八元數(shù)矩陣的行列式及其性質(zhì)

【摘要】在賦范的空間中，只有四種可以除的代數(shù)，分別是八元數(shù)、復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)和四元數(shù)，八元數(shù)關(guān)于乘法的計(jì)算中，并非結(jié)合也非交換，所以很難定義八元數(shù)矩陣，使八元數(shù)具有良好的運(yùn)算性質(zhì)同樣也是很困難，在以往對八元數(shù)的矩陣的研究中，李麗和李興民根據(jù)數(shù)學(xué)與物理上的需求，曾提出八元數(shù)自共軛矩陣的行列式應(yīng)該是一個實(shí)數(shù)，通過對幾個八元數(shù)乘積的結(jié)合方式和次序問題，第一次給出了八元數(shù)行列式的定義，但是與四元數(shù)、復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)的運(yùn)算形式相比較，所提出的八元數(shù)行列式的定義中，所包含的運(yùn)算性質(zhì)較少，本次研究給出了八元數(shù)行列式一種新的定義形式，盡可能地使其所包含的運(yùn)算性質(zhì)增多，使八元數(shù)矩陣行列式得到證明.在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師要合理地利用八元數(shù)中的方法和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)自己的教學(xué)內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】八元數(shù);八元數(shù)矩陣;行列式;運(yùn)算;性質(zhì)

【基金項(xiàng)目】貴州省科技計(jì)劃項(xiàng)目“基于八元數(shù)上矩陣行列式的性質(zhì)研究”（合同編號：黔科合LH字【2017】7076號）

在八元數(shù)、四元數(shù)、復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)這四種可除性代數(shù)中，如果Rn規(guī)定乘法運(yùn)算，使任意的X∈Rn;Y∈Rn，并且‖XY‖∈Rn=‖X‖‖Y‖，n∈{1，2，4，8}，在n的這四個實(shí)數(shù)中，雖然滿足結(jié)合律但是不能滿足乘法交換律，八元數(shù)既不滿足結(jié)合律也不滿足乘法交換律.由于實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的行列式理論和矩陣式理論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用很廣，因此隨著四元數(shù)的誕生，四元數(shù)行列式理論和矩陣式理論就一直有人在研究{16，17，18}，但是在四元數(shù)的乘法運(yùn)算中的不交換性，行列式的定義和理論就一直沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn).本次研究的主要目的就是要嘗試建立起八元數(shù)矩陣的行列式概念和基本理論.小學(xué)的數(shù)學(xué)教師要多為學(xué)生創(chuàng)造適合學(xué)生全面發(fā)展的學(xué)習(xí)環(huán)境，參照八元數(shù)的思想內(nèi)容，為學(xué)生設(shè)計(jì)多元化的學(xué)習(xí)任務(wù).

在建立這一基本概念的過程中，首先需要考慮的是八元數(shù)矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，定義了八元數(shù)矩陣式的第一，二，三種初等的變換：設(shè)A∈On×n，λ∈O，On×n中的以上的三種初等變換形式分別如下所示;

一 把A的第J行的左倍加到第i行，然后讓第J列中的右 λ 倍加到第Ⅰ列中，其中{i≠J}，這樣交換運(yùn)算方法又稱為是消法變換.

二 用λ-（λ-≠0）左乘A的第i行，然后用 λ 右乘A第J列，這種變換方法又稱為倍法變換.

三 互換A的第j、i兩行，再互換第J、I 兩列，這種變換方法又稱換法變換.先記P（i，J i）為單位陣i的第J列右 λ 倍加到第i列所得的矩陣，把所得到的這種矩陣稱為消法矩陣.

P{ i （λ）}為單位陣 λ 的第I列右 λ （λ≠0）倍后所得的矩陣，稱為倍法矩陣.

P（i，J）為變換單位陣I的i，J兩列后所得的矩陣，稱為換法矩陣或置換矩陣.

P（i，J），P{i （λ）}，P{i，J}統(tǒng)稱為初等矩陣.所有初等矩陣均是可逆的.且

P（i，J λ）-1 = P（i，J-λ），P{i（λ）}-1 =P{i（1/λ）}，P（i，J）-1 =P（j，i），

并證明了：對A∈On×n實(shí)行第一，二，三種初等變換分別相當(dāng)于

（?。㏄（i，j λ）* AP（i，j λ），

（ⅱ）P{i（ λ）}*AP {i（λ）}，

（ⅲ）P（i，j）*AP（i，J）.

命題蘊(yùn)涵了這些類型的矩陣的乘法滿足結(jié)合性.我們特別對八元數(shù)自共軛矩陣進(jìn)行了重點(diǎn)討論，證明了：若A∈SCn （O），

則對任意的X=（X1，X2 ，X3…Xn）T∈On×1，其中（x*，A，x）肯定是屬于實(shí)數(shù)，這在一定程度上推廣了實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、四元數(shù)的矩陣?yán)碚?由于八元數(shù)關(guān)于乘法非交換和非結(jié)合，如何給出八元數(shù)行列式的定義并使其具備良好的性質(zhì)，是非常困難的.

一般在定義域F上，n階矩陣行列式是定義域F上的一個數(shù)，這個數(shù)是N個項(xiàng)的和，其中每項(xiàng)是不同行、不同列上的n個元素的乘積，并且加上適當(dāng)?shù)姆柤右员硎?由于八元數(shù)不滿足乘法的交換律和結(jié)合律，那么每項(xiàng)中的這n個元素應(yīng)該怎樣相乘計(jì)算，又按照什么順序進(jìn)行排列相乘，每一項(xiàng)怎么進(jìn)行結(jié)合、計(jì)算出來的數(shù)據(jù)的每一項(xiàng)的符號如何確定，這一系列的問題借助謝邦杰教授和陳龍玄教授等提出的四元數(shù)矩陣的行列式工作的研究，對在相乘運(yùn)算職工八元數(shù)的不結(jié)合不交換做出規(guī)定，規(guī)定這n個八元數(shù)相乘過程中的結(jié)合方式.在這樣的規(guī)定下，結(jié)合方式就會有很多選擇.同樣地，不同的概念和定義自然會產(chǎn)生不同的行列式理論.

定義（2.3.1），設(shè)a∈O，在八元數(shù)a的前提下，如果存在b∈O，那么可以使ab=ba=1，這樣就可以把八元數(shù)b稱為八元數(shù)a的倒數(shù)或八元數(shù)a的逆元，把這種方式記作為b=n～，即aa-1 = a-1a=1.

八元數(shù)中，a存在倒數(shù)的充要條件是a≠0，并且n的倒數(shù)a-1是唯一的，由此證明：當(dāng)a-1存在倒數(shù)時(shí)，那么一定有a≠0這一條件的成立，同樣地，用反證法證明的過程，先假設(shè)在n=0的情況下，n對任意b都成立，且（b∈O），從而得出ab=ba=0存在的可能性，由以上證明可見a-1是不存在的這一條件與已知條件相互矛盾，所以必要性的條件存在，這一問題得到證明.

在充分性條件下，設(shè)n≠0，就會有ab=ba=1的存在，根據(jù)一開始的定義，那么就可以得出a存在倒數(shù)，然后證明a的倒數(shù)存在的唯—性，設(shè)a和另一個倒數(shù)h′，則有ah=ha=1.

由以上兩步證明可以得出：ah′-ah=a（h′-h）=0，

因?yàn)閍存在倒數(shù)，所以a≠0.從而可以得出h′-h=0，即有h=h′.

由此可以得出a的倒數(shù)存在唯一性.

小學(xué)的數(shù)學(xué)知識和現(xiàn)實(shí)生活的各個方面都有聯(lián)系，所以小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)要用巧妙的方法引導(dǎo)學(xué)生參加社會實(shí)踐活動，讓學(xué)生在實(shí)際生活中練習(xí)所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，鍛煉學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，使學(xué)生得到全面發(fā)展.

經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)、探討，我們找到了較理想的八元數(shù)行列式的定義，在此定義之下，我們得到了八元數(shù)行列式的一些基本性質(zhì)，證明了八元數(shù)自共軛矩陣的行列式必為實(shí)數(shù).在整個數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，解方程組理論和矩陣?yán)碚?、行列式理論有很大的?lián)系.但是大家都很熟悉的理論一般都是在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上建立的，矩陣元素理論基礎(chǔ)是復(fù)數(shù)，所以當(dāng)矩陣的元素是四元數(shù)時(shí)，一般統(tǒng)一的行列式理論就不再適用.從整個數(shù)學(xué)的研究過程來看，很多人都在研究的過程中曾嘗試給八元數(shù)行列式規(guī)定不同的定義，并且研究與八元數(shù)相關(guān)的性質(zhì)，但是一直沒有人把線性方程組Ax=b和八元數(shù)行列式的理論有效地結(jié)合在一起.主要的原因是因?yàn)榘嗽獢?shù)乘法方式并不是像實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算中的結(jié)合算法，所以，用一般的數(shù)學(xué)方法和結(jié)論不能解決八元數(shù)線性方程組，例如方程Ax+by=c（其中系數(shù)都為八元數(shù)），求該方程的解時(shí)，方程兩邊如果同乘常數(shù)m，就只能得到m（Ax）+m（by）=mc，并不能得到（mA）x+（mb）y=mc.從這個例子可以看出，八元數(shù)的行列式理論與八元數(shù)線性方程組不能以實(shí)數(shù)為基礎(chǔ)進(jìn)行計(jì)算，它是一個獨(dú)立的理論系統(tǒng).但是換一個思維模式想，如果在計(jì)算八元數(shù)矩陣時(shí)不使用行列式理論，那么八元數(shù)行列式中的求逆問題就可以得到解決了，有關(guān)八元數(shù)線性方程組的一系列問題也可以得到解決.這一問題我國數(shù)學(xué)家早已對此類問題有過研究.

本次研究利用八元數(shù)的矩陣給出簡單的論證方式.通過論證結(jié)果可以得出，通過用八元數(shù)的矩陣表示，把解決八元數(shù)中線性方程組的問題，通過轉(zhuǎn)化，變成8n得實(shí)線性方程組，進(jìn)而對其進(jìn)行求解，就等于把n階的八元數(shù)矩陣求逆問題轉(zhuǎn)化為8n階實(shí)矩陣求逆的問題.因?yàn)榘嗽獢?shù)的運(yùn)算存在特殊情況，所以在對四元數(shù)線性方程組進(jìn)行求解的問題上，可以轉(zhuǎn)化為實(shí)矩陣求逆問題，同樣的四元數(shù)矩陣的求逆問題也可以通過這種轉(zhuǎn)化方式得以解決.

因?yàn)榘嗽獢?shù)在乘法運(yùn)算中，具有不結(jié)合性和不可交換性，所以在對八元數(shù)的研究領(lǐng)域中，八元數(shù)的研究工作在一定程度上受到了很大的影響.但是到了20世紀(jì)90年代之后，計(jì)算技術(shù)控、控制理論技術(shù)的成熟和物理技術(shù)的進(jìn)步，對八元數(shù)的研究進(jìn)度也得到了一定程度的提升，在如今的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)界開始被重視起來.在最近幾年的研究中，很多的數(shù)學(xué)專家和知名學(xué)者對八元數(shù)矩陣的行列式性質(zhì)進(jìn)行了一系列探討和研究，并且取得了很大的研究成果.就像我國著名的數(shù)學(xué)家何杰華，他用兩種方法對八元數(shù)上的行列式下了定義，得到了關(guān)于八元數(shù)的性質(zhì)，并且找出了一些有關(guān)八元數(shù)三階行列式的計(jì)算機(jī)計(jì)算方法，在解決八元數(shù)二階線性方程組的問題上也同樣適用.

結(jié) 語

在對八元數(shù)矩陣行列式的研究中，以上的討論和說明都相對膚淺.在自己所給出的八元數(shù)行列式的定義之下，很多熟悉運(yùn)用的基本計(jì)算方法和公式在八元數(shù)的概念下都不再適用，并且原先所具備的行列式的性質(zhì)也不能利用，所以如何更好地給出八元數(shù)行列式定義，使該定義具有很高的嚴(yán)謹(jǐn)性和系統(tǒng)性，并且具有比較完備的適用性質(zhì)，是以后數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的重點(diǎn)，還需要不斷努力.但是在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要尋找更多的教學(xué)方法，為學(xué)生創(chuàng)造多元化、智能化的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生能通過多個渠道學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，開發(fā)學(xué)生的智力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王丹.八元數(shù)上矩陣行列式的一種定義及幾個性質(zhì)[J].考試周刊，2012（55）：61-62.

[2]胡雙年，李艷艷，朱玉清，等.定義在多重互素GCD封閉集上Smith矩陣行列式的整除性[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2020（01）：45-49.

[3]葉磊，王勇，楊強(qiáng)，等.基于對數(shù)行列式散度與對稱對數(shù)行列式散度的高頻地波雷達(dá)目標(biāo)檢測器[J].電子與信息學(xué)報(bào)，2019（08）：1931-1938.

[4]生玉秋，宋丹，許璐珂，等.剩余類環(huán)上二階對稱矩陣模的保行列式的加法映射[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2018（06）：527-531.

[5]程瑜，戴振祥，劉偉明.差分方程在矩陣冪、行列式及概率計(jì)算中的應(yīng)用[J].江蘇師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018（04）：53-57.

[6]魏漸俊，陳良育.基于GPGPU的大整數(shù)矩陣行列式快速準(zhǔn)確計(jì)算方法[J].計(jì)算機(jī)工程，2018（03）：47-54.

[7]師白娟.包含廣義Fibonacci多項(xiàng)式的循環(huán)矩陣行列式的計(jì)算[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017（01）：22-28.

[8]賀美美.關(guān)于調(diào)和Fibonacci數(shù)的一類特殊矩陣的譜范數(shù)[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018（03）：330-334.

[9]段復(fù)建，文艷姑.嚴(yán)格雙對角占優(yōu)矩陣行列式的上下界估計(jì)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2020（02）：463-474.

[10]呂哲，高玉斌.四葉圖距離矩陣2個最大特征值和的變化[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2020（02）：148-157.