次可加勢函數(shù)拓撲壓及因子映射

王威 高曉燕

(1.南通理工學院基礎(chǔ)教學學院,南通,226002?2.南京師范大學數(shù)學科學學院,南京,210023)

1 引言

拓撲壓是遍歷論和動力系統(tǒng)研究的重點和熱點.1973 年,Bowen[1]在度量空間中定義對于擴張映射的可加勢函數(shù)的拓撲壓,證明了拓撲壓的變分原理.1975 年,Walters[2]在度量空間中得到了對于一般連續(xù)映射的可加勢函數(shù)的拓撲壓的變分原理.1988 年,Falconer[3]考慮次可加勢函數(shù)在混合排斥集上的熱力學形式,說明了如何用次可加勢函數(shù)來研究非共形變換的動力學.2008 年,Cao[4]把Bowen[1]和Walters[2]的結(jié)果推廣到一般緊致動力系統(tǒng)的次可加勢函數(shù)上,給出了次可加勢函數(shù)的拓撲壓和變分原理.2020 年,Liang[5]利用因子映射給出了一個關(guān)于局部化拓撲壓的半共軛公式.1958 年,Kolomogorov[6]引入了經(jīng)典的測度熵和拓撲熵,之后,熵的研究便成了拓撲動力系統(tǒng)研究的的基本內(nèi)容.

本文在Zhao[7]研究的次可加拓撲壓的基礎(chǔ)上引入因子映射,給出次可加勢函數(shù)拓撲壓的一個上界估計.

定義1([7]) 設(shè)(X,d)是緊致度量空間,T:X →X是連續(xù)映射,K ?X且K/=φ.對給定的常數(shù)ε ＞0,n ∈N,X的子集F稱為X關(guān)于T的(n,ε)-生成集,若?x ∈X,存在y ∈F,使得dn(x,y)≤ε,其中dn(x,y)=max{d(Tkx,Tky):k=1,2,···,n-1},X的子集E稱為X關(guān)于T的(n,ε)-分離集,若?x,y ∈E,x/=y,有dn(x,y)＞ε.

記rn(d,T,ε,K)為K的(n,ε)-生成集的最小基數(shù),sn(d,T,ε,K)為K的(n,ε)-分離集的最大基數(shù).定義

顯然,r(d,T,ε,K)和s(d,T,ε,K)隨著ε的減小而增大.令

易證h*(d,T,K)=h*(d,T,K)且與X上的度量無關(guān),簡記其為h(T,K),并稱其為非緊集K上的Bowen 拓撲熵.

定義2([7])X上的實值連續(xù)函數(shù)族稱為次可加的,如果?n,m ∈N 和x ∈X,有fn+m(x)≤fn(x)+fm(Tnx).

?n ∈N,ε ＞0 和次可加函數(shù)族,定義

P(T,F)稱作次可加勢函數(shù)族F關(guān)于T的拓撲壓,簡記為

下面利用生成集定義次可加勢函數(shù)族關(guān)于T的拓撲壓.

?n ∈N,ε ＞0 和次可加函數(shù)族,定義

Q(T,F)=稱作次可加勢函數(shù)F關(guān)于T的拓撲壓.

記Bn(x,ε)={y ∈X:dn(x,y)＜ε}.令ηn(F,ε)=supx∈Xsup{exp(fn(y)-fn(z)) :y,z ∈Bn(x,ε)}.如果滿足Standing hypothesis,則有

命題1 ([7])設(shè)T:X →X是緊致度量空間X上的連續(xù)映射,F是次可加勢函數(shù)族.若Standing hypothesis 成立,則有P(T,F)=Q(T,F).

定義3([8])設(shè)(X,T)和(Y,S)是兩個拓撲動力系統(tǒng),T:X →X和S:Y →Y是連續(xù)映射.連續(xù)映射π:(X,T)→(Y,S)稱為因子映射，如果π是一一映射且滿足π ?T=S ?π.

1971 年,Bowen[9]利用因子映射得到

2012 年,Fang 等[8]得到關(guān)于拓撲熵及因子映射的一個重要定理:設(shè)π:(X,T)→(Y,S)是因子映射,則對于任何集合E ?X

2013 年,Li 等[10]證明了:若π:(X,T)→(Y,S)是因子映射,φ:Y →R 是X上的實值連續(xù)函數(shù),則對于任何集合E ?X,

其中h(T,π-1(y))=P(T,0,π-1(y)).

2 主要定理及證明

定理1設(shè)(X,T)和(Y,S)是兩個拓撲動力系統(tǒng),π:(X,T)→(Y,S)是因子映射,是Y上的次可加勢函數(shù)且滿足Standing hypothesis,則