由Grothendieck型刻畫生成的非超弱緊測(cè)度和賦范半群

涂昆

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 江蘇 揚(yáng)州 225002)

Banach空間X是自反的當(dāng)且僅當(dāng)其閉單位球BX是弱緊的.一致凸Banach空間是自反的，但是自反空間不一定是一致凸的[1].由James[2]和Enflo[3]的結(jié)論，可知Banach空間是一致凸當(dāng)且僅當(dāng)它是超自反空間.許多學(xué)者研究由空間的局部性質(zhì)刻畫超自反性[4-7]，文獻(xiàn)[8-9] 引入超弱緊集的概念，并證明一個(gè)Banach空間是超自反的當(dāng)且僅當(dāng)其閉單位球是超弱緊集.弱緊集和自反空間的關(guān)系一樣，超弱緊性質(zhì)被視為超自反空間的局部化，因此，超弱緊集提供了一個(gè)研究超自反和一致凸性的新方向.

非緊性測(cè)度是抽象概念“緊性”的定量刻畫，衡量Banach空間中的一個(gè)有界集離“緊”的差距.自1930年Kuratowski[10]引入集合非緊性測(cè)度以來(lái)，非緊性測(cè)度一直受到研究者的重視，并被推廣成各種形式，在積分方程理論中得到廣泛應(yīng)用[11-14].本文研究由Grothendieck型刻畫生成的非超弱緊測(cè)度和賦范半群.

1 基本概念

定義1稱集合A?X為相對(duì)超弱緊集，如果對(duì)任意自由超濾子U，那么AU是相對(duì)弱緊集，相對(duì)超弱緊集的弱閉包是相對(duì)弱緊集.

容易看到，相對(duì)超弱緊集是有界的.Cheng等[9]證明相對(duì)超弱緊集在連續(xù)線性映射下的像是相對(duì)超弱緊集，并且如果A，B是相對(duì)超弱緊集，那么A∪B，A×B，A+B是相對(duì)超弱緊集.另外，相對(duì)超弱緊集A的凸包CO(A)也被證明是相對(duì)超弱緊集.

Cheng等[9]得到超弱緊集的Grothendieck型刻畫定理，非空有界集A?X是相對(duì)超弱緊集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意正數(shù)ε>0，存在相對(duì)超弱緊集S?X，使得A?S+εBX.由此刻畫定理，定義函數(shù)σ:β(X)→[0,∞)為

σ(A)=inf{t>0:A?S+tBX,S為相對(duì)超弱緊},?A∈β(X).

容易證明σ具有如下7個(gè)性質(zhì)：

1)σ(A)=0當(dāng)且僅當(dāng)A是相對(duì)超弱緊集；

2)σ(A)≤σ(B)，如果A?B；

4)σ(A)=σ(CO(A))；

5)σ(A∪B)=max{σ(A),σ(B)}；

6)σ(A+B)≤σ(A)+σ(B)；

7)σ(tA)=|t|σ(A),t∈R.

2 主要定理及證明

設(shè)βC(X)和SC(X)分別表示X上的非空有界閉子集和非空超弱緊子集.在BC(X)上定義加法和數(shù)乘分別為

λ·A={λa:a∈A}，

則(βC(X),⊕,·)為模，同樣，SC(X)是(βC(X),⊕,·)的一個(gè)子模.注意到模是一個(gè)半群.

考慮到商半群為βC(X)/SC(X),如果A∈βC(X)，那么

A+SC(X)∈βC(X)/SC(X).

記[A]=A+SC(X)，商半群中具有繼承而來(lái)的加法和數(shù)乘，即任意[A],[B]∈βC(X)/SC(X)，λ∈F，[A]+[B]=[A+B],λ[A]=[λA],則βC(X)/SC(X)在上述加法和數(shù)乘下為模.進(jìn)一步可以證明，非緊性測(cè)度σ可以生成此模上的一個(gè)范數(shù).

定理1由‖·‖:βC(X)/SC(X)→[0,∞)，‖[A]‖=μ(A)定義的函數(shù)為半群βC(X)/SC(X)上的范數(shù).

證明 1) 函數(shù)‖·‖是良定義的.若有A,B∈βC(X)，使得[A]=[B]，則存在相對(duì)超弱緊集S，使得A=B+S.進(jìn)而‖[A]‖=σ(A)≤σ(B)+σ(S)=σ(B)=‖B‖.同理，由B?A-S,可得‖B‖≤‖A‖，故函數(shù)‖·‖是良定義的.

2) 若存在A∈βC(X)，使得‖[A]‖=0，則σ(A)=0，進(jìn)而A是超弱緊集，即[A]=0.

3) 任意A,B∈βC(X)，‖[A]+[B]‖=σ(A+B)≤σ(A)+σ(B)=‖A‖+‖B‖.

4) 任意A∈βC(X)，λ∈R，‖t[A]‖=σ(tA)=|t|σ(A)=|t|‖[A]‖.

在β(X)上賦予Hausdorff度量dH，即任意A,B∈β(X)，有

則(βC(X),dH)為完備度量空間，(SC(X),dH)為其閉子空間.

設(shè)S(X)表示X中的非空相對(duì)超弱緊集構(gòu)成的集族，則可得到關(guān)于σ的表示定理(定理2).

dH(A,S)<(β+ε),

進(jìn)而σ(A)≤β+ε.由ε的任意性,可知σ(A)≤β.

另一方面，若存在相對(duì)超弱緊集S，使得

A?S+(σ(A)+ε)BX，

顯然d(a,S)≤(σ(A)+ε).若存在s1∈S，使得d(A,s1)>(σ(A)+ε)，則

A?S{s1}+(σ(A)+ε)BX.

進(jìn)而存在W?S，使得A?W+(σ(A)+ε)BX且對(duì)任意w∈W，d(A,w)≤(σ(A)+ε).因此，有dH(A,W)≤(σ(A)+ε)，即證.

χ(A)=inf{‖A/Y‖:Y為有限維子空間}.

對(duì)于超弱緊集的情形，如定理3所示.

定理3設(shè)X為無(wú)窮維Banach空間，則對(duì)任意A∈β(X)，有

σ(A)≤inf{‖A/Y‖:Y為超自反子空間}.

證明 設(shè)Y為X的超自反子空間，‖QY(A)‖≠0，否則，A?Y為相對(duì)超弱緊集，則任取a∈A，n∈N，存在y∈Y，使得

‖a-y‖≤‖QY(a)‖+1/n，

進(jìn)而‖y‖≤‖a‖+‖QY(a)‖+1/n.故存在有界集S?Y，使得A?S+(‖QY(A)‖+1/n)BX，由S為相對(duì)超弱緊及n的任意性，可知σ(A)≤‖QY(A)‖，即命題得證.

與緊集的情形不同，超弱緊生成空間是超弱緊算子生成，而不是超自反空間生成.任何一個(gè)緊集一定是某個(gè)有限維空間中的子集，與此不同的是， Raja[6]構(gòu)造了一個(gè)Banach空間X，且存在一個(gè)超弱緊集S?X，但S不是任何超自反子空間的子集.故上述定理的逆并不一定成立.

設(shè)X，Y是Banach空間，如果T(BY)是超弱緊集，有界線性算子T:Y→X稱為超弱緊算子.Astala[15]研究了一類由算子定義的測(cè)度，被視為連接算子理論與空間的橋梁，類似地，可以構(gòu)建一個(gè)由超弱緊算子生成的關(guān)于此測(cè)度的一個(gè)子類.對(duì)任意A∈β(X)，定義

γ(A)=inf{t>0:A?T(BY)+tBX,T是超弱緊算子},

其下確界取遍所有Banach空間Y和超弱緊算子T.

定理4設(shè)X為Banach空間，任取A,B∈β(X)，有

1)γ(A)≤γ(B)，如果A?B；

2)γ(A)=γ(CO(A))；

3)γ(A∪B)=max{γ(A),γ(B)}；

4)γ(A+B)≤γ(A)+γ(B)‘

5)γ(tA)=|t|γ(A),t∈R.

定理5設(shè)X為Banach空間，任取A∈β(X)，則σ(A)=γ(A).

證明 當(dāng)T是Y到X的超弱緊算子時(shí)，T(BY)是相對(duì)超弱緊集，故σ(A)≤γ(A).另一方面，由文獻(xiàn)[5]，給定任一相對(duì)超弱緊集S，必存在一個(gè)自反空間Y及超弱緊算子T:Y→X，使得S?T(BY)，進(jìn)而γ(A)≤σ(A)，命題得證.