地面交通荷載對(duì)淺埋隧道的動(dòng)力響應(yīng)分析

楊宗樺， 孫杰， 陳士海

(1. 華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院， 福建 廈門 361021；2. 濟(jì)南城建集團(tuán)有限公司， 山東 濟(jì)南 250031)

為了預(yù)防地面交通荷載對(duì)隧道產(chǎn)生的振動(dòng)損害，研究地面交通荷載對(duì)淺埋隧道的動(dòng)力響應(yīng)具有重要意義.眾多學(xué)者對(duì)振動(dòng)波在地層中的傳播展開研究.Eason[1]通過對(duì)運(yùn)動(dòng)荷載作用下土體動(dòng)應(yīng)力分布的研究，得到地層中的一維解；De Barros等[2]利用波數(shù)積分法對(duì)運(yùn)動(dòng)荷載作用下的地層動(dòng)荷載響應(yīng)進(jìn)行研究；Sneddon[3]利用位移積分法對(duì)運(yùn)動(dòng)荷載作用下的彈性模型進(jìn)行求解,并給出積分形式的位移解;Pao等[4]針對(duì)波入射單層支護(hù)隧洞的問題，利用波數(shù)展開法討論隧道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分布；Davis等[5]引入大圓弧假定，給出入射波在無支護(hù)洞室時(shí)的衍射解;Forrest[6]提出由土壤包圍的無限長(zhǎng)殼模型，用來計(jì)算地下列車引起的地基振動(dòng)問題.而對(duì)于地面移動(dòng)荷載振動(dòng)作用下引起的隧道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)問題，文獻(xiàn)[7-8]采用格林函數(shù)法解決粘彈性體各種動(dòng)荷載作用下的響應(yīng)問題，取得了突破性進(jìn)展；戚桂峰等[9]采用格林函數(shù)法得到鐵軌交通荷載作用下土層的振動(dòng)解析解；曾晨等[10]采用空間飽和土三維隧道襯砌振動(dòng)模型，對(duì)地面交通載荷作用下地層土的動(dòng)力反應(yīng)特點(diǎn)進(jìn)行研究；羅紅星等[11]建立有限元數(shù)值模型，分析地面交通荷載下淺埋隧道圍巖變形的影響；鄭余朝等[12]建立三維數(shù)值模型，得出列車荷載下穿隧道的拱頂壓力隨埋深變化的規(guī)律；蔣博林等[13]結(jié)合數(shù)值模擬分析和正交試驗(yàn),分析各計(jì)算參數(shù)對(duì)懸浮隧道跨中豎向振動(dòng)位移的影響；文獻(xiàn)[14-15]研究地面交通荷載引起淺埋隧洞的振動(dòng)問題，首次給出半空間隧洞的動(dòng)力響應(yīng)解析解；青松勇等[16]采用有限元分析的方法，分析飛機(jī)滑動(dòng)荷載作用下對(duì)既有地鐵的動(dòng)荷載分布規(guī)律；范昌杰[17]選用有限元分析的方法給出地面交通荷載影響下的隧洞變形規(guī)律；趙俊澄等[18]采用數(shù)值模擬的方法，研究是否考慮交通荷載時(shí)隧道上方的路基沉降差值.

目前，分析車輛荷載對(duì)地下隧道的動(dòng)應(yīng)力問題通常采用數(shù)值模擬的方式.為了對(duì)數(shù)值模擬的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，本文進(jìn)行理論推導(dǎo)，建立三維彈性半空間淺埋圓形隧道數(shù)學(xué)模型，研究移動(dòng)荷載作用下圓形隧道在彈性半空間的動(dòng)力響應(yīng)問題，并分析不同車速和埋深對(duì)響應(yīng)的影響.

1 工程概況

濟(jì)南市順河快速路南延(英雄山立交至南繞城高速)建設(shè)工程,是構(gòu)建濟(jì)南市快速路路網(wǎng)骨架的重要組成部分,承擔(dān)著主城區(qū)對(duì)外進(jìn)出交通的快速集散任務(wù)，同時(shí)承擔(dān)著重要的公共交通走廊功能.項(xiàng)目北起英雄山立交, 南至南繞城高速，全長(zhǎng)約5.1 km.主線采用淺埋隧道形式,全長(zhǎng)2.2 km，雙向6車道，分左右線布設(shè).地下道路工程暗挖段采用小凈距隧道的結(jié)構(gòu)形式，左、右線間最大凈距25 m,最小凈距為北端洞口7 m，南端洞口5 m，全線最小圓曲線半徑1 350 m，最大圓曲線半徑13 000 m.隧道縱斷線形為W形，符合現(xiàn)狀地面道路走勢(shì)，以暗挖段最大埋深13 m為控制原則，兩端明暗挖分界線位置埋深3～4 m.隧道拱頂位置處圍巖屬于第四系黏性土、碎石土，洞身地層巖性以第四系碎石、黏性土為主，根據(jù)《公路工程地質(zhì)勘察規(guī)范》規(guī)定，隧道圍巖分級(jí)為Ⅴ級(jí).初期支護(hù)由工字鋼拱架、徑向錨桿、鋼筋網(wǎng)及噴射混凝土組成.圍巖和初期支護(hù)的參數(shù)，如表1所示.表1中：E為彈性模量;ρ為密度;ν為泊松比;d為支護(hù)結(jié)構(gòu)厚度.

表1 介質(zhì)參數(shù)Tab.1 Medium parameters

圖1 移動(dòng)荷載作用下的隧道模型Fig.1 Tunnel model under moving load

移動(dòng)荷載作用下的隧道模型，如圖1所示.圖1中：P(t)為移動(dòng)集中簡(jiǎn)諧荷載;v為移動(dòng)速度；h為隧道結(jié)構(gòu)中心與地面的距離；X為隧道埋深；點(diǎn)O，O1分別為荷載地面作用點(diǎn)、隧道圓心；θ，r分別為坐標(biāo)系(r，θ)的極角值和極軸；φr,ψr,φ11,ψ11,φ12,ψ12表示圍巖處產(chǎn)生的勢(shì)函數(shù)；φ21,ψ21,φ22,ψ22表示支護(hù)內(nèi)產(chǎn)生的勢(shì)函數(shù)；r1,θ1分別為隧道內(nèi)圓心坐標(biāo)系的極徑和極軸；隧洞內(nèi)半徑取6.9 m，初支厚度取0.35 m.在z=0平面上,沿x軸正方向以速度v勻速運(yùn)動(dòng)的列車的移動(dòng)集中荷載可表示為

P(t)=P0eiω0tδ(x-vt)δ(y).

(1)

式(1)中：t為車輛經(jīng)過點(diǎn)O的時(shí)間;ω0為荷載變化的圓頻率；P0為車子總荷載；δ(y)為單位脈沖函數(shù).

2 基本方程

在彈性介質(zhì)里，機(jī)械擾動(dòng)的傳播形成彈性波動(dòng)，簡(jiǎn)稱彈性波.彈性波理論主要研究波的產(chǎn)生與傳播的規(guī)律，進(jìn)而弄清彈性介質(zhì)的位移矢量場(chǎng)、應(yīng)力及應(yīng)力張量場(chǎng)隨時(shí)間變化的情況.已知各向同性的彈性半空間體用位移表示的運(yùn)動(dòng)方程[9]為

(λ+μ)?θ+μ?2u+ρL=ρ?2u/?t2

.

(2)

式(2)中：L為土體體力,令L=0；u為土體位移；λ，μ為拉梅常數(shù)；?為哈密頓算子；?2為拉普拉斯算子.

根據(jù)斯托克斯-亥姆霍茲定理進(jìn)行分解，式(2)的解可以表示為

u=up+us=?φ+?×ψ.

(3)

式(3)中：φ為位移的標(biāo)量勢(shì)；ψ為位移的矢量勢(shì)，ψ=(ψ1,ψ2,ψ3)，且ψ3=0.

矢量勢(shì)函數(shù)滿足廣義規(guī)范條件?·ψ1=0,代入式(2)可得

(4)

若荷載關(guān)于θ=0對(duì)稱，利用分離變量法對(duì)方程(4)進(jìn)行求解,可以得到圍巖中的勢(shì)函數(shù)表達(dá).

3 彈性半空間內(nèi)隧道的動(dòng)力響應(yīng)分析

3.1 圍巖中極坐標(biāo)系下的波函數(shù)展開

振動(dòng)位移在圍巖中產(chǎn)生的波勢(shì)函數(shù)，基于入射波動(dòng)方程(?2+k2)φ=0，引入極坐標(biāo)系，并利用分離變量法得到圍巖中的勢(shì)函數(shù)為

(5)

圖2 分層界面上入射波反射和折射Fig.2 Reflection and refraction of incident waves at layered interface

由于圍巖、支護(hù)、隧道內(nèi)部間存在分界面，入射波在分界面上一般各形成2個(gè)反射波P波、SV波和2個(gè)折射波P波、SV波,如圖2所示.若不考慮波在彈性空間中的耗散，頻率為ω的入射彈性波位移勢(shì)函數(shù)可表示為

φj(x,z)=A0exp[k0,α(xsinθα-zcosθα)-iωt].

(6)

式(6)中：k0,α為入射波波數(shù)，k0,α=ω/c0,α，c0,α為入射波波速,ω=2πf，f為入射波頻率；θα為P波入射角度；t為時(shí)間變量；j為自然數(shù).

利用直角坐標(biāo)系(x,z)與(x1,z1),極坐標(biāo)系(r,θ)之間關(guān)系為

(7)

(8)

彈性波入射勢(shì)函數(shù)在極坐標(biāo)系下表達(dá)式級(jí)數(shù)展開為

(9)

式(9)中：系數(shù)A0,n,B0,n,C0,n,D0,n可以表示為

反射P波和SV波的反射系數(shù)由邊界條件確定，k0,α=ω/c0,α，k0,β=ω/c0,β，sinθα/c0,α=sinθβ/c0,β.θβ代表反射SV波的反射角，滿足Snell反射定律[19].n=0，ε=1；n>1，ε=2.反射系數(shù)k1和k2分別為

3.2 圍巖與支護(hù)中的勢(shì)函數(shù)表達(dá)

在文中模型中，除了反射的P波和SV波外,入射波在圍巖與襯砌交界處還存在散射波，利用波函數(shù)展開法,可將位移勢(shì)函數(shù)轉(zhuǎn)換為級(jí)數(shù)形式.入射波通過圍巖和支護(hù)分界時(shí)，將在界面上產(chǎn)生反射P波和反射SV波.

1) 圍巖中的勢(shì)函數(shù)可表示為

(10)

為簡(jiǎn)化散射波的研究，采用大圓弧假定，其產(chǎn)生的散射勢(shì)函數(shù)為

(11)

2) 在初期支護(hù)中產(chǎn)生的散射波對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)表示為

(12)

在隧道內(nèi)產(chǎn)生的散射勢(shì)函數(shù)為

(13)

式(10)～(13)中：kj,α,kj,β(j=1,2)分別為對(duì)應(yīng)介質(zhì)中P波和SV波的波數(shù)，kj,α=ω/cj,α，kj,β=ω/cj,β,cj,a,cj,β(j=1,2)分別為對(duì)應(yīng)介質(zhì)中P波和SV波的波速；Hn為Hankel函數(shù);Jn為第一類Bessel函數(shù).

因此，圍巖、支護(hù)的總勢(shì)函數(shù)可分別表示為

(14)

(15)

上述波函數(shù)表達(dá)式均為無窮級(jí)數(shù)形式，因此,在具體計(jì)算中必須考慮求解的精度問題，對(duì)無窮級(jí)數(shù)進(jìn)行截?cái)啵M可能地減少截?cái)嗾`差.當(dāng)計(jì)算項(xiàng)數(shù)取n=7時(shí)，可滿足計(jì)算精度的要求.

3.3 位移及應(yīng)力響應(yīng)的表達(dá)式

圍巖內(nèi)位移和應(yīng)力表達(dá)為

(16)

(17)

3.4 邊界條件

1) 邊界條件1.根據(jù)界面應(yīng)力和位移連續(xù)條件，在隧道圍巖與支護(hù)界面r1=7.25 m處存在

(18)

2) 邊界條件2.在隧道初支內(nèi)表面r1=6.9 m處存在

(19)

利用邊界條件求解上述方程組,即可確定待定系數(shù)的值，將待定系數(shù)代入式(14),(15)，可確定隧道圍巖、支護(hù)內(nèi)的勢(shì)函數(shù)，將其代入式(16),(17)，可得到隧道圍巖、支護(hù)的位移及應(yīng)力響應(yīng)分布.

4 結(jié)果分析

4.1 隧道圍巖和支護(hù)的動(dòng)力響應(yīng)

在建立的數(shù)學(xué)模型中，地面移動(dòng)荷載P(t)作用下會(huì)使土體內(nèi)任意點(diǎn)產(chǎn)生振動(dòng)位移.采用圓形隧道模型，關(guān)于振動(dòng)波在圓形隧道結(jié)構(gòu)的傳播問題，可采用貝塞爾函數(shù)方程解決圓形或環(huán)形結(jié)構(gòu)中的波動(dòng)問題.考慮到振動(dòng)波在隧道分界面?zhèn)鞑r(shí)發(fā)生的反射和折射現(xiàn)象，將振動(dòng)產(chǎn)生的位移勢(shì)函數(shù)φ以貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)形式展開，結(jié)合邊界條件求出待定系數(shù)后，可以得到總勢(shì)函數(shù)表達(dá)，代入式(17)分別求出隧道圍巖和支護(hù)的徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力，最后給出隧道的動(dòng)力響應(yīng)空間分布曲線圖.

取P0=100 kN，v=100 km·h-1，E=1.3 GPa，ν=0.31作為模型計(jì)算參數(shù)，計(jì)算地面移動(dòng)荷載作用下隧道圍巖r1=7.25 m處的動(dòng)力響應(yīng).圍巖徑向應(yīng)力響應(yīng)空間分布,如圖3所示.由圖3可知：隧道圍巖0°拱頂處徑向應(yīng)力達(dá)2 705 Pa，圍巖90°拱側(cè)處徑向應(yīng)力達(dá)145 Pa，圍巖底部可達(dá)470 Pa，表明隧道在拱頂和拱底處均會(huì)受到較大的徑向應(yīng)力；徑向應(yīng)力隨著角度先急速減小再逐漸增大，并在隧道兩側(cè)處達(dá)到徑向應(yīng)力最小值.

圍巖切向應(yīng)力響應(yīng)空間分布,如圖4所示.由圖4可知：隧道拱頂0°～90°位置處受到較大的切向應(yīng)力；在θ=15°位置處受到的切向應(yīng)力最小，且θ=60°拱側(cè)處引起的最大動(dòng)力響應(yīng)達(dá)到576 Pa，表明隧道拱頂和兩側(cè)位置均會(huì)受到較大的切向應(yīng)力.

圖3 圍巖徑向應(yīng)力響應(yīng)空間分布 圖4 圍巖切向應(yīng)力響應(yīng)空間分布 Fig.3 Spatial distribution of radial stress response of surrounding rock Fig.4 Spatial distribution of circumferential stress response of surrounding rock

地面移動(dòng)荷載作用下，隧道支護(hù)的動(dòng)力響應(yīng)分布曲線,如圖5所示.由圖5可知：地面移動(dòng)荷載作用下隧道支護(hù)的拱頂處會(huì)引起較大的動(dòng)力響應(yīng).除了拱頂外，隧道底部也會(huì)引起一定的動(dòng)力響應(yīng).而支護(hù)受到的切向應(yīng)力值遠(yuǎn)小于徑向應(yīng)力值，應(yīng)對(duì)后者進(jìn)行重點(diǎn)分析.對(duì)分析的結(jié)果進(jìn)行假設(shè)，隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)在受到地面移動(dòng)荷載的作用下，支護(hù)的頂部和底部位置處容易引起振動(dòng)效應(yīng)，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的變形.

圖5 支護(hù)的動(dòng)力響應(yīng)空間分布Fig.5 Spatial distribution of dynamic response of support

4.2 動(dòng)力響應(yīng)影響因素分析

為分析不同速度的荷載作用下隧道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)變化規(guī)律，選取隧道埋深X=10 m，移動(dòng)荷載速度v分別為60,100,150 km·h-1，車輛荷載P0=100 kN，t=0.3 s作為模型計(jì)算參數(shù).不同移動(dòng)荷載速度時(shí)，隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)空間分布，如圖6(a)所示.由圖6(a)可知：隨著荷載速度的增大；其徑向應(yīng)力值明顯增大.從隧道頂部到底部，徑向應(yīng)力值先迅速降低再逐漸增長(zhǎng)，并在拱腰處達(dá)到最小響應(yīng).可見當(dāng)隧道埋深較淺時(shí)，地面荷載速度對(duì)下穿隧道的動(dòng)力響應(yīng)有顯著影響，當(dāng)荷載速度不斷增大，隧道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)會(huì)呈倍數(shù)增長(zhǎng).

分析不同埋深下隧道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)變化，選取隧道埋深分別為10,15,20 m，P0=100 kN，v=100 km·h-1，t=0.3 s.不同隧道埋深時(shí)，隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)空間分布，如圖6(b)所示.由圖6(b)可知：隨著隧道埋深的增大，其徑向應(yīng)力值隨之減小，說明隧道埋深越深，受到地面移動(dòng)荷載的影響就越小.

(a) 不同移動(dòng)荷載速度 (b) 不同隧道埋深 圖6 不同移動(dòng)荷載速度和不同隧道埋深下的隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)空間分布Fig.6 Spatial distribution of dynamic response of tunnel support structure under different moving load velocities and different buried depths

基于結(jié)果的分析，提出以下假設(shè)：淺埋隧道在受到地面交通荷載作用時(shí)，隧道結(jié)構(gòu)的拱頂處會(huì)引起較大的響應(yīng).在受到長(zhǎng)期地面交通荷載的作用下，隧道拱頂位置處的支護(hù)結(jié)構(gòu)要比其余位置更容易受到振動(dòng)影響，從而導(dǎo)致支護(hù)結(jié)構(gòu)的使用壽命減少，甚至產(chǎn)生破壞.由于隧道結(jié)構(gòu)引起的徑向應(yīng)力值遠(yuǎn)大于切向應(yīng)力值，故徑向應(yīng)力值可以作為分析淺埋隧道受到地面交通荷載作用下支護(hù)結(jié)構(gòu)損壞的一個(gè)重要參考值.對(duì)地面荷載速度和隧道埋深等因素的分析中，淺埋隧道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)對(duì)地面荷載速度的變化比較敏感.地面車輛速度過快會(huì)使地下淺埋隧道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)快速增長(zhǎng)，對(duì)隧道結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不良影響.

圖7 有限元模型圖Fig.7 Finite element model diagram

5 數(shù)值模型的驗(yàn)證

利用MIDAS軟件建立的有限元網(wǎng)格尺寸如下：模型寬度為100 m，深度為100 m，厚度為4 m，地層和隧道結(jié)構(gòu)各項(xiàng)參數(shù)均嚴(yán)格按照文中數(shù)學(xué)模型建立，并采用簡(jiǎn)化的單一巖層計(jì)算和摩爾-庫倫本構(gòu)模型.有限元模型，如圖7所示.模型寬度方向的網(wǎng)格尺寸設(shè)置為1 m；模型深度方向網(wǎng)格劃分采用線性梯度法，網(wǎng)格起始長(zhǎng)度為1 m，結(jié)束長(zhǎng)度6 m；模型100 m深度處，網(wǎng)格尺寸設(shè)置為6 m；初期支護(hù)外側(cè)(靠近圍巖側(cè))網(wǎng)格劃分尺寸為0.76 m，共劃分60段，初期支護(hù)內(nèi)側(cè)網(wǎng)格劃分尺寸為0.72 m，共劃分60段.建立模型的彈性邊界，并進(jìn)行特征值分析.汽車移動(dòng)速度為100 km·h-1，軸距為6 m，從模型一端運(yùn)動(dòng)到另一端，將根據(jù)理論計(jì)算出的軸荷載輸入模型.

求解類型設(shè)置為線性時(shí)程(直接積分)；時(shí)間步驟定義為總持續(xù)時(shí)間為3.6 s，時(shí)間步驟為100步；將上述計(jì)算得到的兩個(gè)特征值0.491 437 2，0.164 859 4 s分別填入“分析控制”中“動(dòng)力分析”所對(duì)應(yīng)的“模態(tài)1”與“模態(tài)2”對(duì)話框中；最后，進(jìn)行求解計(jì)算.

圖8 圍巖的徑向應(yīng)力云圖Fig.8 Radial stress nephogram of surrounding rock

圖9 圍巖的切向應(yīng)力云圖Fig.9 Circumferential stress nephogram of surrounding rock

圖10 圍巖的切向應(yīng)力對(duì)比圖Fig.10 Contrast diagram of circumferential stress of surrounding rock

圍巖的徑向和切向應(yīng)力云圖，如圖8，9所示.由圖8,9可知：拱頂和拱底位置處產(chǎn)生的振動(dòng)變形和動(dòng)力響應(yīng)較為明顯，拱側(cè)位置的動(dòng)力響應(yīng)較小，得到與理論結(jié)果相似的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律；計(jì)算得到拱頂最大徑向應(yīng)力為2 897 Pa，最大切向應(yīng)力為637 Pa，與理論計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，兩者的誤差范圍均控制在15%以內(nèi)，驗(yàn)證了理論模型的合理性和準(zhǔn)確性.

將數(shù)值模擬得到的切向應(yīng)力數(shù)據(jù)與理論計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖10所示.由圖10可知：數(shù)值模擬得到的應(yīng)力值總體上比理論值大，誤差在允許范圍內(nèi)；而數(shù)值曲線的動(dòng)應(yīng)力分布規(guī)律基本與理論曲線一致.

6 結(jié)論

建立彈性半空間淺埋隧道模型，將地面車載模擬為移動(dòng)集中簡(jiǎn)諧荷載，通過理論方法，研究移動(dòng)集中簡(jiǎn)諧荷載作用下圓形隧道在彈性半空間的動(dòng)力響應(yīng)問題，得到以下4點(diǎn)主要結(jié)論.

1) 地面移動(dòng)集中荷載作用下，從隧道頂部到底部，徑向應(yīng)力響應(yīng)先迅速降低再緩慢增長(zhǎng)，淺埋隧道拱頂和拱底位置處有較大響應(yīng)，拱腰處達(dá)到最小值.隧道拱頂處最容易發(fā)生結(jié)構(gòu)損壞.

2) 地面移動(dòng)集中荷載作用下，淺埋隧道拱頂和拱腰位置處有較大切向應(yīng)力響應(yīng)，拱底處達(dá)最小值.

3) 在不同荷載速度下，隨著荷載速度的增大，其結(jié)構(gòu)受到的徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力響應(yīng)明顯增大.

4) 在不同隧道埋深下，隨著隧道埋深的增大，其徑向應(yīng)力響應(yīng)明顯減小.