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    一類(lèi)平面向量線(xiàn)性表示問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法

    2021-02-22 07:19鄭美華

    鄭美華

    【摘要】平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn),它融數(shù)、形于一體,是代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的交匯點(diǎn).本文在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)下,以三點(diǎn)共線(xiàn)定理引出推論,簡(jiǎn)化一類(lèi)平面向量線(xiàn)性表示問(wèn)題的求解.

    【關(guān)鍵詞】平面向量線(xiàn)性表示;三點(diǎn)共線(xiàn)定理;推論;簡(jiǎn)化求解

    平面向量在人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》A版必修四第二章,平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考考查的重要內(nèi)容之一.以平面向量為載體,結(jié)合其他知識(shí)的考查也是歷年全國(guó)各地高考命題的一大亮點(diǎn),常常與解三角形、解析幾何、三角函數(shù)等內(nèi)容交叉滲透.高考對(duì)這部分的考查常以選擇、填空的形式出現(xiàn),題型較穩(wěn)定,而解選擇、填空的基本要求和策略是:準(zhǔn)確、迅速.

    在“平面向量”的復(fù)習(xí)教學(xué)中,數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法之一,理解向量線(xiàn)性運(yùn)算的幾何意義更是本專(zhuān)題的教學(xué)目標(biāo)之一,學(xué)生往往不能做到恰當(dāng)轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是把握基本量的代數(shù)形式與幾何特征之間的聯(lián)系.一方面,復(fù)習(xí)中學(xué)生要時(shí)刻注意二者的聯(lián)系和相互表達(dá),學(xué)會(huì)“看圖說(shuō)話(huà)”,另一方面,學(xué)生也可選擇恰當(dāng)?shù)睦},對(duì)某些幾何特征量進(jìn)行歸納,逐漸學(xué)會(huì)“由數(shù)到形”的思維能力.

    一、平面向量三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題拓展

    1.定理

    圖1如圖1,已知O是直線(xiàn)AB外任意一點(diǎn),則A,B,P三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是PO=λOA+μO(píng)B,λ+μ=1(λ,μ∈R).當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB之間移動(dòng)時(shí),λ,μ∈(0,1);當(dāng)點(diǎn)P落在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上,λ<0,當(dāng)點(diǎn)P在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上,μ<0.

    2.推廣

    問(wèn)題:如圖2,當(dāng)點(diǎn)P落在與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)l上,且l與點(diǎn)O的距離是直線(xiàn)AB與點(diǎn)O距離的12,λ+μ=12嗎?反之亦然嗎?

    圖2證明:延長(zhǎng)OP交AB于Q,則OQ=xOA+yOB,x+y=1.

    ∴OP=12OQ=12xOA+12yOB,

    ∴λ=12x,μ=12y,

    ∴λ+μ=12x+12y=12.

    反之,當(dāng)λ+μ=12時(shí),我們來(lái)證明滿(mǎn)足這個(gè)條件的點(diǎn)P都在直線(xiàn)l上.延長(zhǎng)OP交AB于Q,則OQ=xOA+yOB,x+y=1.設(shè)OP=tOQ,則OP=txOA+tyOB.

    ∴λ=tx,μ=ty,

    ∴λ+μ=tx+ty=12,∴t=12,

    ∴OP=12OQ,

    ∴點(diǎn)P在直線(xiàn)l上.

    同理可證:(1)當(dāng)點(diǎn)P落在與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)l上,且l與點(diǎn)O的距離是直線(xiàn)AB與點(diǎn)O距離的2倍時(shí),λ+μ=2,反之也成立.(圖略) (2)當(dāng)點(diǎn)P落在與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)l上,直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l分別在點(diǎn)O兩側(cè),并且點(diǎn)O到直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l的距離相等時(shí),λ+μ=-1,反之也成立.(圖略)

    3.推論

    通過(guò)以上三個(gè)特殊的例子,可以得到一般性的結(jié)論:

    已知O是直線(xiàn)AB外任意一點(diǎn).

    (1)當(dāng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)l平行于直線(xiàn)AB,兩直線(xiàn)在點(diǎn)O同側(cè),并且點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離是點(diǎn)O到直線(xiàn)AB距離的n倍,則點(diǎn)P落在直線(xiàn)l上的充要條件是λ+μ=n;

    (2)當(dāng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)l平行于直線(xiàn)AB,兩直線(xiàn)在點(diǎn)O異側(cè),并且點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離是點(diǎn)O到直線(xiàn)AB距離的n倍,則點(diǎn)P落在直線(xiàn)l上的充要條件是λ+μ=-n.

    證明:(1)“必要性”:設(shè)OP或其延長(zhǎng)線(xiàn)與直線(xiàn)AB交于Q,則OQ=xOA+yOB,x+y=1.

    ∴OP=nOQ=n(xOA+yOB)=nxOA+nyOB,

    ∴λ=nx,μ=ny,

    ∴λ+μ=nx+ny=n.

    “充分性”:設(shè)OP或其延長(zhǎng)線(xiàn)與直線(xiàn)AB交于Q,則OQ=xOA+yOB,x+y=1.

    設(shè)OP=tOQ=txOA+tyOB.

    ∴λ=tx,μ=ty,

    ∴λ+μ=tx+ty=n,

    ∴t=n,

    ∴OP=nOQ,

    ∴點(diǎn)P在直線(xiàn)l上.

    綜合以上,推論(1)得證.

    (2)證法同上.

    有了三點(diǎn)共線(xiàn)定理的推論,可以大大簡(jiǎn)化某一類(lèi)平面向量線(xiàn)性表示問(wèn)題的解法.

    二、平面向量三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題應(yīng)用

    圖3例1 如圖3,A,B分別是射線(xiàn)OM,ON上的兩點(diǎn),當(dāng)向量OP分別滿(mǎn)足下列條件時(shí):①OP=13OA+23OB;②OP=43OA+23OB;

    ③OP=13OA+13OB;④OP=43OA-13OB.

    點(diǎn)P分別落在哪一個(gè)區(qū)域?

    解法一 直接在圖上作出每一種情形的向量OP.

    解法二 ①由三點(diǎn)共線(xiàn)基本定理可知點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上.

    ②OP=13OA+23OB+OA,運(yùn)算即可求得點(diǎn)P在二區(qū),③同理可求.

    ④有的學(xué)生可能會(huì)利用圖形分析發(fā)現(xiàn)它在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上.

    解法三 ②OP=43OA+23OB=223OA+13OB,結(jié)合①可知點(diǎn)P在二區(qū).

    ③OP=13OA+13OB=2312OA+12OB,同上可知點(diǎn)P在一區(qū).

    ④可類(lèi)似直角坐標(biāo)系象限符號(hào)判斷,若學(xué)生未提及,看學(xué)生具體情況可稍加點(diǎn)撥.

    解法四 由三點(diǎn)共線(xiàn)定理推論,由基底的系數(shù)符號(hào)及系數(shù)和即可判斷點(diǎn)P的位置.

    解析 (1)由基底系數(shù)和是1且都是正數(shù),點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上.

    (2)由基底系數(shù)和比1大,且都是正數(shù),點(diǎn)P在二區(qū).

    (3)由基底系數(shù)和比1小,且都是正數(shù),點(diǎn)P在一區(qū).

    (4)由一個(gè)系數(shù)是負(fù)數(shù)判斷點(diǎn)P在三區(qū),再由系數(shù)和是1可以進(jìn)一步判斷點(diǎn)P落在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上.

    例2 三角形的角平分線(xiàn)定理:如圖4,在△ABC中,∠BAC的平分線(xiàn)交BC于D,則ABAC=BDDC.已知點(diǎn)O在AD上,滿(mǎn)足AO=2OD,AC=2,BC=4,AB=3,且AO=xAB+yAC,利用三角形的角平分線(xiàn)定理可求得x+y的值為(? ).

    A.415??? B.25??? C.815??? D.23

    圖4解法一 ∵ABAC=BDDC=32,∴BD=35BC,

    ∴AO=23AD=23AB+BD

    =23AB+35AC-35AB

    =2325AB+35AC,

    ∴x+y=2325+35=23.

    解法二 過(guò)O作BC的平行線(xiàn),由推論知,x+y的值即為直線(xiàn)l到點(diǎn)A的距離與直線(xiàn)BC到點(diǎn)A距離的比值,即線(xiàn)段AO與AD的比,故選D.

    圖5

    例3 (2017全國(guó)3理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD,則λ+μ的最大值為(? ).

    A.3B.22

    C.5D.2

    解法一 由題意,畫(huà)出圖形,如圖5所示.設(shè)BD與⊙C相切于點(diǎn)E,連接CE.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD為x軸正半軸,AB為y軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,1).

    因?yàn)閨CD|=1,|BC|=2,所以|BD|=12+22=5.

    因?yàn)锽D與⊙C相切于點(diǎn)E,所以CE⊥BD,

    所以CE是Rt△BCD斜邊BD上的高,

    ∴|EC|=2S△BCD|BD|=2·12·|BC|·|CD||BD|=25=255,

    即⊙C的半徑為255.

    因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙C上,所以點(diǎn)P的軌跡方程為(x-2)2+(y-1)2=45.

    設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),可以設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)滿(mǎn)足的參數(shù)方程x0=2+255cos θ,y0=1+255sin θ.

    而AP=(x0,y0),AB=(0,1),AD=(2,0).

    因?yàn)锳P=λAB+μAD=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),

    所以μ=12x0=1+55cos θ,λ=y0=1+255sin θ.

    兩式相加得

    λ+μ=1+255sin θ+1+55cos θ=2+2552+552·sin(θ+φ)=2+sin(θ+φ)≤3其中sin φ=55,cos φ=255,

    圖6當(dāng)且僅當(dāng)θ=π2+2kπ-φ,k∈Z時(shí),λ+μ取得最大值為3.故選A.

    解法二 如圖所示,由定理推論,可得λ+μ的最大值為3.

    通過(guò)以上幾個(gè)例子,我們歸納出OP=xOA+yOB這一類(lèi)平面向量線(xiàn)性表示問(wèn)題的解法:(1)由基底前系數(shù)的符號(hào)及系數(shù)和可以判定點(diǎn)P的位置.(2)由點(diǎn)P位置的變化,過(guò)點(diǎn)P作與AB平行的直線(xiàn)l,由直線(xiàn)l與點(diǎn)O距離和直線(xiàn)AB與點(diǎn)O距離的比值可以得到基底系數(shù)和的范圍,從而得到基底系數(shù)和的最大或最小值.

    三、結(jié) 語(yǔ)

    總之,平面向量是一個(gè)運(yùn)算的工具,它具備形與數(shù)轉(zhuǎn)化的便利.教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)該不斷地讓學(xué)生嘗試發(fā)散思維,在顯著的幾何特征圖形中尋找向量關(guān)系,在代數(shù)運(yùn)算的情景下構(gòu)造向量關(guān)系,并能歸納解題模型.平面向量問(wèn)題是多姿多彩的,利用其運(yùn)算的幾何意義來(lái)發(fā)掘平面的內(nèi)在本質(zhì)是解決平面問(wèn)題的有效手段,也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在解題教學(xué)過(guò)程中的滲透.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]胡傳虎.平面向量三點(diǎn)共線(xiàn)定理在高考中的運(yùn)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版),2020(03):36-39.

    [2]黃鵬程.用幾何法處理平面向量中最值問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2020(03):48-51.

    [3]羅賢旭.一道平面向量題解法探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2020(03):34-36.

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