例談“面積法”在“三角形角平分線模型”中的巧用

徐樂樂 王瑋瑋

【摘要】“三角形角平分線模型”中蘊(yùn)含“同高”“等高”的特點(diǎn)，巧用三角形的面積公式，可以直觀、快速地建立起邊角聯(lián)系，突破難點(diǎn).建構(gòu)三角形角平分線模型，呈現(xiàn)三角形面積法在典型題中的一次、二次應(yīng)用，結(jié)合角平分線的性質(zhì)定理及逆定理可以破解難題;歸納模型的性質(zhì)結(jié)論和應(yīng)用題型，引導(dǎo)學(xué)生在解題中恰當(dāng)運(yùn)用三角形面積法，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和幾何模型思想.

【關(guān)鍵詞】三角形面積法;角平分線的性質(zhì);幾何模型

一般而言，在平面幾何題的求解過程中，運(yùn)用三角形面積公式和由面積公式推出的相關(guān)結(jié)論來計(jì)算或者證明的方法，稱之為面積法.但是，三角形面積法在日常教學(xué)中，往往容易被學(xué)生和教師忽視.在初中數(shù)學(xué)幾何難題中，常會(huì)包含三角形的角平分線的有關(guān)問題，雖然用常規(guī)的方法可以解決，但是步驟煩瑣、計(jì)算量大，有時(shí)輔助線的添加還不明了.本文通過分析“三角形角平分線模型”問題的特性，在解題時(shí)巧妙應(yīng)用三角形面積法，最終收到良好的教學(xué)效果.

一、三角形的角平分線模型

在三角形的角平分線模型中，由角平分線的性質(zhì)可知：角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等.所以，學(xué)生能自然聯(lián)想到原三角形被角平分線所分得的兩個(gè)三角形的高相等，結(jié)合三角形面積法，就可以將同高 （或等高）的兩個(gè)三角形的面積比轉(zhuǎn)化為底之比.

如圖1，BD是△ABC的角平分線，則由定義可知，∠ABD=∠CBD=12∠ABC.如圖2，過點(diǎn)D分別向邊AB，BC作垂線DE，DF，則DE，DF分別是△ABD和△CBD的高，由角平分線的性質(zhì)可知DE=DF，則S△ABDS△CBD=ABBC.

我們不妨把圖2稱為“三角形的角平分線模型”，它完整地呈現(xiàn)了三角形的性質(zhì)的推導(dǎo)過程;從“面積法”的角度看，它直觀地呈現(xiàn)了被角平分線分得的兩個(gè)三角形的底和高，并且是較為特別的“等高”三角形.當(dāng)我們建立了這樣的雙視角幾何模型，就能夠在常規(guī)的“角相等”的基礎(chǔ)上，發(fā)展出“邊成比例”的結(jié)論.從而為含有角平分線的幾何難題提供了新的解題思路——構(gòu)造等（同）高，巧用面積法.

二、角平分線模型的應(yīng)用

1.面積法在模型中的一次應(yīng)用

例1 如圖3，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F(xiàn)為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)G⊥AE交AD的延長(zhǎng)線于G，AC的延長(zhǎng)線交FG于H，連接BG，下列結(jié)論：①S△AEB∶S△AEC=AB∶AC;②∠DAE=∠F;③∠DAE=12（∠ABD-∠ACE）;④∠AGH=∠BAE+∠ACB.其中正確的結(jié)論是.

分析 這個(gè)題目是八年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試的壓軸題，這是一個(gè)幾何圖形綜合題，難度很大，學(xué)生的正確率只有10%.②③④都是關(guān)于角的結(jié)論，通過角的轉(zhuǎn)化可以推導(dǎo)出三個(gè)結(jié)論都是正確的，此處省略.①就是典型的三角形的角平分線模型的直接應(yīng)用.如圖4，通過抽離出△ABC，并作出邊AB，AC上的高，由于角平分線的性質(zhì)，高相等，因此，面積比轉(zhuǎn)化為底之比，①正確.

例2 如圖5，在直線ABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，求證：

（1）AE=DC;

（2）HB平分∠AHC.

分析 很多老師和學(xué)生都對(duì)這個(gè)類型的題目非常熟悉，并且形象地稱為“手拉手”模型，這個(gè)模型的圖形特征是兩個(gè)形狀相同、大小不同的特殊圖形（等邊三角形、正方形等）繞著一個(gè)公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在變化的過程中有著許多不變的結(jié)論，屬于典型的動(dòng)態(tài)變化過程中的不變性問題.

例2中，△ABD和△BCE都是等邊三角形，則存在對(duì)應(yīng)相等的邊和角，結(jié)合公共夾角構(gòu)造出新的等角，從而證得△ABE≌△DBC，故AE=DC得證.第（2）問是關(guān)于角平分線的判定，此題如果采用常規(guī)的角相等去證明會(huì)十分煩瑣，而采用角平分線的判定定理，如圖6，作出兩個(gè)全等三角形的高線，通過面積法證明就非常簡(jiǎn)便.教學(xué)中，學(xué)生常常會(huì)有強(qiáng)烈的頓悟感，感覺柳暗花明、十分巧妙.

證明 過點(diǎn)B作BM⊥AE，BN⊥CD.

（1）∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，

∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°.

∵∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，

∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴AE=DC.

（2）由（1）知△ABE≌△DBC，

∴S△ABE=S△DBC，即AE·BM2=DC·BN2，

∴BM=BN.

又∵BM⊥AE，BN⊥CD，

∴HB平分∠AHC.

變式 如圖7，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，求證：PA+PC=PE.

分析 如圖8，此題通過連接BD與CE就變成等邊三角形“手拉手”模型.過點(diǎn)A向兩邊作高線，構(gòu)造三角形的角平分線模型.結(jié)合三角形面積法與角平分線的性質(zhì)便可證得∠APB=60°;在BC邊上截取PG=PA，連接AG，則△APG為等邊三角形，進(jìn)而證明△APE≌△AGC，PA+PC=PE得證.

2.面積法在模型中的二次應(yīng)用

例3 如圖9，△ABC中，BD是∠ABC的平分線，求證：ABBC=ADDC.

分析? 此題求證的邊之比相等是典型的相似三角形問題，常規(guī)方法就是構(gòu)造相似三角形，利用邊的轉(zhuǎn)化求證.當(dāng)換個(gè)思路——用三角形的面積法，會(huì)收到意想不到的效果.如圖10，過點(diǎn)D分別向邊AB，BC作垂線，則DE，DF分別是△ABD和△CBD的高，由角平分線的性質(zhì)可知，DE=DF，則S△ABDS△CBD=ABBC.如圖11，過點(diǎn)B向邊AC作垂線，BG是△ABD和△CBD的公共高，S△ABDS△CBD=ADDC，所以ABBC=ADDC.

例4 （2016年深圳中考23題（1）（2）問）如圖12，拋物線y=ax2+2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）.

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo);

（2）如圖12，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線y=x平分∠APB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 第（1）問為基礎(chǔ)考查，易得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），拋物線的解析式為y=x2+2x-3.對(duì)于第（2）問，將圖形簡(jiǎn)化，如圖13，可以理解為PO平分∠APB，這就是三角形的角平分線模型，采取與例3的相同方法，二次應(yīng)用三角形面積法得PAPB=AOBO=3，將點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為（x，x），列方程（x+3）2+x2=9（x-1）2+9x2，解得x=32（0舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為32，32.

通過上述例題發(fā)現(xiàn)，在三角形的角平分線模型中巧妙使用三角形的面積法，會(huì)為解題帶來極大的便利.無論是一次應(yīng)用還是二次應(yīng)用，其依據(jù)都是同高（等高）的兩個(gè)三角形的面積之比等于底之比.理解并熟練掌握三角形的角平分線模型的特點(diǎn)與結(jié)論，便能在復(fù)雜的問題中快速想到解題思路，通過輔助線的添加構(gòu)造模型.在教學(xué)過程中，要利用基本幾何模型將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，透過問題看本質(zhì)，從而提高探究問題的能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1]黃孝培.淺談三角形面積法在初中幾何問題中的基本運(yùn)用[J].中國數(shù)學(xué)教育初中版，2019（7-8）：90-93.

[2]祝林華.角平分線模型的構(gòu)造及應(yīng)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（07）：24-26.

[3]王霞，房文慧.最短路徑與幾何定值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（08）：41-46.