重建三角體系下“余弦的定義和性質(zhì)”的教學(xué)

劉家琪 馬雪皎

【摘要】在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中，三角函數(shù)是公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn)之一，許多老師和專家為此做了大量實(shí)踐研究，但還是未能取得滿意的效果.張景中院士從教育數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上建立三角函數(shù)體系，從三角函數(shù)的發(fā)展引出代數(shù)工具并探索幾何，把三者串在一起，重建了初等數(shù)學(xué)的三角體系，也在現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行了實(shí)踐教學(xué)，取得了優(yōu)異的成果[1].《一線串通的初等數(shù)學(xué)》就是三角新體系的代表作，其中正弦的新定義等都是研究的熱點(diǎn).本文即是根據(jù)《一線串通的初等數(shù)學(xué)》中的三角新體系，在正弦、正弦定理和正弦和角公式整個(gè)知識(shí)體系的基礎(chǔ)上，探討《余弦的定義和性質(zhì)》的教學(xué).

【關(guān)鍵詞】重建三角;教育數(shù)學(xué);銳角三角函數(shù);教學(xué)設(shè)計(jì)

【基金項(xiàng)目】揚(yáng)州大學(xué)大學(xué)生科創(chuàng)基金項(xiàng)目（X20190201）;本項(xiàng)目得到“江蘇省高校品牌專業(yè)建設(shè)工程資助項(xiàng)目（數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，PPZY2015B109）”經(jīng)費(fèi)資助

一、新體系下以正弦為中心的知識(shí)體系簡(jiǎn)述[2]

1.用面積法定義正弦

把邊長(zhǎng)為1，有一個(gè)角為A的菱形面積記作sin（A），也可寫為sin A.

注：由此可得三角形面積公式S△ABC=absin C2=acsin B2=bcsin A2.

2.正弦的基本性質(zhì)

sin 0°=sin 180°=0;sin 90°=1;

互補(bǔ)角正弦相等：sin（180°-A）=sin （A）.

3.直角三角形銳角正弦與邊的關(guān)系

在任意直角三角形中，銳角的正弦值等于該角的對(duì)邊和斜邊的比.

4.增減性

若0°≤α<β<180°，且α+β<180°，則sin α

5.幾個(gè)重要關(guān)系式

正弦和角公式：sin（α+β）=sin α·sin 90°-β+sin? （90°-α）·sin β;

正弦勾股關(guān)系：sin2α+sin2（90°-α）=1;

正弦差角公式：若90°>α>β>0°，有sin（α-β）=sin α·sin （90°-β）-sin? （90°-α）·sin β;

負(fù)角：sin（-α）=-sin α.

新體系下知識(shí)體系如下圖所示：

二、余弦的定義和性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)[2]

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解余弦的概念及性質(zhì)，掌握余弦和差角公式、正余弦倍角公式、積化和差公式、和差化積公式，能夠利用余弦性質(zhì)及相關(guān)公式進(jìn)行解題.

2.掌握余弦概念的生成及性質(zhì)公式的推導(dǎo)過程，發(fā)展符號(hào)意識(shí)，體會(huì)類比轉(zhuǎn)化的思想，提升數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.

3.在正弦的基礎(chǔ)上展開對(duì)余弦的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)余弦的興趣，體會(huì)正、余弦知識(shí)的聯(lián)系，樹立學(xué)生學(xué)習(xí)的信心.

【教學(xué)重、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：

1.理解余弦的定義及其性質(zhì).

2.掌握余弦和差角公式、正余弦倍角公式、積化和差公式、和差化積公式.

難點(diǎn)：

1.理解余弦的性質(zhì).

2.掌握余弦和差角公式、正余弦倍角公式、積化和差公式、和差化積公式.

【教學(xué)過程】

一、回顧復(fù)習(xí)，引出新知

【教師活動(dòng)】

教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧上一章節(jié)學(xué)過的正弦和角、差角公式以及做過的練習(xí)題，指出當(dāng)描述正弦公式時(shí)，頻繁出現(xiàn)sin? （90°-α）這一形式，那么為了簡(jiǎn)化形式，從而能夠更簡(jiǎn)便地表達(dá)和運(yùn)用公式，我們引進(jìn)一個(gè)新的記號(hào)：余弦.

設(shè)計(jì)意圖：一方面能夠幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固正弦部分的知識(shí)，同時(shí)也為本節(jié)課的教學(xué)作鋪墊;另一方面，讓學(xué)生意識(shí)到簡(jiǎn)化sin? （90°-α）形式的必要性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，自然地引出余弦的教學(xué).

【技術(shù)使用】

PPT（板書）展示余弦定義：∠A的余角的正弦，叫作A的余弦，記作cos A.用公式表示即：cos A=sin? （90°-A）.

二、順枝取果，探究性質(zhì)

【教師活動(dòng)】

從定義我們可以看出，余弦的定義引入依賴正弦，二者之間存在密切的聯(lián)系.接下來讓同學(xué)們根據(jù)學(xué)過的正弦方面的知識(shí)，小組合作討論推導(dǎo)出cos A的適用范圍，以及余弦的基本性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生根據(jù)已學(xué)的正弦知識(shí)自主推導(dǎo)余弦相關(guān)內(nèi)容，在鞏固知識(shí)的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練學(xué)生的推理能力，讓學(xué)生從中體會(huì)類比和轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)提升學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力[3].

【學(xué)生活動(dòng)】

學(xué)生小組討論，并在討論結(jié)束后展示成果.

【教師活動(dòng)】

老師給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng)，并給出具體解答：

余弦的適用范圍：因sin A在-180°

余弦的基本性質(zhì)：

（1）直角的余弦為0：cos 90°=0;

（2）0°角的余弦為1：cos 0°=1;

（3）平角的余弦為-1：cos 180°=-1;

（4）互補(bǔ)角余弦互為相反數(shù)：cos（180°-A）=-cos A;

（5）cos（-A）=cos A.

推導(dǎo)：

（1）cos 90°=sin（90°-90°）=sin 0°=0;

（2）cos 0°=sin（90°-0°）=sin 90°=1;

（3）cos 180°=sin（90°-180°）=sin（-90°）=-1;

（4）cos （180°-A）=sin[90°-（180°-A）]=sin （90°-180°+A）=sin （A-90°）=sin[-（90°-A）]=-sin （90°-A）=-cos A;

（5）cos （-A）=sin[90°-（-A）]=sin （90°+A）=sin[180°-（90°-A）]=sin （90°-A）=cos A;

【教師活動(dòng)】

在進(jìn)行簡(jiǎn)單的推導(dǎo)訓(xùn)練后，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了轉(zhuǎn)化推導(dǎo)的基本方法，教師可“趁熱打鐵”，更進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究余弦的其他性質(zhì).如探究余弦的增減性，教師可連續(xù)發(fā)問：

問題1：我們知道余弦的適用范圍是0°≤A≤180°，那么當(dāng)A從0°增加到180°時(shí)，cos A是怎么變化的？

問題2：我們從余弦的變化趨勢(shì)來看，在0°到180°范圍內(nèi)，α=β當(dāng)且僅當(dāng)cos α=cos β，那么我們能否證明呢？

【學(xué)生活動(dòng)】

學(xué)生自主探究.

【生成預(yù)設(shè)】

學(xué)生在推導(dǎo)過余弦基本性質(zhì)后，能夠聯(lián)想到通過正弦的增減性來推導(dǎo)余弦的增減性，但是嚴(yán)格的證明過程還需要教師指導(dǎo).

【教師活動(dòng)】

在學(xué)生給出一些想法后，教師給出正確解答：

證明：當(dāng)0°≤α<β≤90°時(shí)，0°≤90°-β<90°-α≤90°，

故cos α=sin（90°-α）>sin（90°-β）=cos β.

當(dāng)90°≤α<β≤180°時(shí)，0°≤α-90°<β-90°≤90°，

故cos α=-sin（α-90°）>-sin（β-90°）=cos β.

綜上，當(dāng)0°≤α<β≤180°時(shí)都有cos α>cos β，故α=β當(dāng)且僅當(dāng)cos α=cos β得證.

教師總結(jié)：我們可以看出，余弦的性質(zhì)和正弦的性質(zhì)大不相同.首先，銳角和鈍角的正弦都是正的，而對(duì)于余弦來說，卻是銳角正，鈍角負(fù).另外，在0°到180°范圍內(nèi)，互補(bǔ)的角正弦相等，而互補(bǔ)角余弦則相為相反數(shù)，最后，利用正弦和余弦的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以簡(jiǎn)化公式，這就是余弦的好處.

設(shè)計(jì)意圖：掌握余弦的基礎(chǔ)的一些性質(zhì)后，接下來教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從余弦的小空間走出來，從更高的角度觀察正弦和余弦兩者之間的聯(lián)系，也讓學(xué)生明白我們?yōu)槭裁葱枰獙W(xué)習(xí)余弦，以及它有什么作用.

【教師活動(dòng)】

在初中階段，正余弦還是在直角三角形中運(yùn)用的比較多，所以我們接下來要探討直角三角形中銳角的余弦，根據(jù)余弦的定義和直角三角形中銳角的正弦就可以直接推出：

圖1

在以AB為斜邊的Rt△ABC中，銳角的余弦等于其鄰邊和斜邊的比（圖1），即cos A=sin B=bc，cos B=sin A=ac.

到這里，我們就把余弦的相關(guān)性質(zhì)和定義都講完了，但如果想要更好地解決問題，就需要掌握一些相關(guān)的公式.在正弦部分，我們學(xué)習(xí)了正弦和差角公式等等，根據(jù)余弦的定義，以及一些運(yùn)算，我們可以很自然地得出幾組公式.

教師示范公式推導(dǎo)：把正弦和角公式中的sin? （90°-X）換成cos X可以得到：

當(dāng)0°≤α≤180°，0°≤β≤180°，0°≤α+β≤180°時(shí)有：

sin（α+β）=sin α·cos β+cos α·sin β.

那么對(duì)于余弦和角公式，我們可以借用正弦和角公式進(jìn)行推導(dǎo)：

cos（α+β）=sin[90°-（α+β）]=sin[（90°-α）-β]=sin（90°-α）·cos β-sin β·cos （90°-α）=cos α·cos β-sin α·sin β.

接下來，教師讓學(xué)生模仿自己的推導(dǎo)過程，將正弦差角公式、勾股關(guān)系化簡(jiǎn)，并推導(dǎo)出余弦差角公式.

【學(xué)生活動(dòng)】

學(xué)生自主推導(dǎo).

【教師活動(dòng)】

教師展示結(jié)果：

sin（α-β）=sin α·cos β-cos α·sin β

cos（α-β）=cos α·cos β+sin α·sin β

sin2α+cos2α=1

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，如果令α=β，在這種特殊情況下，正、余弦和角公式又會(huì)是什么形式？

【生成預(yù)設(shè)】

學(xué)生經(jīng)過思考能夠很快給出答案，從而得到正、余弦倍角公式：

sin 2α=2sin αcos β

cos 2α=2cos2α-1

【教師活動(dòng)】

教師再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，有了正、余弦和差角公式，我們能否做一做變形，得出另一種形式的公式.

【生成預(yù)設(shè)】

學(xué)生經(jīng)過嘗試，可以發(fā)現(xiàn)將正、余弦和差角公式做加減運(yùn)算，就可以得到公式：

sin α·cos β=sin（α+β）+sin? （α-β）2;

cos α·sin β=sin（α+β）-sin? （α-β）2;

cos α·cos β=cos（α+β）+cos? （α-β）2;

sin α·sin β=cos（α-β）-cos? （α+β）2.

【教師活動(dòng)】

此時(shí)學(xué)生們已經(jīng)得到積化和差公式，接下來就自然而然地引出一個(gè)問題，是否存在和差化積公式.

【學(xué)生活動(dòng)】

學(xué)生自主探究.

【生成預(yù)設(shè)】

學(xué)生可以輕松發(fā)現(xiàn)只要將積化和差公式簡(jiǎn)單變個(gè)形，就能得到和差化積公式的雛形

sin（α+β）+sin? （α-β）=2sin α·cos β;

sin（α+β）-sin? （α-β）=2cos α·sin β;

cos（α+β）+cos? （α-β）=2cos α·cos β;

cos（α-β）-cos? （α+β）=2sin α·sin β.

但很多學(xué)生可能難以想到進(jìn)一步換元.

【教師活動(dòng)】

教師提示：接下來，只需要做一個(gè)簡(jiǎn)單的換元，令α+β=x，α-β=y，就可以得到和差化積公式：

sin x+sin y=2sin x+y2·cos x-y2;

sin x-sin y=2sin x-y2·cos x+y2;

cos x+cos y=2cos x+y2·cos x-y2;

cos x-cos y=2sin x+y2·sin x-y2.

以上，學(xué)生在教師引導(dǎo)和自主探究的基礎(chǔ)上，探索出了一系列正余弦的相關(guān)公式.

探究公式部分設(shè)計(jì)意圖：教師通過正弦和角公式變形推導(dǎo)出余弦和角公式的示范，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一系列公式的推導(dǎo).看似繁多的公式，在教師環(huán)環(huán)相扣的問題設(shè)置和循序漸進(jìn)的語(yǔ)言引導(dǎo)下，學(xué)生能夠自然流暢地推導(dǎo)出來，并且能夠更容易地接受知識(shí)，很好地發(fā)揮了教師的引導(dǎo)作用和學(xué)生的主體性，同時(shí)能夠充分鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力和抽象思維能力[4].

三、活學(xué)活用，例題精練

知識(shí)點(diǎn)教學(xué)完成后，進(jìn)入鞏固練習(xí)階段，教師展示兩道例題，先讓學(xué)生自主練習(xí)，教師再進(jìn)行講解點(diǎn)評(píng).

例1 已知△ABC的兩邊AB=c，AC=b，∠A=2α.求∠A的角分線AF之長(zhǎng)（圖2）.

解 利用面積關(guān)系S△ABF+S△AFC=S△ABC，再用面積公式并化簡(jiǎn)得：

c·AF·sin α+b·AF·sin α=b·c·sin 2α，

將倍角公式sin 2α=2sin α·cos α代入上式并整理得：AF=2bccos αb+c.

【教師活動(dòng)】

教師對(duì)例1進(jìn)行講解，重點(diǎn)講解利用面積公式解題的原因.在已知的一系列公式中，涉及邊與角關(guān)系的公式有正弦定理和三角形面積公式，而在本題中，我們已知的角和邊不是對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以不適合使用正弦定理，那么本題運(yùn)用面積公式可以使AF是唯一未知量，進(jìn)而可以求出答案.另外倍角公式是靈活運(yùn)用.

例2 如圖3，△ABC的兩邊高AD和BE交于點(diǎn)P，求證：APAD=cos? （α+β）cos α·cos β.

證明 在Rt△APE中，AE=APcos β;在Rt△ABE中，AE=ABcos（α+β），在Rt△ABD中，AD=ABcos α，因此得到：

APAD=APAE·AEAB·ABAD=1cos β·cos（α+β）1·1cos α=cos? （α+β）cos α·cos β.證畢.

【教師活動(dòng)】

教師對(duì)例2進(jìn)行講解，重點(diǎn)講解直角三角形中余弦的使用.本題要證明的是邊角關(guān)系，而已學(xué)知識(shí)中與余弦相關(guān)的邊角公式就是直角三角形中的余弦公式，將AP和AD放在不同直角三角形中表示出來，就可以很快解答.

四、課堂小結(jié)，回顧提升

本節(jié)課我們?cè)谡抑R(shí)體系的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)了余弦的相關(guān)內(nèi)容，并做了一些補(bǔ)充.我們可以感受到整節(jié)課都是自然而流暢的，同學(xué)們要學(xué)會(huì)在學(xué)過的知識(shí)基礎(chǔ)上來探索新內(nèi)容，有利于掌握轉(zhuǎn)化思想和抽象的數(shù)學(xué)思維，引領(lǐng)我們快速地進(jìn)入一個(gè)嶄新的殿堂.

三、余弦相關(guān)內(nèi)容新體系教學(xué)的思考

傳統(tǒng)教學(xué)與新體系教學(xué)的區(qū)別（如下表）

根據(jù)表3.1并結(jié)合余弦的定義和性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)，我們可以看出：

傳統(tǒng)教學(xué)優(yōu)勢(shì)：

（1）正弦、余弦、正切三者一同教學(xué)，能夠體現(xiàn)三角函數(shù)知識(shí)的整體性和關(guān)聯(lián)性，能夠幫助學(xué)生建立三角函數(shù)整體的知識(shí)框架.

（2）以銳角三角函數(shù)為重點(diǎn)，利用直角三角形和相似三角形引入講解，使學(xué)生對(duì)余弦有一個(gè)更加直觀的理解，總體上內(nèi)容較簡(jiǎn)單，知識(shí)量小，學(xué)生能夠輕松掌握.

新體系教學(xué)優(yōu)勢(shì)：

（1）新體系教學(xué)起點(diǎn)要求低，延伸性強(qiáng)，擴(kuò)展性高.

新體系下的教學(xué)以小學(xué)知識(shí)作為“生長(zhǎng)點(diǎn)”，開啟正弦教學(xué)，從正弦到余弦一線貫串，并融入了一些高中階段三角函數(shù)的知識(shí)，使余弦這株“小樹苗”長(zhǎng)得枝繁葉茂，內(nèi)容豐富、精煉.學(xué)生能夠在一課時(shí)內(nèi)，掌握比傳統(tǒng)課堂更豐富的知識(shí)，也就擁有了更多的解題工具.

（2）新體系教學(xué)便于理解記憶，有助于教與學(xué).

新體系下的余弦是由正弦知識(shí)引出的流暢自然的知識(shí)內(nèi)容，對(duì)于教師的教和學(xué)生的學(xué)都有促進(jìn)效果.一方面，對(duì)于教師的教來說，在學(xué)習(xí)過正弦的基礎(chǔ)上，教師能更容易地引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出相關(guān)結(jié)論，另一方面，對(duì)于學(xué)生的學(xué)來說，先以記號(hào)呈現(xiàn)的余弦，緊扣正弦，簡(jiǎn)潔明了，便于記憶.學(xué)生僅通過余弦的定義和正弦知識(shí)就可以推導(dǎo)得出余弦的性質(zhì)和相關(guān)公式，掌握進(jìn)入更深層次的學(xué)習(xí)工具.

新三角體系下余弦的定義和性質(zhì)的教學(xué)有可取之處，值得我們借鑒并投入實(shí)踐.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張龍軍，熊莉莉，張景中，李興貴.“一線串通”的初等數(shù)學(xué)新體系邏輯分析[J].成都師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，35（11）：1-7.

[2]張景中，鼓翕成.一線串通的初等數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2010，49（02）：1-5.

[3]鄒丹.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)與反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（30）：48-49.

[4]張小凱，張宗余.三角恒等變換[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（Z1）：89-94.

[5]浦旦君.重組學(xué)材開放教學(xué)，采集生成驅(qū)動(dòng)學(xué)程——以九年級(jí)“銳角三角函數(shù)”起始課教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（02）：22-23.