初中幾何動點(diǎn)問題解題策略

徐曉丹

【摘要】幾何動點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，這一類問題通常需要學(xué)生畫出運(yùn)動過程中某一時(shí)刻或某段時(shí)間上的圖形，比較抽象，是學(xué)生難以把握的問題之一.這類問題的解決策略是將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，尋找問題中的不變量，把抽象問題具體化，教師需引導(dǎo)學(xué)生探索變化后的圖形特征.解決幾何動點(diǎn)問題的關(guān)鍵在于確定動點(diǎn)運(yùn)動過程中的圖形，用運(yùn)動的觀點(diǎn)看問題，定格到靜止?fàn)顟B(tài)解決問題，動靜結(jié)合.

【關(guān)鍵詞】幾何動點(diǎn);數(shù)學(xué)思想方法;界點(diǎn);轉(zhuǎn)化

“幾何動點(diǎn)問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動點(diǎn)，通過點(diǎn)帶動圖形的運(yùn)動，從而探究圖形的有關(guān)性質(zhì)和圖形之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等.這類問題把觀察、操作、探究、計(jì)算融合在一起，蘊(yùn)含著函數(shù)、方程、分類、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.中考中對這類問題的考查，可以很好地鍛煉學(xué)生的探究能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

一、幾何動點(diǎn)問題常見的考查方式及解決方法

1.求動點(diǎn)運(yùn)動過程中隨時(shí)間變化的線段長.解決這類問題常利用勾股定理、面積橋、三角函數(shù)或相似.

2.當(dāng)動點(diǎn)落在某條邊上或兩點(diǎn)重合時(shí)，求動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間.此時(shí)可以利用新構(gòu)成的特殊幾何圖形，如：直角三角形、等腰三角形、平行四邊形等，找到特殊幾何圖形各邊之間的聯(lián)系，從而求解.

3.求多邊形面積或重疊部分面積或周長的函數(shù)關(guān)系式.解決的關(guān)鍵在于找到界點(diǎn)正確分類，直接利用圖形面積公式或圖形間作差、作和表示函數(shù)關(guān)系式.

4.求動點(diǎn)在特殊位置上的運(yùn)動時(shí)間，如某個(gè)動點(diǎn)落在三角形的角平分線上，三角形一邊的垂直平分線上，三角形的一條中線上，等等.或者是線段把某多邊形面積分成特定比時(shí)的運(yùn)動時(shí)間.這類問題的解決通常要利用三角函數(shù)或構(gòu)造相似.學(xué)生解決這類問題時(shí)覺得很困難，這就要用到轉(zhuǎn)化的思想方法，把特殊位置時(shí)的線段關(guān)系找到，轉(zhuǎn)化成線段的比來列方程求解.

5.求點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度或線段運(yùn)動過程中掃過的圖形面積.解決的方法是找到運(yùn)動開始和終止時(shí)的圖形，再結(jié)合中間的運(yùn)動趨勢來判斷軌跡或掃過圖形的形狀，最后計(jì)算.常見的軌跡有以下幾種：（1）動點(diǎn)到定直線距離保持不變，軌跡是一條直線;（2）動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離保持不變，軌跡是圓弧;（3）動點(diǎn)到定點(diǎn)鉛直距離與水平距離的比保持不變，軌跡是一條直線.

下面以2020年長春市中考數(shù)學(xué)試題第23題為例來說明如何解決幾何動點(diǎn)軌跡問題，此題分值為10分.

例 （2020年長春市中考數(shù)學(xué)試題第23題）如圖1，在△ABC中，∠ABC =90°，AB=4，BC=3.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB-BC以每秒5個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動.點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P，D同時(shí)停止運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合時(shí)，作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)Q，連接PQ，交AC于點(diǎn)E，連接DP，DQ.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t秒.

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求t的值.

（2）用含t的代數(shù)式表示線段CE的長.

（3）當(dāng)△PDQ為銳角三角形時(shí)，求t的取值范圍.

（4）如圖2，取PD的中點(diǎn)M，連接QM，當(dāng)直線QM與△ABC的一條直角邊平行時(shí)，直接寫出t的值.

試題整體分析 這道幾何動點(diǎn)問題的圖形背景是邊長為3，4，5的直角三角形，屬于雙動點(diǎn)問題，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑是折線段AB-BC，點(diǎn)D的運(yùn)動路徑是AC上的部分線段.由“兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P，D同時(shí)停止運(yùn)動”可知運(yùn)動終止時(shí)間為75秒.由“當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合時(shí)”可知運(yùn)動時(shí)間不能取0和75.試題前面兩問比較基礎(chǔ)，但第（2）問由于點(diǎn)P改變路徑產(chǎn)生了分類討論的需要.試題最后兩問引入了圖形變換——軸對稱，增加了思維含量.第（3）問要將“銳角三角形”轉(zhuǎn)化成“直角三角形”尋找界點(diǎn).第（4）問“當(dāng)直線QM與△ABC的一條直角邊平行時(shí)”，由平行可構(gòu)造相似，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例轉(zhuǎn)化成線段的比求解.

下面是本題的正確解答過程：

解 （1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，AP=AB，5t=4，解得t=45.

（分析：兩點(diǎn)重合問題，可以轉(zhuǎn)化成兩條線段相等的問題解決.）

（2）當(dāng)0

當(dāng)45

（分析：用含變量t的式子表示線段長，需要用到分類的數(shù)學(xué)思想.當(dāng)動點(diǎn)的運(yùn)動路徑發(fā)生變化或者點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線之間的相對位置發(fā)生變化時(shí)，都需要分類討論.表示線段長時(shí)通常用三角函數(shù).）

（3）當(dāng)△PDQ是等腰直角三角形時(shí)，PE=DE，

當(dāng)P在線段AB上時(shí)，3t=5-6t，∴t=59.（如圖4）

當(dāng)P在線段BC上時(shí)，285-4t=5t-215，∴t=4945.（如圖5）

∵△PDQ是銳角三角形，

∴t的取值范圍為0

（分析：考查銳角三角形、鈍角三角形的問題都可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，這是因?yàn)橹苯鞘卿J角和鈍角的臨界狀態(tài).又根據(jù)軸對稱可知△PDQ是等腰三角形，所以能判斷出△PDQ是等腰直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，轉(zhuǎn)化成兩條線段相等的問題.）

（3）t的值為518或65.

思路 當(dāng)QM與AB平行時(shí)（如圖6），AD=4AE，∴5-2t=4×4t，

∴t=518;

當(dāng)QM與BC平行時(shí)（如圖7），CD=4CE，∴2t=4×35（7-5t），∴t=65.

（分析：由平行的條件容易得到全等和相似的結(jié)論，從而得到線段的比例關(guān)系，列方程時(shí)通常要選擇運(yùn)動路徑上的線段關(guān)系，這里選擇的都是線段AC上的線段的比.）

二、解決幾何動點(diǎn)問題時(shí)，學(xué)生存在的問題

1.不重視畫圖.

2.找不到界點(diǎn)，不能正確分類.

3.忽視對界點(diǎn)是否包含的判斷.

4.求解析式過程中計(jì)算不準(zhǔn)確.

5.不知道轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)化不徹底.

6.易列出恒等式.

三、針對學(xué)生存在的問題，教師在平時(shí)教學(xué)中可采用以下策略

（一）教會學(xué)生畫圖.明確背景圖形和運(yùn)動圖形，在操作時(shí)建議：

①背景圖形用中性筆畫，運(yùn)動圖形用鉛筆畫，便于修正;

②不同時(shí)刻的圖形有干擾時(shí)，一種情況畫一個(gè)圖形;

③分清主動點(diǎn)和從動點(diǎn)，并判斷它們運(yùn)動的趨勢，必要時(shí)要知道從動點(diǎn)軌跡;

④按照圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系準(zhǔn)確畫圖，落在某些特殊位置時(shí)，可逆序畫圖.

（二）準(zhǔn)確找到界點(diǎn)分類.

①兩點(diǎn)之間的相對位置有變化時(shí)，兩點(diǎn)重合為界點(diǎn).

②動點(diǎn)運(yùn)動路徑有轉(zhuǎn)折時(shí)，路徑的交點(diǎn)為界點(diǎn).

③點(diǎn)穿過圖形邊界時(shí)，落在邊界上的點(diǎn)為界點(diǎn).

④線段穿過圖形邊界時(shí)，線段重疊時(shí)為界點(diǎn).

（三）重視對界點(diǎn)是否包含的判斷，每次遇到界點(diǎn)，都要單獨(dú)拿出來判斷并確認(rèn).

①重新審題，看題干中是否有條件限制，如點(diǎn)P不與A，C重合或S>0等條件.

②界點(diǎn)處圖形是否變化.

③明確關(guān)鍵詞含義，如內(nèi)部（不包含邊界）.

（五）轉(zhuǎn)化的應(yīng)用.

①所有面積的比都可以轉(zhuǎn)化成線段的比.

②特殊位置上的點(diǎn)產(chǎn)生相等線段.

③構(gòu)造相似得成比例線段，一般優(yōu)先選擇運(yùn)動路徑上的線段.

（六）避免列恒等式.

列方程時(shí)需要把握一個(gè)原則：同一個(gè)等量關(guān)系不能既用來表示線段長，又用來列方程.

四、結(jié)束語

總之，教師在引導(dǎo)學(xué)生解決動點(diǎn)問題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生主動觀察、分析、概括、推理，準(zhǔn)確畫圖，從中找出隱含的不變量和變量關(guān)系，把握運(yùn)動中的某些界點(diǎn)位置和特殊位置，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，并將其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題，使問題有效解決.

【參考文獻(xiàn)】

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[2] 吳曉峰 ，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)中動點(diǎn)問題的思考，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（08）：141.