淺論數(shù)形結(jié)合思想及其應用

胡爾軒

摘要：數(shù)學研究的對象是現(xiàn)實世界的數(shù)量關系（數(shù)）和空間形式（形）?！皵?shù)”和“形”常按照一定的條件相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學重要思想方法之一，并蘊于數(shù)學基礎知識和基本技能之中，在數(shù)學解題中應用十分廣泛。數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，發(fā)揮“數(shù)”與“形”兩種信息的轉(zhuǎn)化、互補與整合，使邏輯思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來。

關鍵詞：數(shù)形結(jié)合；思想方法；空間形式；數(shù)量關系

數(shù)學的研究對象主要是數(shù)量關系和空間形式，因而數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學特點的信息轉(zhuǎn)換。在中學數(shù)學教材中，我們可以看到處處滲透著數(shù)形結(jié)合的思想。如研究函數(shù)的性質(zhì)，往往借助于函數(shù)的圖象；研究不等關系往往借助于“數(shù)軸”；研究三角函數(shù)借助于單位圓等等，這些都直接體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。運用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅非常直觀，而且也易于尋找解題途徑，還能避免繁雜的計算和推理，簡化解題過程，收到事半功倍的效果。數(shù)形結(jié)合的解題方法具有直觀性、靈活性的特點?？梢哉f，數(shù)形結(jié)合思想是中學數(shù)學中最常見、最有效的思想方法之一。但學生在平時的學習中不易把握，而它的應用卻又十分的廣泛。

一、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵

何謂數(shù)形結(jié)合？數(shù)與形是現(xiàn)實世界中客觀事物的抽象和反映，是數(shù)學的基石。恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系與空間形式的科學?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。關于數(shù)形結(jié)合，華羅庚先生也曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休；切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠聯(lián)系切莫分離?！?/p>

數(shù)形結(jié)合思想是通過數(shù)、形間的對應與互助來研究問題并解決問題的思想?！靶巍敝械囊恍┝浚ㄈ缇嚯x、角度、面積、體積等等）在一定單位制中可分別對應一些確定的“數(shù)”。通過這種對應，可使一些抽象的概念、復雜的數(shù)量關系借助其背景圖形的性質(zhì)，變得直觀，便于找到解決問題的思路及方法。

二、數(shù)形結(jié)合思想的應用

（一）在方程與不等式中的應用

1.方程問題

判定一個二次方程根的個數(shù)時，通常用根的判定式“△”。然而，當一個二次方程中的未知數(shù)的取值范圍受限制時，用“△”值判定根的個數(shù)就困難了，用數(shù)形結(jié)合法則可避免。

例：方程 有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù) 的值；若該方程有兩個不等的實數(shù)根，求 的取值范圍。

分析 設方程左邊為 ，其圖形為半圓 ；方程的右邊為 ，其圖形為恒過點 的直線，研究方程 根的個數(shù)問題就可以轉(zhuǎn)化成研究半圓與直線交點個數(shù)的問題。

解（1）建立如圖1所示的坐標系，過點 作半圓的切線 ，則 與 軸平行且斜率為0.又 .由圖知，直線 與半圓 只有一個交點時，即方程 只有一個實根時， ，或 或 .

（2）由圖知，當 時，直線 與半圓 有兩個交點，即方程 有兩個實數(shù)[4].

2.不等式問題

含絕對值不等式的解法：

解含絕對值的不等式，把它轉(zhuǎn)化成等價的圖形，觀察其結(jié)果比較簡單.對于含參數(shù)的絕對值不等式問題，用數(shù)形結(jié)合，能以一種動態(tài)的眼光來看待靜止的畫面，并通過操作和觀察來領會其中的關系。

例：已知關于 的不等式 的解集為 的子集，求 的范圍.

分析 構(gòu)造出圖形后，讓 繞點 旋轉(zhuǎn)，通過旋轉(zhuǎn)得出正確的結(jié)論.

解 設方程左邊為 ，右邊為 做草圖，由圖2可知 >-1.

一元二次不等式，一元高次不等式和分式不等式的解法：

我們知道一元二次函數(shù) 的圖像是一條拋物線，當 時，拋物線的開口向上；當 時，拋物線的開口向下.當 時，方程 有實根，表示該拋物線與 軸有交點；當 0時，方程 沒有實根，表示該拋物線與 軸無交點.如何運用數(shù)形結(jié)合法求解不等式 的解集呢？

其內(nèi)容和步驟是：（1）分別將一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式中分子和分母的最高次項系數(shù)“若負化正”.（2）判別相應的方程是否有根，有根則解出方程的根.（3）將根在平面直角坐標系中標出來.（4）從右向左，從上向下將根用一條曲線一一串起來.（5）判斷解集.以最高次項系數(shù)為正的不等式為準，若該不等式為大于0的不等式則看 軸上方的曲線；若該不等式為小于0的不等式，則看 軸下方的曲線。

例：解不等式

解 因為 ，所以不等式可以變形為 ，而方程 的 ，所以方程有實根 .這說明拋物線 與 軸有交點.如圖3所示：

因為 ，所以應看 軸上方的圖象，即 或 ，所以不等式 的解集為 .

例：解不等式

解 由題設知，原不等式可變形為 ，方程 有實根為 .說明曲線 與 軸有交點，如圖4所示：

因 ，所以看 軸下方的圖象，該圖象有兩部分：一部分在-1和2之間，另一部分在3和3之間，所以不等式 的解集為 .

（二）在集合中的應用

圖示法是集合的重要表示法之一，對一些比較抽象的集合問題，在解題時若借助韋恩圖或用數(shù)軸、圖象等數(shù)形結(jié)合的思想方法，往往可以使問題直觀化、形象化，從而靈活、直觀、簡捷、準確地獲解。

而在討論集合之間的關系時常見的有兩種情況，一種是沒有寫出具體元素的集合，另一種是給出具體條件的集合。對第一種情況要具體考察它們之間的關系比較困難，只需按題設作出集合的圖示（韋恩圖）即可解決；而第二種情況可先求不等式的解集，將各個集合的取值范圍在數(shù)軸上表示出來，觀察它們之間的關系，這樣就可以化抽象為具體，化難為易。

例：設 為全集， 是 的三個非空子集，且 ，則下面論斷正確的是（）

分析 這是一種沒有寫出具體元素的集合，所以可按照題設作出集合的圖示（韋恩圖）即可.

解 因為 所表示的部分是圖7中的陰影部分， 所表示的是圖7中除去 的部分，所以 ，故選 .

例：已知集合 ，若 ，求實數(shù) 的取值范圍[7].

分析 這類集合用不等式表示，由圖8所示，這時利用數(shù)形結(jié)合的方法解決形如 的問題，可避免分類討論，解法新穎，巧妙.

解 設 ，由 ，可得： ，即 ，解得： ，所以 的取值范圍是 .

（三）在函數(shù)中的應用

函數(shù)是中學數(shù)學中的重要內(nèi)容之一，也是學習中的重難點。同時又是“數(shù)形結(jié)合”思想方法體現(xiàn)得最充分的章節(jié)。利用函數(shù)的圖象既有利于掌握一次函數(shù)、二此函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，又能運用”數(shù)形結(jié)合”的方法去解決某些問題。

運用數(shù)形結(jié)合方法求函數(shù)問題，主要是通過分析代數(shù)式的含義來揭示其幾何意義，探尋解題的切入點，從而使問題獲得解決。

1.求函數(shù)的最值

例：求函數(shù) 的最小值，并求相應的 值[4].

分析 將函數(shù)關系整理得： 將其看成點 的距離和最短的問題.

解 如圖9所示，根據(jù)函數(shù)關系式的幾何意義，將此問題轉(zhuǎn)化為在 軸上求一點 ，使 最短.由于 在 軸的同側(cè)，作出點 關于 軸的對稱點 ，易得 的坐標為 ，則 三點共線時 最短.此時 ，可求得直線的方程為 .

聯(lián)立方程 解得 .所以當 時， .

2.求參數(shù)的取值范圍

例：設定義在 上的偶函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，若 ，求實數(shù) 的取值范圍.

分析 利用偶函數(shù)圖象關于 軸對稱，以及偶函數(shù)的定義： ，有 .

解 如圖10，根據(jù)題設條件可知： ，解得 的范圍： .

3.求解方程轉(zhuǎn)化成圖像來解

例：若方程 有兩根 ，且 ，求 的取值范圍.

分析 若按照一元二次方程的知識來解，要列出兩個不等式： ，容易出現(xiàn)計算錯誤，而且又費時，反之，根據(jù)圖象來解既直觀又簡單.

解 根據(jù)題意知 ，圖象開口向上，且與 軸有兩個交點，分布在原點的兩側(cè)，由此畫出示意圖（圖11），從圖上可知拋物線與 軸的交點必在 軸的負半軸，也就是說，當 時， 即 ，所以 的取值范圍是 .

數(shù)形結(jié)合思想在應用過程中，主要從兩方面著手：一方面，可以“以形助數(shù)”，從“形”入手，通過對圖形的觀察處理，實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，化抽象為直觀，化難為易；另一方面，“以數(shù)解形”，可以由“數(shù)”入手，將有些涉及圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系來研究，對圖形作精細的分析，從而使人們對直觀圖形有更精確、理性的理解。