分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析

孫大桂

【摘要】新課標(biāo)指出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生能夠運用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維解決生活實際問題.而分類討論思想，作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想之一，有利于考查學(xué)生的綜合能力和靈活應(yīng)用能力，是培養(yǎng)學(xué)生綜合思維的一種重要而有效的方法.為此，本文就分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值、應(yīng)用原則、應(yīng)用路徑進行了探索分析，旨在通過分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的有機滲透，提高學(xué)生的問題解決能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】分類討論思想;初中數(shù)學(xué);應(yīng)用分析

分類討論思想是一種最基本的解決問題的思維策略，旨在將所要研究的對象按照標(biāo)準(zhǔn)分為若干不同的類別，在逐個研究的過程中，達到分而治之的效果[1].在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想貫串整個數(shù)學(xué)教學(xué)全部內(nèi)容，包括概念、定理、公式、運算性質(zhì)、不確定的量等內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要方法.為此，本文就分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進行了探究分析.

一、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值

（一）有利于培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維

分類討論思想要求學(xué)生從多個角度、多個視角對問題進行分析、探討、推測[2].在這個過程中，學(xué)生需要結(jié)合自己已掌握的知識點進行綜合探討，對教學(xué)內(nèi)容進行梳理，使之條理化、邏輯化，將復(fù)雜問題通過歸類轉(zhuǎn)化，在分情況思考分析的基礎(chǔ)上，化繁為簡，看清問題的本質(zhì)，促使問題得到有效解決.經(jīng)過此過程學(xué)習(xí)、深化，不僅可以促進學(xué)生的思維發(fā)展，還可以培養(yǎng)其系統(tǒng)思維，從而提高學(xué)生的知識構(gòu)建能力.

（二）有利于提高學(xué)生的問題解決能力

數(shù)學(xué)思想不僅是一種可以應(yīng)用于學(xué)習(xí)階段的學(xué)習(xí)思路，更是一種人與自然數(shù)量關(guān)系、空間關(guān)系的意識總結(jié)[3].換言之，數(shù)學(xué)思想是一種思維的結(jié)果，能夠幫助人們系統(tǒng)化地看待世界和生活.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分類討論思想，從本質(zhì)上看，是一種邏輯思維的方向，致力于解決數(shù)學(xué)各種小問題，還是一種重要的數(shù)學(xué)思想和解答策略，應(yīng)用于各個模塊中，體現(xiàn)了思路的多元化，對促進學(xué)生思維靈活發(fā)展，認識數(shù)學(xué)內(nèi)容的客觀規(guī)律具有重要的意義.可見，分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，對提高問題解決能力，認識數(shù)學(xué)學(xué)科魅力具有積極的促進作用.

二、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則

（一）層次性和互斥性原則

分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用[4].為此，在教學(xué)的時候，為提高分類討論思想的應(yīng)用價值，要遵從層次性原則，按照解題步驟和各個環(huán)節(jié)的對應(yīng)要求，依次展開探索分析.而互斥性原則是指在分類討論的過程中，所考慮的可能性之間不存在重復(fù)的關(guān)系，各自獨立，沒有交集.

（二）標(biāo)準(zhǔn)性和相稱性原則

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分類討論思想的時候，為提高分類的精準(zhǔn)性和有效性，在分類之前要遵從其標(biāo)準(zhǔn)性的原則，這樣既可以做到周全思考，又可以形成良好的思考學(xué)習(xí)習(xí)慣.同時，在分類對象和分類問題的時候，要遵從其相稱性原則，也就是說對象和問題是相對的，在一一對應(yīng)的基礎(chǔ)上，把握分類討論思想的科學(xué)性和步驟性，避免分類出現(xiàn)交集和重復(fù)，從而提高問題的解決質(zhì)量.

三、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用路徑

（一）利用分類討論思想認識函數(shù)

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點、難點，占據(jù)中考半壁江山.而分類討論思想在函數(shù)教學(xué)中有著較高的應(yīng)用價值，既可以提高對函數(shù)性質(zhì)的理解，又可以實現(xiàn)函數(shù)的靈活應(yīng)用.因此，為了使學(xué)生能夠掌握和消化函數(shù)知識點，培養(yǎng)其分類討論思想非常關(guān)鍵.

例如，“一次函數(shù)”教學(xué)中，在判斷函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)的時候，就需要學(xué)生運用分類討論思想進行綜合考慮.

又如，一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)1≤x≤4時，3≤y≤6，則bk的值是.

在解析這一填空題的時候，教師要讓學(xué)生分析一次函數(shù)的增減性與什么有關(guān).在激活思維的基礎(chǔ)上，回歸題意，題中給出了一次函數(shù)中自變量的取值范圍，但是并沒有明確指出該函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，為此，在解析的時候，就要結(jié)合k>0，k<0這兩種情況進行分析.在分類討論的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生綜合思維能力，深化其所學(xué)知識內(nèi)容.

再如，一次函數(shù)在實際應(yīng)用中的分類.

為改善生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村計劃在江漢堤坡種植白楊樹，現(xiàn)甲、乙兩家林場有相同的白楊樹苗可供選擇，其具體銷售方案如下：

設(shè)購買白楊樹苗x棵，到兩家林場購買所需費用分別為y甲，y乙（元）.

（1）該村需要購買15000棵白楊樹苗，若都在甲林場購買所需費用為多少？若都在乙林場購買所需費用為多少？

（2）分別求出y甲，y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）如果你是該村負責(zé)人，應(yīng)該選擇到哪家林場購買樹苗合算，為什么？

在解析第（1）問的時候，只要根據(jù)單價x數(shù)量就可以得出購買樹苗所需要的費用，但是在問題（2）（3）的解析中，就要引導(dǎo)學(xué)生進行分類討論，根據(jù)圖表和題意所示，讓學(xué)生分別按照0≤x≤1000，x>1000，0≤x≤2000，x>2000進行分段考慮，在（3）的解析中，同樣按照其分類討論表示關(guān)系.學(xué)生通過分類討論對比思考，選出正確的答案.這樣不僅提高問題解析的精準(zhǔn)性，又可以促進學(xué)生學(xué)以致用，使其體會函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用價值.在分類討論思想與函數(shù)有機整合的過程中，提高函數(shù)教學(xué)質(zhì)量.

（二）利用分類討論思想探索方程知識

對于初中數(shù)學(xué)，解方程是考試必考的知識.但是，在解方程的過程中，也會存在一些容易忽略的問題，導(dǎo)致其結(jié)果不完整.因此，為提高學(xué)生掌握這一基礎(chǔ)知識，使其認識分類討論思想在方程知識中的應(yīng)用價值，在教學(xué)的時候，教師可以結(jié)合分類討論思想，通過問題引導(dǎo)的方法，促進學(xué)生有效解決方程問題，從而提高學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性.

在教學(xué)“一元二次方程”時就會應(yīng)用到分類討論思想.

例如：已知關(guān)于x的方程m2x2+（2m+1）x+1=0有實數(shù)根，求m的取值范圍.

在解析這一問題的時候，教師可以讓學(xué)生思考：在題意中有沒有指明是二次方程？在這個基礎(chǔ)上，讓學(xué)生考慮該方程是一次方程的可能，然后根據(jù)兩種情況：“是一（或二）次方程”和“有實數(shù)根”，結(jié)合二次項系數(shù)是否為零進行分類討論，得到：

①當(dāng)m2=0，即m=0，方程為一元一次方程，即x+1=0，有實數(shù)根x=-1;

②當(dāng)m2≠0，即m≠0，方程為一元二次方程，由有實數(shù)根的條件得Δ=（2m+1）2-4m2=4m+1≥0，

m≥-14，

所以m≥-14，且m≠0.

通過分類討論思想的有效應(yīng)用，學(xué)生知道在解析方程時，首先要明確討論的對象;其次要進行合理分類，符合分類的標(biāo)準(zhǔn)原則、周全原則、獨立原則;最后，對問題進行歸納，得出結(jié)論.分類討論思想滲透方程問題的整個解決過程，既可以加深學(xué)生學(xué)習(xí)方程的印象，又可以使其掌握解決方程問題的方法，從而使學(xué)生形成嚴(yán)謹、科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

（三）利用分類討論思想解析動點問題

動點問題一直以來都是中考的難點和學(xué)習(xí)的重點，要解決動點問題，學(xué)生需要具備靈活的思維能力，能夠根據(jù)問題進行分類討論，并在動態(tài)變化的過程中認識問題本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其中的運動規(guī)律，從而實現(xiàn)有效解決問題.因此，為了滲透分類討論思想，提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)效果，可以將此思想應(yīng)用于動點問題探索中.

例如，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-4與x軸交于點A（-2，0）和點B，與y軸交于點C，直線x=1是該拋物線的對稱軸.

（1）求拋物線的解析式.

（2）若兩動點M，H分別從點A，B以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發(fā)，相向而行，當(dāng)點M到達原點時，點H掉頭并以每秒32個單位長度的速度向點B方向移動，當(dāng)點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動，經(jīng)過點M的直線l⊥x軸，交AC或BC于點P，設(shè)點M的運動時間為t秒（t>0），求點M的運動時間t與△APH的面積S 的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

在求解這一問題的時候，解析問題（1）只需要學(xué)生結(jié)合拋物線y=ax2+bx-4與x軸交于點A（-2，0），直線x=1是該拋物線的對稱軸等數(shù)學(xué)信息，通過聯(lián)立方程組便可以求解.但是，對于問題（2）動點問題，則需要學(xué)生考慮實際情況，分類進行討論，在此過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論思想進行探索：

由于點M到達拋物線的對稱軸時需要3秒，所以t≤3.又當(dāng)點M到達原點時需要2秒，且此時點H立刻掉頭，所以可分兩種情況進行討論：

①當(dāng)0

通過分類討論思想在動點問題中的指導(dǎo)應(yīng)用，使得學(xué)生在解析問題的時候，能夠全面分析影響因素，做到高效解題.分類討論思想的運用可以提高學(xué)生的思維能力，又可以使學(xué)生形成良好的解題習(xí)慣.

（四）利用分類討論思想理解抽象概念

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，抽象概念的掌握是提高學(xué)生解題質(zhì)量的關(guān)鍵.但是，有很多學(xué)生在掌握概念的時候，經(jīng)常會出現(xiàn)思維混亂的現(xiàn)象，尤其是對于一些相似性概念.因此，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，教師在教學(xué)數(shù)學(xué)概念的時候，可以通過分類討論思想進行有機滲透，在分條件、分性質(zhì)的過程中，幫助學(xué)生理解、判斷，從而使其加深學(xué)習(xí)印象.

例如，對于“全等三角形”“相似三角形”的知識，由于概念掌握得不扎實，在運用它們解決問題的時候，很容易出現(xiàn)分辨不清、概念亂用的現(xiàn)象.為此，在解析概念的時候，可以引導(dǎo)學(xué)生從全等三角形和相似三角形定義、分類開始分析，先讓學(xué)生根據(jù)題意所涉及的圖形是什么三角形，然后根據(jù)區(qū)分點引導(dǎo)其進行討論.

通過分類討論交流，在思維碰撞的基礎(chǔ)上，就全等三角形和相似三角形抽象概念進行解析，最后為學(xué)生設(shè)計有關(guān)全等三角形或者相似三角形的習(xí)題，讓學(xué)生根據(jù)所掌握的概念，進行分類討論交流，提高概念理解能力和應(yīng)用能力.

結(jié) 語

分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，還可以促進其思維發(fā)展，培養(yǎng)其思維靈活性和系統(tǒng)性，對提高學(xué)生問題解決能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力具有重要的意義.為此，在教學(xué)中，教師一定要重視分類討論思想的應(yīng)用.通過將分類討論思想與函數(shù)、方程、動點問題、抽象概念的有機整合，學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)分類討論思想，并學(xué)會運用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果.

【參考文獻】

[1]邱琴.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].當(dāng)代家庭教育，2020（32）：96-97.

[2]王李杰.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2020（10）：45.

[3]梁靜靜.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用探析[J].數(shù)理化解題研究，2020（29）：20-21.

[4]鄭雪梅.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].新課程，2020（36）：150.