多粒化粗糙集性質(zhì)的幾個(gè)充分條件

張夏葦

(廈門(mén)理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 廈門(mén) 361024)

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多?；植诩再|(zhì)的幾個(gè)充分條件

張夏葦

(廈門(mén)理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 廈門(mén) 361024)

多?；植诩荘awlak粗糙集非常重要的一種推廣，主要給出當(dāng)X是C(C′)中任意有限個(gè)元素的并集時(shí),樂(lè)觀多?；植诩?悲觀多?；植诩?上下近似對(duì)于交并運(yùn)算的封閉性;得到若X是C′中任意有限個(gè)元素的并集，樂(lè)觀多?；植诩捅^多粒化粗糙集下近似相等；若～X是C′中任意有限個(gè)元素的并集,樂(lè)觀多粒化粗糙集和悲觀多?；植诩辖葡嗟?

多?；?粗糙集;等價(jià)關(guān)系;充分條件

粗糙集是1982年由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak提出的[1]，粗糙集理論是一種新的處理不確定性問(wèn)題的又一有效的工具.目前，該理論已在諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如：模式識(shí)別，醫(yī)療衛(wèi)生，數(shù)據(jù)挖掘，模糊分析[2-6].但是，在粗糙集的理論發(fā)展過(guò)程中，有許多問(wèn)題是經(jīng)典的Pawlak粗糙集無(wú)法解決的.因此，為了擴(kuò)展粗糙集理論的應(yīng)用范圍，諸多學(xué)者不斷地對(duì)Pawlak粗糙集進(jìn)行推廣.錢宇華等[7-8]提出了多?；拇植诩瑥摹傲！钡慕嵌葘?duì)Pawlak粗糙集進(jìn)行了推廣.至此，人們對(duì)多粒化粗糙集進(jìn)行了廣泛和深入的研究.例如：徐偉華等[9-10]將模糊等理論融入到多?；植诩碚撝?，提出了多?；哪：植诩Ｐ?，楊習(xí)貝等[11]在不完全信息的情形下討論多粒化粗糙集的性質(zhì)，并得到諸多有意義的結(jié)果.但是悲觀多?；植诩蜆?lè)觀多?；植诩纳舷陆频南嚓P(guān)性質(zhì)，它們對(duì)于交、并運(yùn)算是否封閉，如果不封閉，那么在什么條件下會(huì)封閉，這些問(wèn)題都還沒(méi)有被研究，本文在前人對(duì)多粒化粗糙集研究的基礎(chǔ)上，對(duì)該模型做了進(jìn)一步的研究，得出了一些結(jié)論，豐富和完善了粗糙集的相關(guān)理論.

1　預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè)(U，R)，R?R為U上一個(gè)等價(jià)關(guān)系，對(duì)?X?U,則

分別稱為子集X關(guān)于等價(jià)關(guān)系R的Pawlak下近似和上近似.

定義2[7-8]設(shè)(U，R)為近似空間，R1，R2，…，Rs?R為等價(jià)關(guān)系，對(duì)?X?U,則

分別稱為子集X關(guān)于等價(jià)關(guān)系R1，R2，…，Rs的樂(lè)觀多?；陆坪蜆?lè)觀多?；辖?

分別稱為子集X關(guān)于等價(jià)關(guān)系R1，R2，…，Rs的悲觀多?；陆坪捅^多粒化上近似.

2　樂(lè)觀多?；植诩膸讉€(gè)充分條件

在文獻(xiàn)[7]中給出多?；植诩娜缦滦再|(zhì).

定理1[7]設(shè)(U，R)為近似空間，R1，R2，…，Rs?R為等價(jià)關(guān)系，對(duì)?x∈U和?X,Y?U，有下列性質(zhì)：

定理2設(shè)(U，R)為近似空間，R1，R2，…，Rs為等價(jià)關(guān)系，對(duì)?X?U，有下列性質(zhì)成立：

證明由定義2及C的構(gòu)造顯然可得.

下面舉例對(duì)定理2作進(jìn)一步的說(shuō)明.

例1設(shè)

U={x1,x2,…,x6},U/R1={{x1,x2},{x3},{x4,x6},{x5}}，U/R2={{x1,x3},{x2,x5},{x4},{x6}}，對(duì)X1={x3}∪{x2,x5}={x2,x3,x5}，有

對(duì)～X2={x3}∪{x2,x5}={x2,x3,x5}，即X2={x1,x4,x6}，有

定理3設(shè)(U，R)為近似空間，R1，R2，…，Rs為等價(jià)關(guān)系，?X,Y?U，有下列性質(zhì)成立：

1)若X∩Y是C中任意有限個(gè)元素的并集，則

2)若～(X∪Y)是C中任意有限個(gè)元素的并集，則

證明1)“?”由定理1顯然可得.

2)由定理1和1)可得.

下面舉例對(duì)定理3進(jìn)行說(shuō)明.

例2在例1中令X1={x1,x2,x3,x4},Y1={x3,x4,x5}，則

所以有

令X2={x4},Y2={x5,x6}，則

另外還有如下結(jié)論.

定理4設(shè)(U，R)為近似空間，R1，R2，…，Rs為等價(jià)關(guān)系，對(duì)?X?U，下列性質(zhì)成立：

1)若X是C中任意有限個(gè)元素的并集，則

2)若～X是C中任意有限個(gè)元素的并集，則

2)類似可證.

下面舉例對(duì)定理4進(jìn)行說(shuō)明.

例3令

U={x1,x2,…,x6},U/R1={{x1,x2,x3},{x4,x5},{x6}},U/R2={{x1,x3,x4,x5},{x2,x6}},

取X1={{x1,x2,x3},{x2,x6}}={x1,x2,x3,x6},則有

3　悲觀多?；植诩膸讉€(gè)充分條件

在文獻(xiàn)[8]中給出了悲觀多粒化粗糙集的如下性質(zhì).

定理5[8]設(shè)(U，R)為近似空間，R1，R2，…，Rs?R為等價(jià)關(guān)系，對(duì)?x∈U和?X、Y?U，下列性質(zhì)成立：

定理6設(shè)(U，R)為近似空間，R1，R2，…，Rs?R為等價(jià)關(guān)系，對(duì)?X?U，下列性質(zhì)成立：

1)若X是C′中任意有限個(gè)元素的并集，則

2)若～X是C′中任意有限個(gè)元素的并集，則

證明1)“?”由定理1顯然可得.

2)類似可證.

例4由例4，可得C′={{x1,x2,x3},{x1,x2,x5},{x1,x3},{x4,x6},{x2,x5}}，對(duì)

X1={{x1,x2,x3}∪{x4,x6}}={x1,x2,x3，x4,x6}，由定義2可得

對(duì)～X2={x1,x2,x3}∪{x2,x5}={x1,x2,x3,x5}，即X2={x4,x6}，由定義2可得

4　樂(lè)觀多粒化粗糙集與悲觀多?；植诩g的關(guān)系

由定義2顯然可得：對(duì)?X?U，

定理7對(duì)?X?U，若X是C′中任意有限個(gè)元素的并集，則有

證明由定理2，定理3和定義2顯然可得.

定理8對(duì)?X?U，若～X是C′中任意有限個(gè)元素的并集，則有

證明由定理2，定理3和定義2顯然可得.

5　結(jié)語(yǔ)

多?；植诩Ｐ褪荘awlak粗糙集一種非常重要的推廣形式，目前仍是粗糙集領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn).Pawlak粗糙集有著良好的性質(zhì)，但是多?；植诩泻芏嘈再|(zhì)卻并不滿足，例如多粒化粗糙集并不滿足粒度性，悲觀多?；植诩粷M足冪等性，樂(lè)觀多粒化粗糙集也不滿足蘊(yùn)含性等等.本文則結(jié)合相應(yīng)的例子分別給出了使上述條件成立的充分條件，那就是X或～X需要滿足是C(C′)中任意有限個(gè)元素的并集，這些結(jié)論的取得豐富了粗糙集的有關(guān)理論，擴(kuò)大了多?；植诩膽?yīng)用范疇.

[1]PAWLAK Z.Rough sets[J].International Journal of Computer and Information Sciences,1982,11(5):341-356.

[2]ANANTHANARAYANAV S,NARASIMHA M M,SUBRAMANIAN D K.Tree structure for efficient data mining using rough sets[J].Pattern Recognition Letter,2003,24(6):851-862.

[3]GRZY MALA-BUSSEI,SIDDHAYE S.Rough sets approach to rule induction from incomplete data[C]//Proceedings of 10th International Conference on Information Proceeding and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems,2004，2:923-930.

[4]JEON G,KIM D,JEONG J.Rough sets attributes reduction based expert system in interlaced video sequences[J].IEEE Transactions on Consumer Electronics,2006，52(4):1 348-1 355.

[5]LI J H,MEI C L,LV Y J.Knowledge reduction in real decision formal contexts[J].Information Sciences,2012，189:191-207.

[6]SWINIARSKI R W,SKOWRON A.Rough set method in feature selection and recognition[J].Pattern Recognition Letter,2003，24(6):833-849.

[7]QIAN Y H,LIANG J Y,YAO Y Y,et al.MGRS:a multi-granulation rough set[J].Information Sciences，2010，180(6):949-970.

[8]QIAN Y H,LIANG J Y,WEI W.Pessimistic rough decision[C]//Second International Workshop on Rough Sets Theory.Zhoushan:[s.n.],2004，12：440-449.

[9]XU W H,WANG Q R,LUO S Q.Multi-granulation fuzzy rough sets[J].Journal of Intelligent and Fuzzy Systems，2014，26:1 323-1 340.

[10]XU W H,WANG Q R,ZHANG X T.Multi-granulation fuzzy rough sets in a fuzzy tolerance approximation space[J].International Journal of Fuzzy Systems，2011，13(4):246-259.

[11]YANG X B,SONG X N,DOU H L,et al.Multi-granulation rough set:from crisp to fuzzy case[J].Ann Fuzzy Math Information,2011,1(1):55-70.

(責(zé)任編輯李寧)

Several Sufficient Conditions on Multi-granulation Rough Sets

ZHANG Xiawei

(School of Applied Mathematics,Xiamen University of Technology,Xiamen 361024,China)

Multi-granulation Rough Set is an important extension of Pawlak rough set,and we mainly give properties on union and intersection of upper and lower approximation of optimistic(pessimistic)multi-granulation rough sets when X is the union of finite elements of C(C′).Finally,we show that when X is the union of finite elements ofC′,the lower approximation of optimistic multi-granulation rough sets and pessimistic multi-granulation rough are equivalent;Same result to the upper approximation of optimistic multi-granulation rough sets and pessimistic multi-granulation rough when～X is the union of finite elements of C′.

multi-granulation;rough set;equivalent relation;sufficient condition

2016-01-08

2016-04-22

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11426192)

張夏葦(1981-)，女，講師，碩士，研究方向?yàn)槿斯ぶ悄?、粗糙集的研?E-mail:xwzhang@xmut.edu.cn

O23；TP18

A

1673-4432(2016)03-0106-06