被遺忘的“銳角三角函數(shù)”的定義

劉曉偉

銳角三角函數(shù)的定義是在直角三角形中給出的，它反映的是直角三角形相應(yīng)兩邊的比值的特性.可能同學(xué)們會(huì)認(rèn)為，只有在解直角三角形的問題時(shí)才會(huì)用到，可事實(shí)上，在求一些線段的比值或線段成比例即三角形相似中，是有更廣泛應(yīng)用的.我們?cè)诮忸}的過程中，如果能有選擇的利用這一點(diǎn)，將會(huì)對(duì)我們的解題起到簡(jiǎn)化過程的作用.

例1 （2014·上海）如圖1，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點(diǎn)H、E，AH=2CH.

（1） 求sinB的值；

（2） 如果CD=，求BE的值.

【思路突破】由已知AH=2CH，在Rt△ACH中，可求∠2的正弦，要求∠B的正弦，只需要證∠B=∠2.再由中線CD=，可求AB=2，由sinB可求AC的長(zhǎng)，由勾股定理可求【解后反思】在不同的直角三角形中，找出相等的角，然后再利用三角函數(shù)的定義找出等量關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵.

例2 如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0

（1） 若△BPQ與△ABC相似，求t的值；

（2） 連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.

【思路突破】（1） △BPQ與△ABC相似，分=或=兩種情況；

（2） 抓住∠BCP=∠QAC，利用三角函數(shù)的定義尋找等量關(guān)系.

（2） 過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ、CP交于點(diǎn)N，則有PB=5t，AB=10，AC=6，sinB=，得PM=3t，BM=4t，MC=8-4t，