模糊β-最小和最大描述的矩陣表示

黃建新, 許麗婷, 于佩秋, 李進(jìn)金,

(1. 華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021; 2. 閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 福建 漳州 363000)

Zakowski[1]在20世紀(jì)80年代提出的覆蓋粗糙集理論是Pawlak經(jīng)典粗糙集理論[2]的推廣，是知識發(fā)現(xiàn)、規(guī)則獲取領(lǐng)域強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.它不僅豐富了粗糙集理論，而且擴(kuò)展了粗糙集理論在實(shí)際問題中的應(yīng)用.覆蓋粗糙集和經(jīng)典粗糙集都旨在處理定性(離散)數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)庫中屬性的值既可以是符號的，也可以是實(shí)值的[3]，因此，在處理實(shí)值數(shù)據(jù)集時存在很大的局限性.然而，模糊集理論[4]對于克服這些局限性非常有用，因為它可以有效地處理模糊的概念和分級的不可分辨性.因此，學(xué)者們將覆蓋粗糙集模型擴(kuò)展為模糊覆蓋粗糙集.

許多學(xué)者基于模糊覆蓋概念構(gòu)建一些模糊粗糙集模型[5-8]，可以看作是覆蓋粗糙集理論和模糊粗糙集理論的橋梁.在文獻(xiàn)[5,7]中模糊覆蓋的定義中β的值為1，具有一定局限性.Ma[9]通過引入模糊β-覆蓋和模糊β-鄰域的概念，定義更一般的模糊覆蓋粗糙集模型，其中，參數(shù)β的范圍為(0,1].Yang等[10]對模糊β-覆蓋近似空間的性質(zhì)和基于模糊覆蓋的粗糙集模型[9]進(jìn)行研究，提出3種基于模糊覆蓋的粗糙集模型作為模型的推廣.D′err等[11]將4種基于覆蓋的鄰域算子的定義擴(kuò)展到模糊集，并且將模糊鄰域算子與模糊覆蓋相結(jié)合，得到16個不同的模糊鄰域算子，并研究這16個算子之間的偏序關(guān)系.Yang等[12]通過引入鄰域系統(tǒng)、模糊β-最小和最大描述等概念，研究這些模糊鄰域算子的性質(zhì)及其相互關(guān)系，并構(gòu)造6種類型的模糊β-覆蓋.

知識約簡是知識發(fā)現(xiàn)的重要過程，是尋找最簡單規(guī)則和最大泛化規(guī)則的重要手段，因而也是粗糙集理論的核心內(nèi)容之一.知識庫中知識并不是同等重要的，甚至其中某些知識是冗余的，當(dāng)知識庫數(shù)據(jù)是隨機(jī)采集時，其冗余性更為普遍.冗余知識的存在一方面是資源的浪費(fèi)(需要儲存空間)；另一方面，干擾人們作出正確而簡潔的決策.因此，知識約簡的概念被提出，即在保持知識庫分類能力不變的前提下，刪除不相關(guān)或不重要的知識.通過知識約簡，去掉不必要的知識，簡化知識的同時，又不丟失基本信息.

在覆蓋粗造集中，Wang等[13]提出IN-可約元及IN-約簡，使用矩陣方法計算最小和最大描述和覆蓋約簡.在模糊β-覆蓋近似空間中，Yang等[10]提出如果模糊β-覆蓋中的某一個元素可表示為其余某些元素的并集，則這個元素被稱為模糊β-覆蓋中的可約元的定義.Yang等[14]提出了模糊β-最小描述的定義，研究模糊β-最小描述的矩陣表示，并討論了模糊β-最小描述與約簡之間的聯(lián)系.但是在模糊β-覆蓋中對于交可約元及模糊β-最大描述與約簡之間的聯(lián)系沒有相關(guān)研究.因此，本文利用一種新的矩陣方法計算模糊β最小和最大描述，從而討論模糊β-最大描述與約簡之間的聯(lián)系.

1 預(yù)備知識

實(shí)際上，文獻(xiàn)[5,7]中的模糊β-覆蓋的β=1是模糊β-覆蓋的特例.

為了簡化模糊β-最小和最大描述的定義，Yang等[12]給出x的β-鄰域系統(tǒng)的定義.

根據(jù)定義4，x∈U的模糊β-最小和最大描述分別表示為

2 模糊β-最小和最大描述與約簡

2.1 矩陣表示

Yang等[14]提出模糊β-最小描述的定義通過，研究模糊β-最小描述的矩陣表示.通過定義一些新的矩陣，從而給出一種新的模糊β-最小和最大描述的矩陣表示.

根據(jù)定義5,有

對于β=0.5時，根據(jù)定義7,有

根據(jù)定義6，9，可以得到模糊β-最小描述的矩陣表示.

根據(jù)定義6,10，可以得到模糊β-最大描述的矩陣表示.

證明：類似定理1可證明.

提出的模糊β-最小和最大描述的矩陣表示跟文獻(xiàn)[14]中的相比，計算步驟、利用到的矩陣較少.計算的方法簡潔明了且快速，提高計算效率.

根據(jù)定義5,可得

對于β=0.5時，根據(jù)定義7,有

根據(jù)定義9，10，x1的模糊β-最小和最大描述的矩陣表示為

由上述步驟，x2,x3,x4,x5的模糊β-最小和最大描述的矩陣分別表示為

由定理1，當(dāng)β=0.5時,模糊β-最小描述分別為

根據(jù)定理2，當(dāng)β=0.5時,模糊β-最大描述分別為

2.2 模糊β-覆蓋的約簡

若模糊β-覆蓋中的某一個元素可以表示為其余某些元素的并集，則這個元素被稱為模糊β-覆蓋中的可約元[10].模糊β-覆蓋中的某一個元素可以表示為其余某些元素的交集的情況，即定義11.

定理4表明在模糊β-覆蓋中刪除交可約元不會生成任何新的交可約元，也不會使其他在原始模糊β-覆蓋中的交可約元成為新模糊β-覆蓋中的交不可約元.因此，可以通過同時刪除所有交可約元或逐步刪除可約元計算模糊β-覆蓋的約簡.

算法1計算模糊β-覆蓋的約簡

1： For i=1→n

2： C(xi)←0

3： For j=1→m

4： C(xi)←C(xi)∨Cj(xi)

5： End For

6： If C(xi)<β

β-覆蓋”

8： Break

9： End If

10： End For

12： For k=1→m，

13： T←?

14： For l=1→m

15： If Ck?Cl(k≠l)

16： T←T∩Cl

17： End If

18： End For

19： If T=Ck

21：End If

22：End For

2.3 模糊β-最大描述與約簡的關(guān)系

Yang等[14]研究討論模糊β-最小描述與去除并可約元的約簡之間的聯(lián)系.定理5研究模糊β-覆蓋中去除交可約元的約簡與模糊β-最大描述之間的關(guān)系.

3 結(jié)束語

模糊β-覆蓋近似空間是模糊覆蓋的推廣，可以解決模糊覆蓋的局限性.模糊β-覆蓋近似空間是近年才提出的定義，對其研究具有一定意義.在模糊β-覆蓋近似空間中，許多基本問題與模糊β-最小和最大描述有關(guān).對于具有大基數(shù)的模糊β-覆蓋近似空間，使用集合表示解決關(guān)于模糊β-最小和最大描述的問題將是繁瑣而復(fù)雜的.因此，有必要通過矩陣表示，將計算變?yōu)樗惴?，并由計算機(jī)輕松實(shí)現(xiàn).