類比法在數(shù)學解題中的應(yīng)用

陳鎮(zhèn)偉

【文摘】類比是兩事物在一些方面相同或類似去推知在另外一些方面也相同或類似，但這種合情推理的結(jié)論可能正確，也可能錯誤，它還要靠邏輯推理去證明正確與否.類比法的關(guān)鍵就在于善于從新問題聯(lián)想到舊問題，并把新舊問題進行類比.在具體應(yīng)用中，我們一般可以根據(jù)四個原則進行類比解題，把新舊問題相類比，把簡單與復(fù)雜問題相類比，把直觀與抽象問題相類比，把學科間的問題相類比.有意識地培養(yǎng)應(yīng)用類比法解題可提高思維能力和創(chuàng)造力，是獲得新思路新發(fā)現(xiàn)的一條重要途徑，并且能有效鞏固和保持已有的知識.

【關(guān)鍵詞】類比;合情推理;數(shù)學問題;新舊問題;核心素養(yǎng)

在瀚如浩海的初等數(shù)學題中，有大量的題目可用一種特殊的數(shù)學解題方法——類比法解決.什么是類比法呢？著名教育家波利亞說過，“在解答一個顯然難以求解的問題時，提出一個適當?shù)妮o助問題，并加以解答，以找到解決原來問題的途徑.這是一個最獨特的智力活動……一個輔助問題，只要和原來問題相似，而且較為容易，它就可以給予方法論方面的意義”.實際上類比法的實質(zhì)就是如此.它是根據(jù)新舊問題在某些方面相似或相同，推導(dǎo)出它們在其他方面也可能相似或相同的方法，如果我們從邏輯上來看待類比法，它的形式就是數(shù)學推理中的類比推理，用符號表示即為：

研究對象??? 屬性

∵ 甲????? A B C D

乙???? A B C

∴乙也有屬性D.

類比推理是一種或然推理，因而應(yīng)用類比法所推得的結(jié)論是不確定的，我們不能把類比法作為一種嚴格的數(shù)學推理方法.但是，當我們面對一道數(shù)學題束手無策時，我們?nèi)艨紤]用類比法來打開思路，則往往能激發(fā)我們的思維火花，使我們找到解題線索，為解決問題描出一個大概的過程和輪廓.正如康德所說的：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進.”應(yīng)用類比法解題，首先必須全面、細致地審清題意，在審清題意的基礎(chǔ)上，在腦海中閃現(xiàn)出與此類似的舊問題及相關(guān)的理論，并深刻分析問題的實質(zhì)所在，把未知問題和已知問題加以對照，從而根據(jù)已知結(jié)論對未知問題的結(jié)論做出預(yù)測，解決新問題.類比法的關(guān)鍵就在于善于從新問題聯(lián)想到舊問題，并把新舊問題進行類比.在具體應(yīng)用中，我們一般可以根據(jù)四個原則來進行類比解題，把新舊問題相類比，把簡單與復(fù)雜問題相類比，把直觀與抽象問題相類比，把學科間的問題相類比.

一、把新問題和舊問題相類比

已有的知識、經(jīng)驗和方法往往對我們所要解決的問題有著重要的指導(dǎo)意義，適當?shù)匕研聠栴}和舊問題相類比，能開闊我們的思路，使我們尋得解題方法.

例1 解方程x3+（1+2）x2-2=0.

分析 這是以x為未知數(shù)的三次方程，學生對三次方程的解法較為陌生，但對一元二次方程的解法則是掌握的，因此，我們可考慮把三次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，觀察原方程結(jié)構(gòu)特點，若把x視為“已知數(shù)”，把“2”看作未知數(shù)，則原方程便可以看作關(guān)于“2”的一元二次方程.

解 設(shè)y=2，則原方程可化為y2-x2y-（x3+x2）=0，

解方程得：y=-x或y=x2+x，

∴x=-2或x2+x-2=0，

∴x1=-2，x2=-1+1+422，x3=-1-1+422是原方程的解.

例2 已知x，y，z均為實數(shù)，且xy≠-1，yz≠-1，zx≠-1，

求證：x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy·y-z1+yz·z-x1+zx.

分析 此題若用代數(shù)方法證明，則很冗繁，由于這道題的結(jié)論形式是三個代數(shù)式和等于它們?nèi)咧e，因此我們可以回憶一下所解過的類似問題，如下題：

在△ABC中，求證：tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.

這道題的證法是：∵A+B+C=π，∴A+B=π-C，

等式兩邊取正切得：tan A+tan B1-tan A·tan B=-tan C，

去分母整理得：tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.

要將該題的證法進一步移植到原題中，還必須使：

tan A=x-y1+xy，tan B=y-z1+yz，tan C=z-x1+zx.

經(jīng)過分析研究，證法如下：

令x=tan α，y=tan β，z=tan γ，A=α-β，B=β-γ，C=γ-α，

則tan A=tan（α-β）=tan α-tan β1+tan α·tan β=x-y1+xy，

同理tan B=y-z1+yz，tan C=z-x1+zx，

∵A+B+C=（α-β）+（β-λ）+（λ-α）=0，∴A+B=-C，

取正切得tan A+tan B1-tan A·tan B=-tan C，

∴tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C，

即x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy·y-z1+yz·z-x1+zx.

二、把復(fù)雜問題和簡單問題相類比

面對復(fù)雜的問題，可把它簡單化并解決之，從而獲得解決原問題的啟示和依據(jù).

例3 已知角α，β，γ，θ都是銳角，且α+β+γ+θ=π，

求y=sin α·sin β·sin γ·sin θ的最大值.

分析 這里的y是多個角的三角函數(shù)的積，較復(fù)雜，求解難以入手，不妨先來探討一個相似的簡單問題：已知角α，β都是銳角，α+β=A（A為定值且0

y=sin α·sin β=sin α·sin（A-α）

=12cos （2α-A）-cos A，

依題設(shè)條件可知：當且僅當α=A2，即α=β=A2時，

y取得最大值sin A22.

這個簡單問題的解決給了我們什么啟示呢？它使我們自然會猜想原問題正確的結(jié)論也許是：當且僅當α=β=γ=θ=π4時，y取得最大值sin π44，這個結(jié)論果真正確嗎？需要證明，直接證明此結(jié)論似難入手，正難則反，試證若α，β，γ，θ不都相等，則y=sin α·sin β·sin γ·sin θ的值就無法取到最大.有了前面對簡單問題的探究，此命題是很容易解決的，事實上，若α，β，γ，θ不都相等，不妨設(shè)α≠β，我們暫且固定γ，θ的值不變，而讓α，β值變化.

則有α+β=π-（γ+θ）為定值，且0<π-（γ+θ）<π.

∵α≠β，∴sin α·sin β的值不是最大，從而y=sin α·sin β·sin γ·sin θ的值也不是最大，所以我們對原問題的猜想是正確的，問題得以順利解決.

例4 解方程組x+y+z=3，（1）

x2+y2+z2=3，（2）

x3+y3+z3=3.（3）

分析 粗看之下，很難入手，若用代入消元法，則計算十分繁雜，因此先考慮方程組x+y=3，（4）x2+y2=5，（5）雖然這兩個方程組的元數(shù)，次數(shù)均不相同，但仍有不少與原題相似的地方，如每一方程未知數(shù)的次數(shù)都是一樣的，都是關(guān)于未知數(shù)的輪換式，都沒有不同未知數(shù)乘積的項等.根據(jù)x+y=3，再由（4）2-（5）2，求出xy=2，根據(jù)韋達定理得方程x2-3x+2=0，∴x=1或2，∴方程組的解為x1=1，y1=2，或x2=2，y2=1.

類比于上述解法，在原方程組中已知x+y+z=3，同樣設(shè)法求xy+yz+zx和xyz的值，最后用韋達定理求解.

具體解法是：由（1）2-（2）2得

xy+yz+zx=32-32=3，

由（1）3-（3）得（x+y+z）3-（x3+y3+z3）=24，

∴（x+y）（y+z）（z+x）=8，

即（3-z）（3-x）（3-y）=8，

∴xyz=1.

根據(jù)韋達定理得u3-3u2+3u-1=0，∴（u-1）3=0.

從而可知x=1，y=1，z=1是原方程組的解.

三、把抽象的問題和直觀的問題相類比

直觀圖形有助于挖掘問題的本質(zhì)東西，幫助我們理清條序，迅速解題.

例5 已知a>0，b>0且a+b=1，求證a-1a2+b-1b2≥92.

分析 我們注意到左邊兩個平方項有相同的結(jié)構(gòu)，可以類比聯(lián)想到具有這種結(jié)構(gòu)的函數(shù)f（x）=x-1x2，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)容易斷定此函數(shù)圖像是凹的.如圖1所示，

∴f（a）+f（b）2≥fa+b2，

∴a-1a2+b-1b2≥92.

四、把這一學科的問題和鄰近學科的問題相類比

數(shù)學各門分科并不截然孤立，而是有著千絲萬縷的聯(lián)系的.正是由于這種學科間的相互聯(lián)系，相互滲透使我們得以根據(jù)類比思想方法創(chuàng)造性解決問題，使思維得到更高層次發(fā)展.

例6 從四面體的四個頂點A，B，C，D分別向所對的平面引垂線，其長分別為ha，hb，hc，hd，P為四面體內(nèi)任一點，從P向A，B，C，D四點所對的平面作垂線，垂線長分別為pa，pb，pc，pd，求證：paha+pbhb+pchc+pdhd=1.

分析 立體幾何問題一般可以和平面幾何問題相類比，故可考慮如下的一平面幾何題以獲得啟發(fā).設(shè) △ABC的三邊AB，AC，BC的高分別為hc，hb，ha，并且三角形內(nèi)任一點P到這三邊的距離分別為pc，pb，pa.求證：paha+pbhb+pchc=1.

證法為：如圖2，連接PB，PC，

paha=12BC·pa12BC·ha=S△PBCS△ABC.

同理pbhb=12AC·pb12AC·hb=S△PACS△ABC，

pchc=12AB·pc12AB·hc=S△PABS△ABC，

∴paha+pbhb+pchc=S△PBC+S△PAC+S△PABS△ABC=1.

原題與上題類比可得證法如下：

paha=13S△BCD·pa13S△BCD·ha=VP-BCDVA-BCD，

同理pbhb=VP-ACDVA-BCD，pchc=VP-ABDVA-BCD，pdhd=VP-ABCVA-BCD，

∴paha+pbhb+pchc+pdhd=VP-ACD+VP-ABC+VP-BCD+VP-ABDVA-BCD=1.

可以說，在數(shù)學中類比法可解決許多難題，它的應(yīng)用范圍較為廣泛，使用類比法解題要求我們首先要有扎實的知識基礎(chǔ)，其次要善于聯(lián)想，善于分析，合情推理，挖掘事物間本質(zhì)、必然的聯(lián)系，以經(jīng)過論證的事實為依據(jù)，去推測出問題的結(jié)論.正是由于類比法的這種特征，所以教師有意識地培養(yǎng)學生應(yīng)用類比法解題可提高學生思維能力和創(chuàng)造力，并且使其鞏固和保持已有的知識，這是獲得新思路新發(fā)現(xiàn)的一條重要途徑.

【參考文獻】

[1]吳卓.類比推理在高中生物新課程教學中的應(yīng)用研究[D].長春：東北師范大學，2011.

[2]陳慧敏.把握問題結(jié)構(gòu)叩開解決問題大門——“用連除解決問題”教學思考[J].教育界：基礎(chǔ)教育研究（中），2016（06）：57-59.