如何通過數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

張婭妮 李雪芳

【摘要】本文通過對(duì)高壓油管的壓力控制問題的分析來探討數(shù)學(xué)建模過程中的創(chuàng)新思維，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模對(duì)創(chuàng)新思維的激發(fā)作用，論證了數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的一種良好方法.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;創(chuàng)新思維;高壓油管;壓力控制

數(shù)學(xué)建模的過程實(shí)際上是將問題數(shù)學(xué)化，并解決問題、給出答案的過程.從培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的層面來看，所謂建模的思想即需要先明白問題是什么，然后理清思路解決問題;從發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造能力的層面來看，它的理念、目標(biāo)與現(xiàn)代教育的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，以及素質(zhì)教育的內(nèi)在要求是一致的.數(shù)學(xué)建模需要學(xué)生具備想象力，推理能力，綜合運(yùn)用各學(xué)科的知識(shí)的能力，查閱文獻(xiàn)的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)能力，抽象思維能力，計(jì)算、分析和處理數(shù)據(jù)能力等.數(shù)學(xué)建模既是數(shù)學(xué)課，也是勞動(dòng)課和實(shí)踐課.它的魅力在于“只要參與，就會(huì)有收獲”，其團(tuán)隊(duì)作業(yè)的模式既凸顯了協(xié)作的重要性，也極大地豐富和活化了創(chuàng)新思維.與隊(duì)友交流、研討、協(xié)作共進(jìn)的過程是不斷學(xué)習(xí)的過程，同時(shí)，在專業(yè)教師的啟發(fā)和幫助下對(duì)方案不斷地施以“重啟”和“更新”是提高的過程，一刻也不能停歇的“手腦并用”的學(xué)習(xí)更是效果最佳、收獲最大的學(xué)習(xí).毫不夸張地說，參與數(shù)學(xué)建模的經(jīng)歷及其對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的提升，將對(duì)學(xué)生整個(gè)學(xué)習(xí)生涯產(chǎn)生積極的影響，并使學(xué)生終身受益.

創(chuàng)新思維過程包括準(zhǔn)備階段（提出問題）、醞釀階段（問題的求解）、豁朗階段（問題的突破）、驗(yàn)證階段（成果的證明、檢驗(yàn)），它跟數(shù)學(xué)建模的主要步驟：?jiǎn)栴}的提出與分析、問題的假設(shè)和數(shù)據(jù)處理、建立和求解數(shù)學(xué)模型以及數(shù)學(xué)模型的評(píng)價(jià)和改進(jìn)四個(gè)階段相似，很好地說明了數(shù)學(xué)建模的過程就是對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)的過程.下面我將從解決2019年建模國賽試題“高壓油管的壓力控制問題”出發(fā)，來分析數(shù)學(xué)建模如何促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展.

一、問題的提出與分析，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維

在這個(gè)階段，我們?yōu)榱四軌蚪鉀Q現(xiàn)實(shí)問題，應(yīng)做到切實(shí)地突出學(xué)生的主體學(xué)習(xí)地位，讓學(xué)生作為學(xué)習(xí)的中心，同時(shí)使他們學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在建模中，我們要不斷鼓勵(lì)學(xué)生自己分析題目，發(fā)展學(xué)生自己的思維所具有的獨(dú)特性和新穎性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)已知的題目信息進(jìn)行分析，抽取其中有價(jià)值的信息，同時(shí)學(xué)會(huì)對(duì)提出的問題進(jìn)行歸類，與所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來，建立初步的框架，通過一步步地深入分析，不斷地去激發(fā)自己的創(chuàng)新性思維.

以2019年建模國賽試題“高壓油管的壓力控制問題”為例，如果要將高壓油管內(nèi)的壓力盡可能穩(wěn)定在100 MPa左右，那么該如何設(shè)置單向閥每次開啟的時(shí)長(zhǎng)？在實(shí)際中，燃油進(jìn)入和噴出高壓油管是許多燃油發(fā)動(dòng)機(jī)工作的基礎(chǔ)，燃油進(jìn)入和噴出的間歇性工作過程會(huì)導(dǎo)致高壓油管內(nèi)壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現(xiàn)偏差，從而影響發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率.高壓油管內(nèi)的壓強(qiáng)是一個(gè)持續(xù)性的變量，持續(xù)性的變量并不是十分容易研究的，所以我們需要將高壓油管內(nèi)的許多量離散化，這就是學(xué)生對(duì)于問題的創(chuàng)新性思維，即利用離散化的方法對(duì)提出的問題進(jìn)行分析.題目中要研究當(dāng)高壓油管內(nèi)的壓力盡可能地穩(wěn)定在 100 MPa左右時(shí)，如何設(shè)置單向閥每次開啟的時(shí)長(zhǎng)，在這里我們需要引導(dǎo)學(xué)生分析一下，當(dāng)高壓油管內(nèi)的壓力盡可能地穩(wěn)定在 100 MPa左右時(shí)，高壓油管內(nèi)壓強(qiáng)變化的決定因素是什么，同學(xué)們知道是高壓油泵和噴油嘴.但實(shí)際中，高壓油管內(nèi)的壓強(qiáng)一直是在波動(dòng)變化的，而且我們無法詳細(xì)地探究高壓油管內(nèi)的壓強(qiáng)變化，所以我們?cè)谶@里需要做一個(gè)狀態(tài)等效，也就是當(dāng)我們從高壓油泵輸入燃油的體積等于噴油嘴噴出的體積時(shí)，高壓油管內(nèi)的狀態(tài)沒有發(fā)生變化，也就是它依然穩(wěn)定在100 MPa.狀態(tài)等效這一創(chuàng)新點(diǎn)實(shí)際就是我們對(duì)題目分析之后得到的題目中暗含的意思，這樣就可以去研究題目中的問題：怎么去設(shè)置單向閥每次開啟的時(shí)長(zhǎng)了.

對(duì)整個(gè)問題的分析都需要學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)和自己的發(fā)散思維去思考，去創(chuàng)造出新的思維、新的解題思路，同時(shí)還要建立在符合題目要求和現(xiàn)實(shí)操作的基礎(chǔ)上.數(shù)學(xué)建模不僅僅是要按照題目去解決題目，最主要的是要將實(shí)際問題與教材上的知識(shí)聯(lián)系起來，在所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行全新的思考和分析.

二、問題的假設(shè)和處理，創(chuàng)新思維的醞釀階段

在這個(gè)階段，學(xué)生需要根據(jù)問題進(jìn)行一些適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，以及對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，也就是創(chuàng)新思維的醞釀階段.這個(gè)階段不僅要考慮問題的實(shí)際，更主要的是要運(yùn)用創(chuàng)新思維去建立合適的模型來達(dá)到解決問題的目的，為實(shí)際應(yīng)用提供更多的正確依據(jù).愛因斯坦曾說過，“想象力比知識(shí)更重要”.雖然我們的知識(shí)是有限的，但是我們培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是無限的，它是可以不斷發(fā)展變化的.所以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題的假設(shè)和處理，不僅體現(xiàn)了學(xué)生所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，也體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)問題的想象和創(chuàng)新.在問題的假設(shè)和處理階段，我們可以讓學(xué)生發(fā)揮自己的主體地位，讓學(xué)生積極思考，親自實(shí)踐操作.

我國的高壓油管工業(yè)發(fā)展迅速，高壓油管應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.由于高壓油管要適應(yīng)各種不同條件的要求，因此高壓油管的品種繁多.燃油進(jìn)入和噴出高壓油管是許多燃油發(fā)動(dòng)機(jī)工作的基礎(chǔ)，因此需要控制高壓油管內(nèi)部的壓力，防止發(fā)生事故.下面對(duì)高壓油管的壓力控制進(jìn)行分析.某高壓燃油系統(tǒng)的基本工作原理如圖1所示，燃油經(jīng)過高壓油泵從A處進(jìn)入高壓油管，再由噴油嘴B噴出.燃油進(jìn)入和噴出的間歇性工作過程會(huì)導(dǎo)致高壓油管內(nèi)壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現(xiàn)偏差，從而影響發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率.

圖1 高壓油管

某型號(hào)高壓油管的內(nèi)腔長(zhǎng)度為500 mm，內(nèi)直徑為10 mm，供油入口A處小孔的直徑為1.4 mm，通過單向閥開關(guān)控制供油時(shí)間的長(zhǎng)短，單向閥每打開一次后就要關(guān)閉10 ms.噴油器每秒工作10次，每次工作時(shí)噴油時(shí)間為2.4 ms，噴油器工作時(shí)從噴油嘴B處向外噴油的速率如圖2所示.高壓油泵在入口A處提供的壓力恒為160 MPa，高壓油管內(nèi)的初始?jí)毫?00 MPa.

圖2 噴油速率

我們要求壓力盡可能穩(wěn)定在100 MPa左右，那么該如何設(shè)置單向閥每次開啟的時(shí)長(zhǎng)呢？在實(shí)際中我們知道，燃油的進(jìn)入和噴出導(dǎo)致的間歇性工作會(huì)對(duì)高壓油管內(nèi)產(chǎn)生細(xì)小的壓強(qiáng)變化，選擇最優(yōu)單向閥開啟時(shí)間來確保燃油的進(jìn)入和噴出是最優(yōu)的間歇性工作.我們可以假設(shè)忽略燃油的進(jìn)入和噴出導(dǎo)致的間歇性工作對(duì)高壓油管內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)小的壓強(qiáng)變化，這樣的話需要設(shè)置單向閥開啟時(shí)長(zhǎng)，使得高壓油管內(nèi)的壓強(qiáng)盡可能穩(wěn)定在100 MPa，然后去計(jì)算所求的問題.

這部分內(nèi)容體現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)新思維的假設(shè)與數(shù)據(jù)處理階段，為接下來的模型建立與求解打下基礎(chǔ).在這個(gè)階段，我們教師需要進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和運(yùn)用能力，不斷地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)能力，適時(shí)地給學(xué)生一些引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)中的難關(guān)還是可以被攻克的，從而提高學(xué)生的建模能力和創(chuàng)新思維.

三、模型的建立與求解，創(chuàng)新思維的豁朗階段

有了前兩個(gè)階段作為基礎(chǔ)，我們就可以試著建立合適的數(shù)學(xué)模型，這時(shí)需要進(jìn)行許多的嘗試與分析，以保證最后使用的數(shù)學(xué)模型是最合適的.我們建立數(shù)學(xué)模型的目的是，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)將題目信息一目了然地表達(dá)出來，同時(shí)進(jìn)行模型的求解，這時(shí)正是創(chuàng)新思維的豁朗階段.為鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，在課堂上作為教師的我們要從知識(shí)的傳授者變?yōu)橹R(shí)的啟發(fā)者，在學(xué)生建模的過程中，為學(xué)生起指導(dǎo)作用，成為學(xué)生活動(dòng)的導(dǎo)演者和參與者，與學(xué)生平等地交流和溝通，引導(dǎo)學(xué)生去突破成規(guī)，大膽地提出設(shè)想和獨(dú)特的見解，讓學(xué)生去尋找具有創(chuàng)新意識(shí)的解決問題的捷徑，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的目的.

如“高壓油管的壓力控制問題”中，學(xué)生設(shè)置單向閥開啟的時(shí)長(zhǎng)，同時(shí)也要將高壓油管內(nèi)的壓強(qiáng)盡可能地穩(wěn)定在100 MPa.由于學(xué)生考慮到壓強(qiáng)的變化引起的燃油體積和密度的變化的問題，因此在第二階段假設(shè)的基礎(chǔ)上需要建立壓強(qiáng)變化前后的質(zhì)量守恒模型，從而最終求得單向閥的工作時(shí)間.在這一過程中，學(xué)生為了解決問題，在假設(shè)的基礎(chǔ)上建立了質(zhì)量守恒模型，這是一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn).

這個(gè)過程是建立在之前的假設(shè)基礎(chǔ)之上的，建立模型并進(jìn)行運(yùn)算，雖然不一定得出一個(gè)精確的結(jié)果，但這個(gè)結(jié)果具有很大的適用性，而且能在求解中簡(jiǎn)化運(yùn)算.在實(shí)際的建模教學(xué)中，教師可以根據(jù)實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生創(chuàng)造生活化的教學(xué)情境，這樣不僅能夠降低數(shù)學(xué)知識(shí)的難度，縮短學(xué)生與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的距離，還能夠提高學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

四、問題的評(píng)價(jià)和改進(jìn)，創(chuàng)新思維的驗(yàn)證階段

所有的創(chuàng)新都是對(duì)之前發(fā)現(xiàn)或得到的觀念進(jìn)行的否定或者超越，而要實(shí)現(xiàn)否定或者超越，就需要我們不斷地進(jìn)行批判.只有進(jìn)行正確的批判，才會(huì)形成獨(dú)特的創(chuàng)造力.學(xué)生要敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣.同時(shí)學(xué)生需要利用嚴(yán)格的數(shù)據(jù)來證明創(chuàng)新有據(jù)可依，還要保證數(shù)據(jù)計(jì)算的誤差足夠小.這就是為什么在建模、計(jì)算之后，要對(duì)問題進(jìn)行評(píng)價(jià)和改進(jìn)的原因.

“高壓油管的壓力控制問題”中，學(xué)生已經(jīng)計(jì)算出了結(jié)果，但是他們需要去設(shè)法驗(yàn)證計(jì)算的誤差足夠小.所以學(xué)生需要查閱資料，利用所學(xué)的密度的計(jì)算公式ΔPΔρ=EP和100 MPa下的燃油密度為0.850 mg/mm3可以計(jì)算出不同壓強(qiáng)下的燃油密度，在計(jì)算燃油密度的時(shí)候采用了遞推的方法，可以減小因?yàn)棣導(dǎo)致的燃油密度的計(jì)算誤差.在這一過程中學(xué)生將密度計(jì)算公式和遞推法這些發(fā)散思維進(jìn)行了綜合運(yùn)用，從而驗(yàn)證了計(jì)算的誤差是足夠小的.

在最后這個(gè)階段，我們需要引導(dǎo)學(xué)生去翻閱相關(guān)的資料，了解高壓油泵的具體工作原理，以及高壓油泵的燃油噴出量的詳細(xì)計(jì)算公式，包括如何處理持續(xù)變化中的壓強(qiáng)，以及這個(gè)持續(xù)變化的壓強(qiáng)對(duì)于燃油噴出的影響，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生求解的嚴(yán)謹(jǐn)性.

整個(gè)建模的過程都可以體現(xiàn)出學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展變化.數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽從小到大，從不被熟知到廣受歡迎，這是一個(gè)“培育全面發(fā)展的適應(yīng)社會(huì)需要的具有核心競(jìng)爭(zhēng)力的人才”理念在高等教育人才培養(yǎng)目標(biāo)中凸顯重要地位和頑強(qiáng)生命力的過程，也是大學(xué)全面培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力的素質(zhì)教育理念及其配套機(jī)制和措施日趨完善、成熟的過程.我們通過引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)建模思維，培養(yǎng)其應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的意識(shí)和創(chuàng)新思維的能力.我們堅(jiān)信，數(shù)學(xué)建模不再只是知識(shí)的載體，而是學(xué)生思考的創(chuàng)新，更多地體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)思維模式的突破，潛移默化地讓學(xué)生得到了鍛煉，也使他們的創(chuàng)新思維得到了提高.

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