基于“構(gòu)造法”的高中數(shù)學(xué)解題思路探索

武基云

【摘要】構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種常見的解決問題的手段，它是指根據(jù)問題的特征，通過構(gòu)造函數(shù)、方程、圖形等熟悉的數(shù)學(xué)模型來解決問題的方法.嚴(yán)格地說，構(gòu)造法并沒有固定的應(yīng)用思路，而是具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性，所以讓學(xué)生熟練應(yīng)用這一方面具有一定的難度.本文將從構(gòu)造法的原理和優(yōu)勢(shì)入手，具體分析構(gòu)造法的應(yīng)用策略，希望能夠?yàn)楦咧袠?gòu)造法解題提供一定的參考思路.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法;高中數(shù)學(xué);解題方法

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來說難度較大，特別是在新課程改革之后，數(shù)學(xué)解題過程對(duì)學(xué)生抽象能力、知識(shí)運(yùn)用能力有了更高的要求，數(shù)學(xué)題目的難度也有了一定的提升.仍然使用傳統(tǒng)的解題思路，按照一般的順序來思考問題經(jīng)常會(huì)面對(duì)著大量的計(jì)算內(nèi)容或是復(fù)雜的推理過程，不僅會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間，還十分容易出錯(cuò).此時(shí)，我們不妨嘗試運(yùn)用構(gòu)造法來快速找到正確的解題思路，提高答題的速度.

一、高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的原理

相對(duì)于其他學(xué)科來說，數(shù)學(xué)更加的抽象和復(fù)雜，在解決問題時(shí)可以從多個(gè)角度去進(jìn)行思考.構(gòu)造法是一種基于逆向思維的解題方法，通過題目中明確給出或是隱秘包含的條件，從另一個(gè)角度出發(fā)，分析和理解題目內(nèi)容，推導(dǎo)所要答案的一種方法.從本質(zhì)上來看，構(gòu)造法是將抽象知識(shí)具體化的過程，它可以幫助學(xué)生找到更加高效的解題方法.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生為了提升自身的解題能力會(huì)進(jìn)行大量的題目練習(xí)，很容易產(chǎn)生固定的思維模式.為了改變學(xué)生的思維定式，解決他們?cè)诮忸}過程中解題困難、效率低的問題，教師可以在教學(xué)中提高對(duì)構(gòu)造法重視程度，幫助學(xué)生在解題過程中從不同的角度去分析問題、解決問題.

二、高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的應(yīng)用策略

1.構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)課程中的重要組成部分，也是高考中的考查重點(diǎn).構(gòu)造函數(shù)法是構(gòu)造法中一種較為常見的方法.在幾何或是代數(shù)問題中，采用構(gòu)造函數(shù)的方法可以找到更多的已知信息，讓復(fù)雜的題目內(nèi)容變得直觀和簡單，提升解題的效率和準(zhǔn)確度.

例1 已知關(guān)于x的方程x2-（2a+1）sin（cos x）+1-4a2=0有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值.

分析 這道題目屬于二次方程，且在題目的已知中含有特殊的參數(shù).所以，許多學(xué)生在面對(duì)這類問題時(shí)經(jīng)常會(huì)找不到解決問題的切入點(diǎn).此時(shí)，只要認(rèn)真觀察題目，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)的方式便可以找到輕松解決問題的方法.在實(shí)際教學(xué)過程中，教師可以先為學(xué)生列出詳細(xì)的解題過程，讓學(xué)生自己去思考和感受，分析構(gòu)造函數(shù)的具體方法，以此做到舉一反三，將這種方法應(yīng)用到其他類似題目的解答過程中.

解 構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2-（2a+1）sin（cos x）+1-4a2.

因?yàn)閒（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù).

設(shè)x0為f（x）=0的解，則-x0也為f（x）=0的解.

由題目已知可知，f（x）=0有唯一的實(shí)數(shù)解，即-x0=x0，顯然x0=0.

所以f（0）=02-（2a+1）sin（cos 0）+1-4a2=0，

即（2a+1）（1-2a-sin 1）=0，解得a=-12或a=1-sin 12.

2.構(gòu)造方程

方程和函數(shù)關(guān)系密切，在構(gòu)造法中構(gòu)造函數(shù)與構(gòu)造方程也基本相通，許多類型的題目都可以通過函數(shù)與方程的融合找到解決方法.簡單來說，構(gòu)造方程法，就是要在深入分析已知條件和各項(xiàng)關(guān)系的前提下，通過對(duì)已知關(guān)系之間的關(guān)系式的構(gòu)建來解決問題的方法.

例2 已知α+β+γ=π，求證：

sin2β+sin2γ-2sin βsin γcos α=sin2α;

cos 2β+cos 2γ+2cos βcos γcos α=sin2α.

分析 該案例中給出的已知條件十分有限，學(xué)生在一開始接觸到該案例時(shí)必然會(huì)思考利用三角函數(shù)知識(shí)去對(duì)題目已知進(jìn)行變化，雖然可以得出結(jié)果，但解題的過程十分復(fù)雜，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.此時(shí)，我們便可以采用構(gòu)造方程的方式來降低解題難度.

證明 設(shè)x=sin2β+sin2γ-2sin βsin γcos α-sin2α，①

y=cos 2β+cos 2γ+2cos βcos γcos α-sin2α.②

①+②得

x+y=2+2cos αcos（β+γ）-2sin2α=2（1-sin2α）+2cos αcos（π-α）=2cos 2α-2cos 2α=0.

②-①得

y-x=cos 2β+cos 2γ+2cos αcos（β-γ）=-2cos αcos（β-γ）+2cos αcos（β-γ）=0，所以x+y=0，y-x=0，解得x=0，

y=0，得證.

3.構(gòu)造數(shù)列

高中階段的數(shù)列包括了等差數(shù)列和等比數(shù)列兩個(gè)部分，這部分內(nèi)容的難度雖然一般，但是其中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)比較多，也是高考中的熱點(diǎn).構(gòu)造數(shù)列的方法通常被應(yīng)用于比較特殊的題目中，其主要目的是通過構(gòu)建等差或等比的數(shù)列公式來對(duì)題目進(jìn)行分析，降低解題思路，優(yōu)化解題過程.

例3 設(shè)有一數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和為Sn，S4=4.當(dāng)n≥2時(shí)，an=12（Sn+Sn-1），求Sn的表達(dá)式.

分析 題目中給出了部分公式，求Sn的表達(dá)式，這也是數(shù)列題目中常見的一種題目類型，已知數(shù)列前幾項(xiàng)的和，又給出了數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出Sn.但是，這種方法在求解過程中計(jì)算難度較大，且方法通常比較煩瑣，在計(jì)算過程中基本上不會(huì)有簡化的方法.所以，此時(shí)，我們便可以嘗試采用構(gòu)造數(shù)列的方法來求解Sn的表達(dá)式.

解 由題目已知可知，n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1，

推導(dǎo)可得12=Sn-Sn-1.

設(shè)bn=Sn，則數(shù)列bn的公差為12，通過計(jì)算可得Sn=n2，因此，Sn=n24.

4.構(gòu)造圖形

構(gòu)造圖形的方式是將參數(shù)之間的關(guān)系通過圖形來直觀地展示出來，這樣除了可以提升解題效率之外，還能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解把握，提高他們的知識(shí)轉(zhuǎn)化能力.從本質(zhì)上來看，構(gòu)造圖形法實(shí)際上就是數(shù)形轉(zhuǎn)化法，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中的已知條件，善于尋找參數(shù)與圖形之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)用圖形去簡化數(shù)學(xué)問題.

例4 已知a>0，b<0，a+b=1，求證：2

分析 面對(duì)這類題目時(shí)，許多學(xué)生都會(huì)找不到問題的切入點(diǎn)，甚至教師已經(jīng)提示了嘗試采用構(gòu)造圖形的方式來解決問題，還是有學(xué)生看起來十分茫然.所以，在這類問題的解題過程中，教師應(yīng)采用合理的引導(dǎo)方式，讓學(xué)生自己去充分思考題目的已知條件和求證的結(jié)論，分析已知條件和結(jié)論之間的關(guān)系.在這道題目中，通過已知條件中的a+b=1，不難聯(lián)想到a+12+b+12=2，這樣就自然而然地將已知條件和求證的結(jié)論聯(lián)系在一起.

證明 因?yàn)閍+b=1，

所以a+12+b+12=2，

即a+122+b+122=（2）2.

根據(jù)該公式可以構(gòu)造出三角形，如圖所示.

因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌?，可得?/p>

a+12+b+12>2，

又因?yàn)閍+12=2cos α，b+12=2sin α，

所以a+12+b+12=2（cos α+sin α）=2·2sinα+π4≤2.

5.構(gòu)造向量

向量是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，也是容易丟分的題目類型，更是高考中必考內(nèi)容之一，且在總成績中占據(jù)著較大的比重.同時(shí)，向量的應(yīng)用并不局限于向量問題中，其他問題同樣也可以嘗試采用向量的方式來解決.在構(gòu)造法的應(yīng)用中，采用構(gòu)造向量的方式可以將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，讓題目變得更加直觀，避免了復(fù)雜的論證過程.這對(duì)于解決一些抽象問題來說有著重要的應(yīng)用價(jià)值.

例5 若直線xa+yb=1經(jīng)過點(diǎn)M（cos α，sin α），則（? ）.

A.a2+b2≤1??? B.a2+b2≥1

C.1a2+1b2≤1D.1a2+1b2≥1

分析 仔細(xì)觀察題目會(huì)發(fā)現(xiàn)，題目中所給出的條件和結(jié)論基本上很難直接聯(lián)系在一起，但是通過已知中所給出的坐標(biāo)相對(duì)比較容易聯(lián)想到向量，所以可以嘗試通過構(gòu)造向量的方法來解決問題.

解 令m=（cos α，sin α），n=1a，1b.

根據(jù)題目的已知可得cos αa+sin αb=1，由m·n≤m·n，可得1=cos αa+sin αb≤1a2+1b2，所以1a2+1b2≥1.故選D.

6.構(gòu)造對(duì)偶法

構(gòu)造對(duì)偶法常常被應(yīng)用于解決不等式問題中，如果題目的已知或是問題中存在對(duì)偶的特征，就可以嘗試采用對(duì)偶法的方式來讓問題變得簡單、清晰.基本的操作方式是先對(duì)題目中給出的公式A配以合適的公式B，通過加法或是乘法等運(yùn)算方法讓它可以更容易處理.使用這種方式通常可以快速找到問題的突破口，讓問題得到有效的解決.

例6 已知函數(shù)f（x）=x1+x（x>0），試計(jì)算：

f12015+f12014+…+f13+f12+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=.

分析 通過仔細(xì)分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果這道例題直接進(jìn)行求解基本上無從下手，但通過對(duì)結(jié)論的仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，f1x和f（x）之間存在著對(duì)偶性，可以通過構(gòu)造對(duì)偶式的方法來解決問題.

解 f（x）+f1x=x1+x+1x1+1x=x1+x+11+x=1.

所以原式的結(jié)果為201412.

三、結(jié) 語

教師想要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中提升學(xué)生的解題能力，就必須讓學(xué)生掌握有效的解題方法.構(gòu)造法是數(shù)學(xué)學(xué)科中一種十分常見且十分重要的解題方法.所以，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)提高對(duì)構(gòu)造法的重視程度，將其融入教學(xué)內(nèi)容中，強(qiáng)化構(gòu)造法知識(shí)的講解，特別是要依托具體案例向?qū)W生詳細(xì)分析和展示，包括構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造圖形、構(gòu)造向量、構(gòu)造數(shù)列和構(gòu)造對(duì)偶法等，以此引導(dǎo)學(xué)生掌握構(gòu)造法的正確應(yīng)用技巧，巧妙地解決問題.

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