關(guān)于三角函數(shù)恒等變換及三角函數(shù)最值求解的思路分析

季克程

【摘要】三角函數(shù)定理的推導(dǎo)公式有很多，且關(guān)于三角函數(shù)的題型更是層出不窮，那么在解三角函數(shù)恒等變換及求解三角函數(shù)最值的問題時，最重要的就是正確地把握住解題的方向，有目的地對三角函數(shù)進行變換，從而優(yōu)化求解過程.本文將對三角函數(shù)恒等變換及三角函數(shù)最值問題等題型進行分析.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù);恒等變換;最值問題

一、三角函數(shù)恒等變換題型解題思路

公式法直接求解、三角結(jié)構(gòu)變換、消元變換等，都是解決三角函數(shù)恒等變換過程中的重要思想方法，相比利用三角函數(shù)的公式和定理解題而言，更為抽象一些.

1.1 公式法

運用公式解題是三角函數(shù)中最簡單，也是最直接的一種解題思路，然而很多時候我們都無法直接運用公式進行三角函數(shù)的恒等變換，那么我們就要靈活地逆用三角函數(shù)公式，將題目有效化簡.這就要求同學(xué)們對三角函數(shù)的公式十分熟悉，并且有運用和逆用三角函數(shù)公式的意識.

例1 求（3tan 12°-3）÷sin 12°÷（4cos212°-2）的值.

分析 在求題目中三角函數(shù)的值時，首先，我們要觀察式子的角度，發(fā)現(xiàn)角度都為12°，不需要進行角之間的變化.其次，我們要觀察式子中的三角名稱，會發(fā)現(xiàn)式子中既有tan，sin，也有cos，那么此時，我們就要采用公式法，巧妙地逆用三角函數(shù)公式中的二倍角公式、差角公式、再次逆用二倍角公式將目標式恒等變換，然后求出式子的值.

解 （3tan 12°-3）÷sin 12°÷（4cos212°-2）

=3sin 12°cos 12°-3·1sin 12°÷（4cos212°-2）

=（3sin 12°-3cos 12°）÷[（2sin 12°·cos 12°）·（2cos212°-1）]

=2312sin 12°-cos 12°·32÷（sin 24°·cos 24°）（逆用二倍角公式）

=23（sin 12°·cos 60°-cos 12°·sin 60°）÷（sin 24°·cos 24°）

=43sin[12°-60°）÷[2（sin 24°·cos 24°）]（逆用差角公式）

=43sin （-48°）÷sin 48° （逆用二倍角公式）

=-43.

1.2 結(jié)構(gòu)變換法

變換三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)主要是利用降冪或者升冪，以及常數(shù)代換等方法，改變題干中不熟悉的三角結(jié)構(gòu)，進而變化為我們熟知的或題干中已知的三角結(jié)構(gòu).變換三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)是解決三角恒等變換題型時比較抽象的一種數(shù)學(xué)思想方法，這對同學(xué)們掌握三角函數(shù)中各類結(jié)構(gòu)的要求比較高.

例2 已知cos（α-β）=3sin（α+β），求14sin22α+sin2β+cos4α的值.

分析 通過觀察題干，我們可以發(fā)現(xiàn)題干中已知條件和要求的目標式子都很復(fù)雜，角比較多、冪也各不相同，為了方便我們解題，我們必須要對題干中的式子進行結(jié)構(gòu)變換.

解 14sin22α+sin2β+cos4α

=14sin22α+1-cos 2β2+1+cos 2α22

=14（sin22α+cos22α）+12+14+12cos 2α-cos 2β

=1-sin（α+β）sin（α-β）.

∵cos（α-β）=3sin（α+β），

∴sin（α+β）sin（α-β）=13，

∴原式=1-13=23.

1.3 消元法

消元法是高中數(shù)學(xué)中最重要的一種策略，它可以被運用在各個類型的數(shù)學(xué)題目中，當然三角函數(shù)恒等變換這一題型也可以巧妙利用它.消元法的解題步驟主要是：首先確定所需要使用的“一”，一般我們會選擇運算量大的函數(shù)解析式;然后進行歸“一”，使得其他的解析式都用這個“一”來表示;最后“消元”，將所有數(shù)據(jù)代入原式計算.

例3 設(shè)α，β為銳角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin 2α-2sin 2β=0，求證：α+2β=π2.

分析 在本題中，想要求證α+2β=π2，就需要證明sin （α+2β）=0，或者cos （α+2β）=1.知道這一點之后，我們就可以利用消元法，想辦法將這兩個式子中的一個引導(dǎo)出來，從而求證目標式子.

解 ∵3sin2α+2sin2β=1，

∴3sin2α=1-2sin2β=cos 2β.

∵3sin 2α-2sin 2β=0，

∴3sin α·cos α=sin 2β.

∵sin22β+cos22β=1，

∴9sin4α+9sin2α·cos2α=1，

∴9sin2α·（sin2α+cos2α）=1.

∴9sin2α=1，sin2α=19.

∵0<α<π2，

∴sin α>0，∴sin α=13.

∴sin（α+2β）=sin α·cos 2β+cos α·sin 2β

=sin α·3sin2α+cos α·3sin α·cos α

=3sin α·sin2α+cos2α

=3sin α=3×13=1.

∵0<β<π2，

∴0<α+2β<3π2，

∴α+2β=π2.

二、三角函數(shù)最值問題的求解思路

三角函數(shù)的內(nèi)容涉及范圍廣，知識點眾多，可采取的計算化簡方法更是多種多樣，對解決各類問題有跡可循，具有很強的技巧性.除了三角函數(shù)恒等變換題型外，最值問題求解是三角函數(shù)教學(xué)中的重點和難點，是高考的著重突破點，占有很大的比重，下面以三類常見題型為例.

2.1 y=asin x+bccos x+d型

這種類型題的主要特征是以分式的形式呈現(xiàn)，利用函數(shù)的輔助角公式求解，通過去分母的手段將分式轉(zhuǎn)化，將三角函數(shù)與常數(shù)分離，利用y=a2+b2·sin ωx+φ其中tan φ=ba，根據(jù)正弦函數(shù)的值域得到新的不等式，求解函數(shù)的取值范圍.

例1 求函數(shù)y=3-cos x2+sin x的值域.

分析 通過對已知函數(shù)進行觀察分析，可知該函數(shù)符合這種類型的應(yīng)用方法，首先去分母，將y=3-cos x2+sin x轉(zhuǎn)化為ysin x+cos x=3-2y，根據(jù)y=a2+b2sin（ωx+φ），得到sin（x+φ）=3-2yy2+1，在基于正弦函數(shù)的值域下，得到3y2-12y+8≤0，計算可得y的取值范圍.

解 ∵y=3-cos x2+sin x，

∴y2+sin x=3-cos x，

2y+ysin x=3-cos x，

ysin x+cos x=3-2y，

轉(zhuǎn)化為sin（x+φ）=3-2yy2+1.

又∵sin（x+φ）≤1，

∴3-2yy2+1≤1，

3-2y≤y2+1，

3y2-12y+8≤0，

6-233≤y≤6+233，

∴所求值域是6-233，6+233.

2.2 y=asin（ωx）+bcos（ωx）型

對于該種類型的題來說，根本在于輔助角公式的應(yīng)用，將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為y= a2+b2sin（ωx+φ）其中tan φ=ba，然后根據(jù)正弦函數(shù)的值域得出結(jié)果.

例2 已知函數(shù)f（x）=acos（x+θ）+b的最小值是-7，最大值為1，求函數(shù)g（x）=asin（x+θ）+bcos（x+θ）的最大值.

分析 本題中函數(shù)符合這種類型題的應(yīng)用條件，根據(jù)余弦函數(shù)的值域，和已知函數(shù)的兩個最值，可以通過轉(zhuǎn)化得到與未知參數(shù)相關(guān)的等式，求解代入原式，得到g（x）=5sin（x+θ+φ），根據(jù)正弦函數(shù)的取值就可以得到目標函數(shù)的最值.

解 ∵-1≤cos（x+θ）≤1，

且f（x）=acos（x+θ）+b的最小值是-7，最大值為1，

∴b-|a|=-7，b+|a|=1.

解得a=±4，b=-3，

∴g（x）=asin（x+θ）+bcos（x+θ）

=a2+b2sin（x+θ+φ）

=5sin（x+θ+φ）.

∵-1≤sin（x+θ+φ）≤1，

∴g（x）max=5.

2.3 y=asin x+b或y=acos x+b（a≠0）型

該種類型題的解題關(guān)鍵在于化簡、變形，利用正余弦函數(shù)的有界性，最終將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=asin x+b或y=acos x+b（a≠0）的形式，根據(jù)正余弦的取值范圍|sin x|≤1和|cos x|≤1，確定函數(shù)的最小值為b-|a|，最大值為b+|a|.

例3 求函數(shù)y=cosπ3+2xsin π3-2x的最值.

分析 已知函數(shù)是正弦、余弦函數(shù)的乘積式，可以化為y=asin x+b或y=acos x+b的形式，因此在本題中首先將原函數(shù)化簡為y=-12sin 4x+34，然后結(jié)合正弦函數(shù)的值域是[-1，1]，得到化簡后函數(shù)的最值，即最大值為3+24，最小值為3-24.

解 ∵cos（A+B）=cos Acos B-sin Asin B，

sin（A+B）=sin Acos B+cos Asin B，

∴y=cosπ3+2xsin π3-2x

=12cos 2x-32sin 2x32cos 2x-12sin 2x

=34cos22x-34sin 2xcos 2x+34sin22x-14sin 2xcos 2x

=-12sin 4x+34，

∵-1≤sin 4x≤1，

∴ymax=3+24，

ymin=3-24.

對三角函數(shù)的恒等變換以及最值問題的求解考查的是學(xué)生對函數(shù)的觀察分析，通過匹配最簡便的方法，合理利用數(shù)學(xué)思想進行解題，將重點與難點有效解決.學(xué)生在本章節(jié)知識的應(yīng)用中，要學(xué)會知識的融合和問題的簡化，在問題中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中尋找方法，不拘泥于現(xiàn)實的問題與方法，學(xué)會創(chuàng)新，學(xué)會舉一反三，對三角函數(shù)的知識做到靈活運用，不論是求最值還是化簡，或者與幾何結(jié)合的問題，最好都能采用最簡便的方式解決問題.