“特殊值法”妙解初中數(shù)學題舉隅

張良江 虞蘇艷

摘? 要：某些類型的初中數(shù)學題直接求解思路會比較繁雜，解題過程冗長. 在解決填空題、選擇題等不需要呈現(xiàn)解題過程的題目時，可以根據(jù)題目的特點采用特殊值法進行求解. 特殊值法解題有其獨特的優(yōu)越性，是對解題方法的有益補充.

關鍵詞：特殊值法;化繁為簡;幾何直觀

對于初中數(shù)學中的某些問題，有時直接求解會比較難以入手，此時往往可以先考慮某些簡單的特例，通過解答這些特例，最終達到解決原題的目的. 這種解題方法被稱為“特殊值法”.

特殊值法解題的邏輯依據(jù)是：對于一般性成立的結論，特殊值必然成立;而當特殊值成立時，一般性的結果未必成立. 雖然特殊情形只是一般性結論的必要條件，但如果題目只要求從若干結論中選取一種，特殊值法不失為一種有效的方法. 特殊值法不僅適用于諸如選擇題、填空題等不需要提供解答過程，只需要結果的客觀性題目，而且對那些結果不是很明確的求解或探究類題目，也可以借助特殊值法為問題的求解及結果指明方向. 特殊值法是從特殊到一般的數(shù)學思想和極端化思想的集中體現(xiàn).

從廣義的角度看，所謂特殊值，不僅指特殊的數(shù)值，更是涵蓋了特殊圖形、特殊位置，甚至特殊信息、特殊方法等. 下面結合實例，探討特殊值法在初中數(shù)學解題中的廣泛應用.

一、任意數(shù)值取特值，化繁為簡巧排除

由于選擇題和填空題不需要呈現(xiàn)解題過程，僅考查結果，因此對于那些可以取任意實數(shù)或字母取值范圍明確的選擇題和填空題，就可以在允許的范圍內(nèi)選取合適的特值，用具體的數(shù)值代替相關字母，從而得到結果.

例1? 正實數(shù)[a，b，c，d]滿足[a+b+c+d=1.] 設[p=3a+1+3b+1+3c+1+3d+1，] 則（??? ）.

（A）[p>5]?????? （B）[p=5]

（C）[p<5]?????? （D）[p]與5的大小關系不確定

答案：A.

解：因為[a，b，c，d]均為正實數(shù)，且[a+b+c+d=1，]

所以一定有[0<a<1，0<b<1，0<c<1，0<d<1.]

首先，證明[3x+1>x+1.]

將上式兩邊同時平方，得[3x+1>x2+2x+1.]

所以[x2-x=xx-1<0.]

而此時[0<x<1.]

可見上式顯然成立.

于是有[3a+1>a+1， 3b+1>b+1， 3c+1>][c+1， 3d+1>d+1.]

將上述四式相加，得[p=3a+1+3b+1+3c+1+]

[3d+1>a+b+c+d+4=5，]

即[p>5.]

這樣由條件逐級推證出結論的過程，涉及了較復雜的推理與運算，綜合程度高，學生難以駕馭. 由于條件中給出[a，b，c，d]均為正實數(shù)，且[a+b+c+d=1，] 故考慮取特殊值進行排除與破解.

特殊值法：因為[a，b，c，d]均為正實數(shù)，且[a+b+][c+d=1，]

所以不妨設[a=b=c=d=14.]

則[p=3a+1+3b+1+3c+1+3d+1=28.]

因為[28 >25=5，]

所以[p>5.]

例2? 把多項式[2aa+12+a4-a2+1]分解因式，以下選項正確的是（??? ）.

（A）[a2+a-12]?????? （B）[a2-a+12]

（C）[a2+a+12]?????????? （D）[a2-a-12]

答案：C.

解法1：原式 =[a4+2a3+3a2+2a+1]

[=a2a2+2a+3+2a+1a2]

[=a2a2+1a2+2a+1a+3]

?????????????????????????????????????????????[=a2a+1a2+2a+1a+1]

[=a2a+1a+12]

[=a2+a+12.]

解法2：令原式 =[a2+xa+ya2+ma+n=a4+m+xa3+]

[mx+y+na2+nx+mya+ny.]

因為原式 =[a4+2a3+3a2+2a+1，]

所以[m+x=2，mx+y+n=3，nx+my=2，ny=1.]

聯(lián)立方程組，解得[x=y=m=n=1.]

所以原式[=a2+a+1a2+a+1=a2+a+12.]

直接分解時，需要對原式進行合理的分組變形，需要較高的解題技巧，對學生的解題能力要求較高. 考慮到因式分解與多項式乘法互為逆運算，因此判斷因式分解的正確性，可以從結論出發(fā)，將原式及各選項進行展開、合并，從而得出正確的判斷. 因此，當字母取相同數(shù)值時，原式與因式分解后所得的式子的值應該相等，所以可以取字母允許的某些數(shù)值代入計算結果，從而進行判斷.

特殊值法：取[a=1，] 代入得原式 = 9. 將[a=1]分別代入四個選項：選項A的結果為1，選項B的結果為1，選項C的結果為9，選項D的結果為1. 故此題選C.

需要強調(diào)的是，類似此例的處理方式，若有兩個或兩個以上選項的值與原式的值相吻合，應另取數(shù)值代入進行檢驗. 例如，在本例中，若取[a=0，] 則原式的值為1. 而A，B，C，D四個選項的值也均為1，顯然應另取其他的數(shù)值，再進行檢驗與排除.

采用特殊值法解選擇題或填空題是一種化繁為簡的方法. 雖然有猜測的嫌疑，但選擇題和填空題的特點使這種猜測具有較好的科學性，往往事半功倍，不失為一種有實際效用的方法.

二、動點取特殊位置，撥云見日妙求值

對于一些定值型的動點問題，可以設定特殊的位置獲得定值. 例如，對于線段上任意一點，一般來說，我們可以取該線段的中點或端點.

例3? 如圖1，扇形AOB的半徑為6，[∠AOB=90°，] 等邊三角形CDE的頂點C，D，E分別在OA，OB，[AB]上. 點P為△CDE的外心，則OP的長為?????? .

答案：[23.]

解：如圖2，取CD中點M，連接OM，EM，OE，OP.

則[OMEM]=[12CD32CD=33， PMOM=13EM12CD=33.]

所以[OMEM]=[PMOM.]

所以△OMP ∽ △EMO.

所以[OPOE=OP6=33.]

所以[OP=23.]

上述解法需要添加多條輔助線，圖形各元素間內(nèi)在的關系不易想到，且對學生的運算能力要求較高. 由于等邊三角形CDE的頂點C，D，E分別在OA，OB，[AB]上，且等邊三角形的邊長并未固定. 換言之，此題的結論與三角形的邊長或各頂點的位置無關，因此，可以考慮取特殊位置進行突破.

特殊值法：如圖3，使點C，D分別與點O，B重合，則點E在[AB]上. 此時[OMOP=3OP=cos 30°=32.] 所以[OP=23].

例4? 如圖4，設O是△ABC內(nèi)任意一點，AD，BE，CF過點O且分別交邊BC，AC，AB于點D，E，F(xiàn)，則[ODAD]+[OEBE]+[OFCF]的值為??????? .

答案：1.

解：如圖5，分別過點O，A作線段BC的垂線，垂足分別為點H，G.

則[ODAD=OHAG=BC · OHBC · AG=S△BOCS△ABC.]

同理，[OEBE=S△AOCS△ABC， OFCF=S△AOBS△ABC.]

所以[ODAD+OEBE+OFCF=S△BOCS△ABC+S△AOCS△ABC+S△AOBS△ABC=S△ABCS△ABC=1.]

回看此題，點O為△ABC內(nèi)任意一點，所求為[ODAD+][OEBE+OFCF]的值. 判斷所求值與點O的具體位置無關，因此可以將點O置于某些特殊位置以簡化求解.

特殊值法：設點O為△ABC的重心，則由重心的性質(zhì)易知[ODAD+OEBE+OFCF=13+13+13=1.]

三、一般圖形取特殊形，直截了當觸要害

當題目中的圖形為符合一定條件的任意幾何圖形時，我們不妨在大前提不變的情況下采用一些特殊的圖形來研究問題，有時候會起到意想不到的效果.

例5? 如圖6，在[△ABC]中，[∠ACB=100°，AC=AE，][BC=BD，] 則[∠DCE]的度數(shù)為 ??? .

答案：40°.

解：因為[AC=AE，BC=BD，]

所以可設[∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y.]

則[∠A=180°-2x，∠B=180°-2y.]

因為[∠ACB+∠A+∠B=180°，]

所以[100°+180°-2x+180°-2y=180°.]

所以[x+y=140°.]

所以[∠DCE=40°.]

題目條件中給出[∠ACB=100°]及[AC=AE，BC=][BD，] 要求[∠DCE]的度數(shù). 分析[∠DCE]的度數(shù)應該與[∠A]和[∠B]的度數(shù)無關，于是將[∠A]和[∠B]特殊化.

特殊值法：不妨設[∠A=∠B=40°，] 則[∠CDB=][∠CED=70°.] 于是[∠DCE=40°.]

例6? 如圖7，在[△ABC]中，[∠ACB=90°，AB=2，]點[I]是[△ABC]的內(nèi)心，[CI]的延長線交[△ABC]的外接[⊙O]于點[D，] 則[DI]的長為（??? ）.

（A）[3]?????????? （B）2?????? （C）[2]?????????? （D）1

答案：C.

解：如圖8，連接AI，AD，BD.

由點I是△ABC的內(nèi)心，得

∠ACD = ∠BCD，∠CAI = ∠BAI.

因為∠DAB = ∠BCD，

所以∠DAB = ∠ACD.

所以∠DAB + ∠BAI = ∠ACD + ∠CAI，

所以∠DAI = ∠AID.

所以DA = DI.

由∠ACB = 90°，可知AB是[⊙O]的直徑.

由∠ACD = ∠BCD，得AD = BD.

所以△ABD是等腰直角三角形.

由AB = 2，易求得[DI=2].

此題中，由于點C的位置任意，僅需滿足∠ACB = 90°這個條件即可，同時原題中只有線段AB的長度為定值，由此斷定結論與點C的位置無關，即與Rt△ABC的形狀無關. 因此，考慮使△ABC為等腰直角三角形，以特殊圖形代替一般圖形.

特殊值法：如圖9，設△ABC為等腰直角三角形，則CI必過圓心，即CD必為[⊙O]的直徑.

所以CD = AB = 2.

過點I作IE ⊥ AC于點E，

則由I是△ABC的內(nèi)心，知IO = IE.

易知△CIE為等腰直角三角形.

所以[CI=2IE=2IO.]

令[IO=x，] 則[CI=2x.]

由[CI+IO=1，] 得[2+1x=1.]

解得[x=2-1.]

所以[DI=DO+OI=1+2-1=2.]

四、幾何直觀催生特值，避實擊虛顯奇效

有些綜合性較強的題目，主要考查的是學生對數(shù)學思想方法的理解與感悟，而非純粹的計算或煩瑣的推理. 有些幾何題中包含著豐富的幾何直觀素材，這需要我們對圖形有較強的敏感度. 恰當?shù)亟柚鷰缀沃庇^，采用特殊值法解決問題，往往是不錯的選擇.

例7? 圖10是反比例函數(shù)[y=2x]在第一象限內(nèi)的圖象，A，B為該圖象上兩個動點，且[AB=4，] 若點M為線段AB的中點，則線段OM的最小值為（??? ）.

（A）2?????????????????? （B）[22]

（C）[23]?????????????? （D）[22-1]

答案：B.

解：設[Aa， 2a，Bb， 2b.]

因為點M為AB的中點，

所以點M的坐標為[Ma+b2， 1a+1b.]

因為AB = 4，

所以[a-b2+2a-2b2=16，]

即[a2+b2-2ab+4a2+4b2-8ab=16.]

所以[a2+b2+4a2+4b2=16+2ab+8ab.]

所以[OM2=a+b22+1a+1b2=14a2+2ab+b2+1a2+][2ab]+[1b2=14a2+b2+4a2+4b2+12ab+2ab=4+12ab+2ab+]

[12ab+2ab=4+ab+4ab=8+ab-2ab2≥8，]

即[OM2≥8.]

所以OM的最小值為[22.]

上述解題的推理難度較高，對于一般程度的學生來說，就算是給予針對性地指導，也未必能夠完全接受. 觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)，在線段AB沿著x軸從左向右運動的過程中，線段OM的長度是先由長到短，再由短到長的，反之亦然. 根據(jù)反比例函數(shù)圖象的軸對稱性（[y=2x]的圖象關于直線y = x成軸對稱）知，當線段OM與圖象處于同樣的對稱狀態(tài)，即點M位于直線y = x上時，線段OM最短.

特殊值法：如圖11，點M在第一象限角平分線上，且OM⊥AB，分別過點A，B作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點P，Q. 根據(jù)對稱性，易知兩垂線的交點在OM上，設為點N.

顯然，△ABN為等腰直角三角形，設點N的坐標為[Na，a，]

則點B的坐標為[Ba+22，a.]

由[a+22a=2，]

解得[a1=-2+2，a2=-2-2]（舍）.

所以[ON=22-2.]

所以[OM=ON+NM=22-2+2=22.]

例8? 如圖12，已知∠MON = 30°，邊長為3的等邊三角形ABC的頂點A在射線OM上移動，頂點B在射線ON上隨之移動，則線段CO的最大值為 ??? .

答案：[33+3.]

解：如圖13，在△OAB中，因為∠AOB = 30°，且AB = 3，若AB的位置固定，則點O的移動路線是以AB為弦，所對的圓周角為30°的⊙P.

其中，∠APB = 2∠AOB = 60°，

即△ABP為等邊三角形.

點C在⊙P的外部，而點O為⊙P上一動點，則當O，P，C三點共線且點P位于點O，C之間時，線段OC的長度最大，

易求得線段OC的最大值為[33+3.]

分析題意，可知點A在射線OM上移動，帶動了點B及△ABC位置的改變，在點A自左向右移動的過程中，線段OC的長度經(jīng)歷了由長到短，再由短到長的變化過程. 由角的軸對稱性可知，當△ABC與∠MON處于同樣的對稱狀態(tài)，即點C位于∠MON的角平分線上，亦即OC垂直平分AB時，線段OC的長度最大.

特殊值法：如圖14，連接OC，當OC垂直平分AB時，線段OC的長度最大.

此時∠ACO = 30°，∠AOC = 15°.

在OC上取點P，使∠OAP = 15°，易知∠OBP = 15°.

則OP = AP = BP，且△APB是邊長為3的等邊三角形.

所以[PC=33.]

所以[OC=OP+PC=3+33.]

五、結束語

特殊值法在解題中的應用，遠不止上述所列舉的幾類. 適宜用特殊值法求解的題目通常具備特殊的代數(shù)或幾何結構、特殊的圖形、特殊的數(shù)據(jù)或特殊的命題表述. 雖然特殊值法的運用會受到一些條件的制約，但這種“巧用”卻是解題方法的重要補充. 要想活用特殊值法解題，不僅需要學生具有敏銳的觀察力，更需要其具有嚴謹而深刻的邏輯判斷能力. 恰當使用特殊值法，能夠有效降低題目的求解難度，實現(xiàn)化繁為簡.

要想讓學生正確、有效，且主動地應用特殊值法求解題目，需要教師在平時的教學中有意識地引導學生進行全方位地深入審題，既明晰題目的一般呈現(xiàn)狀態(tài)，又善于挖掘題目潛在的特殊狀態(tài)，巧妙地進行一般與特殊的相互轉(zhuǎn)化，使學生既具有直面一般狀態(tài)的過硬基本功，又有適時、合理地使用特殊值法解題的意識與能力，兩者互為補充，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高學生的學業(yè)水平，為學生的長足發(fā)展奠定基礎.

參考文獻：

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[2]裘秀琴，張良江. 巧進退? 妙迂回：例說初中數(shù)學解題的間接轉(zhuǎn)化策略[J]. 中學數(shù)學教學參考（中旬），2018（6）：34-37.