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    “理”圖形表征,“論”模型本質(zhì)

    2021-02-22 07:19:25周偉萍
    關(guān)鍵詞:APOS理論壓軸題初中數(shù)學(xué)

    周偉萍

    【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象有經(jīng)驗(yàn)抽象和自反抽象.經(jīng)驗(yàn)抽象可以是以真實(shí)的事物或現(xiàn)象作為直接的原型,由一類物質(zhì)對(duì)象抽象出共同的特征;自反抽象是以已經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學(xué)對(duì)象為原型的間接抽象,在更高層次上去對(duì)已有的東西進(jìn)行重新構(gòu)建.Ed Dubinsky提出的APOS理論是對(duì)皮亞杰的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“自反抽象”的拓展.在經(jīng)過(guò)操作、過(guò)程、對(duì)象、圖式等階段后完成數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)思維的建構(gòu)和提升.以APOS理論為指引,對(duì)畢業(yè)班復(fù)習(xí)階段性學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)訓(xùn)練的壓軸題“理”圖形表征,“論”模型本質(zhì).

    【關(guān)鍵詞一】APOS理論;初中數(shù)學(xué);壓軸題

    一、復(fù)習(xí)階段性學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)訓(xùn)練原題呈現(xiàn)

    如圖1,矩形OABC的頂點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4),將矩形OABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形ADEF,D,E,F(xiàn)分別與B,C,O對(duì)應(yīng),EF的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AF與BC相交于點(diǎn)Q.

    (1)求證:△ACQ是等腰三角形.

    (2)求點(diǎn)D的坐標(biāo).

    (3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)在折線A-F-C上運(yùn)動(dòng)(不與A,C重合),經(jīng)過(guò)的路程為x,過(guò)點(diǎn)M作AO的垂線交AC于點(diǎn)N,記線段MN在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

    圖1? 圖2

    二、梳理原題圖形表征

    本題為全卷壓軸題,分值為10分,考查:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、矩形和三角形的面積等知識(shí),用到了函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想等.本題考查的是幾何綜合類型,也有代數(shù)的綜合味道在里面,是一道符合課程標(biāo)準(zhǔn)的好題.

    圖形中包含著坐標(biāo)、一般三角形、直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形、翻折的三角形、旋轉(zhuǎn)的三角形、矩形及旋轉(zhuǎn)的矩形.相似三角形中有A字型、反A字型、旋轉(zhuǎn)型、一線三等角型等.

    三、討論幾何模型本質(zhì)

    APOS理論認(rèn)為,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,如果引導(dǎo)個(gè)體經(jīng)過(guò)思維的操作、過(guò)程和對(duì)象等階段后,個(gè)體一般就能在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上把它們組成圖式,從而理清問(wèn)題過(guò)程,順利解決問(wèn)題.

    1.對(duì)基本形的感知,完成操作

    個(gè)體對(duì)于感知到的對(duì)象進(jìn)行轉(zhuǎn)換,而此時(shí)的對(duì)象實(shí)質(zhì)上是一種外部刺激.不斷地重復(fù)這種操作,學(xué)生可以從中得到不斷的反思,會(huì)在大腦中進(jìn)行一種內(nèi)部的心理結(jié)構(gòu),形成一種過(guò)程模式.

    圖3(1)如圖3,已知矩形ABCD,連接AC,求證:△ABC≌△CDA.

    (2)如圖3,已知矩形ABCD,將△ABC沿AC對(duì)折得△AEC,求證:△AEC≌△CDA.

    (3)如圖3,已知矩形ABCD,將△ABC沿AC對(duì)折,CE與AD交于Q點(diǎn),AB=4,AD=8,求CQ的長(zhǎng).

    圖4(4)如圖4,AO⊥CO,BO⊥DO,CO⊥EO,寫出圖中相等的角.

    (5)如圖4,AO⊥CO,BO⊥DO,CO⊥EO,若∠BOD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),寫出圖中相等的角.

    (6)如圖4,AO⊥CO,BO⊥DO,CO⊥EO,若∠BOD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),BF⊥OC,請(qǐng)構(gòu)造出與△OBF相似的三角形.

    設(shè)計(jì)的理由:矩形和垂直,這兩個(gè)幾何圖形在幾何壓軸題中均是重要的基本形,是構(gòu)成復(fù)雜圖形的基礎(chǔ).因此,應(yīng)該圍繞矩形及余角定理基本形設(shè)計(jì)問(wèn)題以幫助學(xué)生從各個(gè)角度去認(rèn)識(shí)基本形,認(rèn)識(shí)圖形所承載的命題.矩形中存在全等形,可由全等形所帶出的對(duì)應(yīng)邊相等及對(duì)應(yīng)角相等,從而引出等腰三角形、直角三角形、勾股定理.余角定理涵蓋著旋轉(zhuǎn)的變化,以旋轉(zhuǎn)角為位似中心,構(gòu)造出相似的三角形及由相似三角形得到對(duì)應(yīng)邊成比例.

    每一個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)目的均是加深學(xué)生對(duì)基本圖形知覺(jué)上的識(shí)別能力,并使學(xué)生通過(guò)觀察、對(duì)比、計(jì)算、發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)行為,對(duì)附在圖形之上的判定定理與該問(wèn)題條件和結(jié)論的語(yǔ)義做細(xì)致的辨別.不斷地重復(fù)操作使學(xué)生不斷反思,慢慢地呈現(xiàn)出自動(dòng)化的表現(xiàn)形式,不需要借助外部的刺激,而是對(duì)圖形整體的一個(gè)轉(zhuǎn)化及操作,可以指明圖形的基本性質(zhì),還可以進(jìn)行各種選定的數(shù)學(xué)計(jì)算,如勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等.

    2.對(duì)結(jié)構(gòu)完整基本形的應(yīng)用,進(jìn)入過(guò)程

    圖5如圖5,矩形OABC的頂點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,8),將矩形OABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEDF,D,E,F(xiàn)分別與C,B,O對(duì)應(yīng),DE的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AE與OC相交于點(diǎn)G.

    (1)求證:△ACG是等腰三角形.

    (2)求點(diǎn)F、點(diǎn)E的坐標(biāo).

    設(shè)計(jì)的理由:將操作階段中的兩個(gè)基本形放入更復(fù)雜的圖形里,與階段訓(xùn)練題相似,在訓(xùn)練中對(duì)基本形進(jìn)行尋找和確認(rèn).學(xué)生如果能在結(jié)構(gòu)完整的幾何圖形中尋找出基本形,就完成了過(guò)程模式的建構(gòu),接下來(lái)對(duì)基本形的運(yùn)用便沒(méi)問(wèn)題了.我們需要將基本形背后的語(yǔ)義分解并放入已知或求證中,培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)已知條件或求證結(jié)論結(jié)合題目圖形發(fā)現(xiàn)基本形的能力.將操作中的基本形放入平面直角坐標(biāo)系中,并利用矩形的性質(zhì)定理設(shè)計(jì)題目,將基本形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)F在第四象限,結(jié)合相似求點(diǎn)F的坐標(biāo),需要在平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造直角三角形,過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線,點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù).通過(guò)加大確定基本形的難度,從而加強(qiáng)學(xué)生確定基本形的能力.學(xué)生若能將這一過(guò)程看作一個(gè)整體,便是把這一過(guò)程看作一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象,可在結(jié)構(gòu)完整的圖形中具體地指出幾何圖形的各種性質(zhì)及如何應(yīng)用.

    3.對(duì)復(fù)雜圖形一般化后基本形的探究,明確對(duì)象

    圖6如圖6,已知矩形ABCD,AB=8,BC=43,矩形ABCD繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為矩形A′BC′D′,當(dāng)點(diǎn)D′、點(diǎn)A′、點(diǎn)D在一條直線上時(shí),可以添加適當(dāng)?shù)妮o助線和字母,寫出四個(gè)不同類型的結(jié)論.

    設(shè)計(jì)的理由:學(xué)生已經(jīng)完成了模式構(gòu)建,意識(shí)到對(duì)整體的轉(zhuǎn)換與操作,就是將過(guò)程看作一個(gè)一般的數(shù)學(xué)對(duì)象.由“過(guò)程”向“對(duì)象”轉(zhuǎn)移的意義在于從更高的層次進(jìn)行研究,將原有的平面直角坐標(biāo)系去掉,只存在兩個(gè)全等的矩形,其中一個(gè)固定,另一個(gè)繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到一個(gè)特殊位置時(shí),會(huì)出現(xiàn)哪些特殊的幾何模型?開(kāi)放式的問(wèn)題情境引發(fā)學(xué)生再觀察、再思考,如全等、對(duì)折、等腰三角形、相似等,學(xué)生可自動(dòng)化地辨析出與之前相似的基本形及與基本形相關(guān)的定理,從而達(dá)到遷移的目的.學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)更多圖形相關(guān)的性質(zhì),可以多種不同的形式表達(dá)思維.

    對(duì)本題的解決現(xiàn)狀進(jìn)行檢查,可了解學(xué)生是否已經(jīng)對(duì)幾何基本形做出心理建構(gòu).教師在教學(xué)中更能把握學(xué)生的學(xué)習(xí)程度,找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)的困難點(diǎn),并有效地打開(kāi)結(jié)點(diǎn).

    4.改編求解結(jié)論的基本形應(yīng)用,形成圖式

    圖7改編一:如圖7,矩形OABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α,0°<α<180°,線段AF所在直線與線段BC所在直線交于點(diǎn)Q,作EH⊥x軸交CB于點(diǎn)P,求線段AQ的函數(shù)關(guān)系式.

    改編二:如圖7,若點(diǎn)M在線段AF上運(yùn)動(dòng),連接EM,求45AM+EM的最小值,并求此時(shí)AM的值.

    改編三:如圖7,矩形繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)中,D,B,F(xiàn)三點(diǎn)是否會(huì)共線?若會(huì),求點(diǎn)D的坐標(biāo);若不會(huì),說(shuō)明理由.

    圖8改編四:如圖8,矩形OABC旋轉(zhuǎn)后使點(diǎn)O剛好落在線段BC上為點(diǎn)E.

    (1)求∠OAE的大小.

    (2)動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)在折線A-F-C上運(yùn)動(dòng)(不與A,C重合),經(jīng)過(guò)的路程為x,過(guò)點(diǎn)M作AO的垂線交AC于點(diǎn)N,記線段MN在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

    (3)求△AMN周長(zhǎng)C關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

    設(shè)計(jì)的理由:學(xué)生在頭腦中對(duì)原有的相關(guān)方面的問(wèn)題圖式進(jìn)行整合,圖式由單個(gè)圖式發(fā)展為多個(gè)圖式,并進(jìn)行圖式的遷移,就會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題圖式.學(xué)生要會(huì)辨析并決定某些問(wèn)題或某類問(wèn)題是否屬于這個(gè)圖式,從而做出不同的反應(yīng).通過(guò)對(duì)原題的各種改編,學(xué)生跳出原有的實(shí)踐活動(dòng),對(duì)自己的活動(dòng)過(guò)程進(jìn)行反思,認(rèn)識(shí)單個(gè)圖式的性質(zhì),整合多個(gè)圖式的關(guān)聯(lián).學(xué)生會(huì)對(duì)基本形進(jìn)行分類,在遇到新問(wèn)題時(shí)是單個(gè)圖式處理,還是多個(gè)圖式整合,就會(huì)判斷哪些問(wèn)題是存在于這個(gè)圖式中,最后對(duì)圖式進(jìn)行遷移,形成對(duì)基本形的理解,建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

    設(shè)置多個(gè)例題及其變式,由問(wèn)題鏈構(gòu)成回顧小結(jié).如讓學(xué)生自己改編題目,使學(xué)生在學(xué)習(xí)后進(jìn)行自我反思,達(dá)到在反思中建構(gòu)新“圖式”.

    四、APOS理論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值

    APOS理論起源于皮亞杰的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“自反抽象”理論,指導(dǎo)教學(xué)可以使學(xué)生經(jīng)歷由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),再經(jīng)過(guò)比較、反復(fù),形成更高層次的認(rèn)識(shí).在形成知識(shí)圖式的同時(shí),形成了思維圖式,學(xué)生思維得到不斷提升.在建立圖式的過(guò)程中,教師不斷啟發(fā)學(xué)生,調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,使學(xué)生的非認(rèn)知因素得到改善,培養(yǎng)學(xué)生全面發(fā)展,因此,運(yùn)用APOS理論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生指導(dǎo)作用.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]喬連全.APOS:一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論[J].全球教育展望,2001(03):16-18.

    [2]陳麗清.初中平面幾何的概念課教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].成都:四川師范大學(xué),2016.

    [3]仲康康.基于APOS理論的初中平面幾何教學(xué)的題組設(shè)計(jì)研究[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2018(02):29-32.

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