理順數(shù)量關(guān)系 明晰解題思路

【摘要】本文論述在教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生理順錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，順利找準(zhǔn)單位“1”的方法，提出尋找等量關(guān)系創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)思維起點(diǎn)、厘清標(biāo)準(zhǔn)建立數(shù)量思維基礎(chǔ)、創(chuàng)新實(shí)踐操作提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、對(duì)接生活訓(xùn)練建構(gòu)數(shù)學(xué)思維體系等教學(xué)建議，以讓學(xué)生成功理順數(shù)量關(guān)系，順利解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)量關(guān)系 解題思路 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）05-0104-02

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題要面對(duì)多種數(shù)量關(guān)系，如何讓學(xué)生順利找出這些關(guān)系，形成關(guān)聯(lián)性思考和認(rèn)知，是數(shù)學(xué)教學(xué)需要重點(diǎn)考慮的問(wèn)題。教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，對(duì)多種等量關(guān)系進(jìn)行對(duì)應(yīng)分析，引導(dǎo)學(xué)生快速梳理思維，并在歸納總結(jié)和提煉中形成教學(xué)啟發(fā)點(diǎn)。如在應(yīng)用分?jǐn)?shù)解決實(shí)際問(wèn)題中概括出分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基本模式：①先找準(zhǔn)單位“1”。②判斷單位“1”是否已告知，如果已知，就直接用乘法計(jì)算各個(gè)分量;如果待定，就寫出乘法等式，用算術(shù)方法或方程解答。如果學(xué)生套用這兩個(gè)模式，雖然短期內(nèi)可能會(huì)收到奇效，但是把解題思路套路化、公式化，學(xué)生只會(huì)機(jī)械模仿，不明就里，這不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和創(chuàng)新能力的提高。

一、尋找等量關(guān)系，創(chuàng)設(shè)數(shù)理思維起點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)啟動(dòng)后，教師要給予科學(xué)的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生先找出各種數(shù)量關(guān)系，以勾畫明晰的教學(xué)框架，為學(xué)生的學(xué)習(xí)思維啟動(dòng)創(chuàng)造條件。在運(yùn)用分?jǐn)?shù)解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)中，如何確定單位“1”？“牢牢記住，凡是說(shuō)誰(shuí)的幾分之幾，誰(shuí)就是單位‘1（以下簡(jiǎn)稱“句法分析法”）。”筆者認(rèn)為，這種句法分析法，只能幫助學(xué)生找準(zhǔn)單位“1”，而不能幫助學(xué)生理解何為單位“1”。又如，“牡丹花朵數(shù)占杜鵑花朵數(shù)的[37]”（以下簡(jiǎn)稱例1），如果按“句法分析法”思考，學(xué)生勢(shì)必會(huì)這樣分析：“杜鵑花的[37]”，杜鵑花的朵數(shù)是單位“1”。這樣思考，快速高效，但這僅是語(yǔ)句成分分析，學(xué)生對(duì)“為什么要把杜鵑花的朵數(shù)作為單位‘1”根本不理解。

因此，教師要為學(xué)生做出更多針對(duì)性指導(dǎo)，讓學(xué)生順利找到等量關(guān)系的對(duì)接點(diǎn)，才能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。在例1教學(xué)中，教師可以從下面幾個(gè)角度展開引導(dǎo)：

（一）從分?jǐn)?shù)的意義理解單位“1”

分?jǐn)?shù)的意義是建立在單位“1”基礎(chǔ)上的，反之，理解分?jǐn)?shù)意義就可以鎖定單位“1”。所以，教師不妨從分?jǐn)?shù)的意義入手，引導(dǎo)學(xué)生理解單位“1”。如例1中[37]表示把杜鵑花的朵數(shù)視為一個(gè)整體，等分成7份，牡丹花占了其中的3份。這里只有杜鵑花的朵數(shù)被看作單位“1”，所以它是單位“1”。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)和操作能夠讓學(xué)生順利地找到單位“1”，對(duì)數(shù)量關(guān)系也理解透徹了。

（二）及早滲透找單位“1”

在教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，教師要有前瞻性，提前滲透單位“1”的知識(shí)，為以后學(xué)習(xí)解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題打好基礎(chǔ)。例如，教師可以讓學(xué)生先試著用分?jǐn)?shù)的意義解答：牡丹花朵數(shù)占杜鵑花的[37]，如果杜鵑花開了140朵，那么牡丹花開了（ ）朵;如果牡丹花開了90朵，那么杜鵑花開了（ ）朵。教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生這樣思考：把140朵杜鵑花看成單位“1”，等分成7份，每份得到20朵，牡丹花含有等量的3份，也就是60朵;把杜鵑花看成單位“1”，等分成7份，牡丹花含有等量的3份，共是90朵，而杜鵑花含有等量的7份，也就是210朵。解答時(shí)，學(xué)生在理解分?jǐn)?shù)意義的同時(shí)，自然而然就會(huì)找到單位“1”。

二、厘清標(biāo)準(zhǔn)，建立數(shù)理思維基礎(chǔ)

又如，“華為手機(jī)的臺(tái)數(shù)比蘋果手機(jī)多[15]”（以下簡(jiǎn)稱例2），它的含義是：華為手機(jī)臺(tái)數(shù)比蘋果手機(jī)多出的數(shù)量占蘋果手機(jī)的[15]，則蘋果手機(jī)的臺(tái)數(shù)是單位“1”。筆者認(rèn)為，這種做法其實(shí)還是將其轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢l(shuí)占誰(shuí)的幾分之幾”的標(biāo)準(zhǔn)句式（例1）的形式，然后按“句法分析法”來(lái)尋找單位“1”。這樣找單位“1”，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生疑惑：為什么是“多出的數(shù)量是占蘋果手機(jī)的[15]”，而不是“占華為手機(jī)的[15]”呢？

學(xué)生對(duì)等量關(guān)系存在模糊認(rèn)知，教師需要給學(xué)生提供更多的操作標(biāo)準(zhǔn)，為學(xué)生帶來(lái)學(xué)習(xí)提示，促使學(xué)生在多重對(duì)比分析中找到正確的切入口。結(jié)合前文體例，教師不妨從以下幾個(gè)角度進(jìn)行設(shè)計(jì)：

1.讓學(xué)生體會(huì)比多（少）時(shí)“標(biāo)準(zhǔn)”的重要性。例如，教師可以先設(shè)計(jì)誘導(dǎo)性提問(wèn)：“黃牛高還是矮？”（學(xué)生一臉茫然）然后追問(wèn)：“為什么不能作出判斷呢？”（那要看和誰(shuí)比）最后教師說(shuō)明：“如果以小狗為標(biāo)準(zhǔn)，黃牛就顯得高;如果以長(zhǎng)頸鹿為標(biāo)準(zhǔn)，黃牛就顯得矮?！蓖ㄟ^(guò)這樣教學(xué)，學(xué)生在比多（少）時(shí)，就會(huì)意識(shí)到“標(biāo)準(zhǔn)”的重要性。

2.從比多（少）中確立單位“1”。例如，找例2中的單位“1”，教師可以這樣引導(dǎo)：誰(shuí)多？（華為手機(jī)多）和哪種品牌手機(jī)比華為手機(jī)顯得多？（和蘋果手機(jī)比）比較的“標(biāo)準(zhǔn)”是什么？（蘋果手機(jī)的臺(tái)數(shù)）多的臺(tái)數(shù)占誰(shuí)的[15]？（因?yàn)樘O果手機(jī)的臺(tái)數(shù)是比較的“標(biāo)準(zhǔn)”，所以多出的臺(tái)數(shù)占蘋果手機(jī)的[15]）1表示什么意思？（引導(dǎo)學(xué)生按例1的辦法確定單位“1”）這樣尋找單位“1”，學(xué)生能夠領(lǐng)悟把蘋果手機(jī)的臺(tái)數(shù)設(shè)為單位“1”的深層原因，就不會(huì)產(chǎn)生“句式分析法”引發(fā)的疑惑，從而深刻理解數(shù)量關(guān)系在相差中含有倍率，為后面分析問(wèn)題做好準(zhǔn)備。

三、創(chuàng)新實(shí)踐操作，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

如何尋找解題方法？“根據(jù)分?jǐn)?shù)意義寫出乘法等式”，并且片面強(qiáng)調(diào)，寫的是“乘法等式”，而避開“等量關(guān)系式”的說(shuō)法。其理由是：寫乘法等式簡(jiǎn)單直接、路線明確，如果要求是寫出等量關(guān)系式，并不利于潛力生掌握。如此一來(lái)，學(xué)生“掌握”的只是模仿的技能，只會(huì)解一類題，如果題目出現(xiàn)了一些細(xì)微變化，就會(huì)束手無(wú)策，無(wú)法找到解決問(wèn)題的通路。

如，“牡丹花=杜鵑花×[37]”。怎么操作呢？文中給出答案：“分?jǐn)?shù)前面的‘的字改寫成乘號(hào)，‘是、占、相當(dāng)于、與則變換成等號(hào)?！边@種機(jī)械的“改字”法，學(xué)生運(yùn)用起來(lái)非常生硬，依然找不到正確的出口。此時(shí)，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從多角度進(jìn)行思考，用多個(gè)等量關(guān)系式替換一個(gè)乘法等式，這樣，學(xué)生很快能就獲得清晰的等量關(guān)系，為解決問(wèn)題提供更多的途徑。

如例1，可供選擇的等量關(guān)系式有三個(gè)：A.牡丹花的朵數(shù)÷杜鵑花的朵數(shù)=[37];B.杜鵑花的朵數(shù)×[37]=牡丹花的朵數(shù);C.牡丹花的朵數(shù)÷[37]=杜鵑花的朵數(shù)。有了這三個(gè)關(guān)系式，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)就能游刃有余。假如單位“1”已知，直接用B式正向解決;假如單位“1”未知，要么繼續(xù)設(shè)未知數(shù)用B式列方程解答，要么采用C式順推解決。如此一來(lái)，學(xué)生不但領(lǐng)悟了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系，而且也學(xué)會(huì)了自主靈活解題，提高了應(yīng)對(duì)復(fù)雜分?jǐn)?shù)問(wèn)題的能力。

四、對(duì)接生活訓(xùn)練，構(gòu)建數(shù)學(xué)思維體系

在教學(xué)例2時(shí)，教師如果先啟發(fā)學(xué)生計(jì)算華為手機(jī)比蘋果手機(jī)多的臺(tái)數(shù)，列出“蘋果手機(jī)×[15]”，進(jìn)而列出乘法等式“華為手機(jī)=蘋果手機(jī)+蘋果手機(jī)×[15]”，再來(lái)變換式子，“利用乘法分配律得出：華為手機(jī)=（1+[15]）×蘋果手機(jī)”。這樣教學(xué)，數(shù)量關(guān)系沒(méi)有揭示清楚。另外，利用乘法分配律變換的算式，只是一種形式的改動(dòng)，沒(méi)有把握其內(nèi)在的關(guān)于分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)。

在數(shù)量等量關(guān)系梳理中，教師需要有對(duì)接意識(shí)，針對(duì)學(xué)生的生活認(rèn)知基礎(chǔ)，為學(xué)生提供豐富的訓(xùn)練內(nèi)容，讓學(xué)生在具體的實(shí)踐操作中形成數(shù)學(xué)思維認(rèn)知。針對(duì)具體課例，教師可以從以下兩個(gè)方向做出應(yīng)對(duì)：

1.畫線段圖分析數(shù)量關(guān)系。第一，先畫出表示蘋果手機(jī)臺(tái)數(shù)的線段，因?yàn)樗潜容^的標(biāo)準(zhǔn)（也就是單位“1”），等分成4段。第二，再畫出表示華為手機(jī)臺(tái)數(shù)的線段，它由兩段組接而成，一段表示與蘋果手機(jī)臺(tái)數(shù)相等，另一段表示蘋果手機(jī)臺(tái)數(shù)的[15]。

2.理順“比多少”情境下的基本數(shù)量關(guān)系。師：我們知道3比5少2，5比3多2，5為“大數(shù)”，3為“小數(shù)”，2為“差值”，那么三者之間的關(guān)系是：大數(shù)-小數(shù)=差值;小數(shù)+差值=大數(shù);大數(shù)-差值=小數(shù)。另外，以“比多少”為基礎(chǔ)，分析如同例2中的超出倍率的數(shù)量關(guān)系。師引導(dǎo)：華為手機(jī)的臺(tái)數(shù)相當(dāng)于“大數(shù)”，蘋果手機(jī)的臺(tái)數(shù)相當(dāng)于“小數(shù)”，“差值”是“蘋果手機(jī)的臺(tái)數(shù)×[15]”。最后，教師適時(shí)投放思考問(wèn)題：三者之間有什么關(guān)系呢？這樣，學(xué)生就能根據(jù)問(wèn)題順利找出他們之間的數(shù)量關(guān)系，從而順利構(gòu)建數(shù)學(xué)思維體系。A.華為手機(jī)的臺(tái)數(shù)-蘋果手機(jī)的臺(tái)數(shù)=蘋果手機(jī)的臺(tái)數(shù)×[15];B.蘋果手機(jī)的臺(tái)數(shù)+蘋果手機(jī)的臺(tái)數(shù)×[15]=華為手機(jī)的臺(tái)數(shù);C.華為手機(jī)的臺(tái)數(shù)-蘋果手機(jī)的臺(tái)數(shù)×[15]=蘋果手機(jī)的臺(tái)數(shù)。

總之，通過(guò)深入分析數(shù)量關(guān)系，學(xué)生可以深刻理解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，避免機(jī)械照搬公式，真正做到融會(huì)貫通、靈活處理，進(jìn)而全面提升思維能力和解題水平。

作者簡(jiǎn)介：覃江玲（1972— ），女，廣西大化人，大學(xué)本科學(xué)歷，高級(jí)教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

（責(zé)編 林 劍）