教師要具備整合、歸類的能力，尋求題目的本質(zhì)，指導學生“知一形，曉一類”. 對于這道幾何題，獲得多種解法不是教學的最終目的，重要的是教師要帶領(lǐng)學生尋找這些解法的本質(zhì)，即隱藏在其中的基本圖形. 學生若理解了圖形的本質(zhì)，便能領(lǐng)悟到其中蘊涵的數(shù)學思想方法，從而揭開難題的神秘面紗，不再對幾何難題望而卻步. 因此，對于學生來說，基本圖形就是求解幾何問題的“腳手架”. 學生通過加深對不同基本圖形的認識，就能在無形中提升幾何直觀能力，從而養(yǎng)成一題多思、一題多解的習慣，最終提高分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

[1]林崇德. 學習與發(fā)展：中小學生心理能力發(fā)展與培養(yǎng)[M]. 北京：北京師范大學出版社，1999.

[2]郭新俊. 例談波利亞解題理論中的“弄清問題”[J]. 初中數(shù)學教與學，2016（7）：35-37.

[3]林遂香. 在初中數(shù)學教學中滲透基本圖形法的案例分析[J]. 數(shù)理化學習，2011（8）：26-27.