函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

湯琴

【摘要】伴隨著高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)體制改革的深入進(jìn)行，對于學(xué)生的綜合能力和綜合素養(yǎng)的培育也在有條不紊地進(jìn)行.一些數(shù)學(xué)教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中運(yùn)用新的教學(xué)策略和教學(xué)思想，對學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力和培養(yǎng)思維習(xí)慣都產(chǎn)生了重要影響，并且函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中有著重要的運(yùn)用價(jià)值，可以幫助學(xué)生盡快突破難題的束縛，熟練掌握一些知識點(diǎn)，而在此過程中就需要學(xué)生對于函數(shù)思想以及不同類型函數(shù)的運(yùn)用方式進(jìn)行深入的了解.因此，我們針對函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用現(xiàn)狀和如何運(yùn)用的問題進(jìn)行具體的討論，并且提出具體的運(yùn)用策略.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想;高中數(shù)學(xué);解題應(yīng)用;有效策略

【基金項(xiàng)目】本論文是泰州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題《提升高中生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的實(shí)踐研究》的研究成果（課題編號為tjkyblx2017036）

作為高考的必考科目，數(shù)學(xué)的作用和地位與日俱增.同時(shí)，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最難的組成成分之一，函數(shù)知識比較抽象難懂，很多學(xué)生往往是敬而遠(yuǎn)之，有抵觸和恐懼的心理，對于函數(shù)思想難以進(jìn)行積極的探討和運(yùn)用.學(xué)生在解答一些和函數(shù)有關(guān)的題目時(shí)往往不知所措，并且難以解決，導(dǎo)致在解題過程中缺乏函數(shù)思想的滲透.甚至有的學(xué)生對于函數(shù)思想是什么都不太了解，隨著時(shí)間的推移，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率在逐漸地降低.因此，針對這些具體的問題，正式探討函數(shù)思想的定義和內(nèi)容.

一、函數(shù)思想的具體定義和內(nèi)容

函數(shù)思想是解決“數(shù)學(xué)型”問題中的一種思維策略，所體現(xiàn)的是量和量之間的關(guān)系，并且這種關(guān)系是處于變化之中的，對于函數(shù)而言往往是一一對應(yīng)的.因此，函數(shù)思想可以用“規(guī)律”二字進(jìn)行準(zhǔn)確的定義和論述.例如，函數(shù)y=f（x），在這個(gè)函數(shù)之中，對應(yīng)法則f以及自變量的變化范圍就是構(gòu)成這個(gè)函數(shù)的基本要素.自變量的變化往往處于決定性的地位，可以決定因變量的值.對于值域而言，通常是由對應(yīng)法則和定義域所確定的，三者之間的關(guān)系是你中有我、我中有你，并且密不可分的.究其整體而言，自變量、因變量、常數(shù)之間的關(guān)系和變化可以在函數(shù)中展示出來.與此同時(shí)，運(yùn)用函數(shù)的思想去解決數(shù)學(xué)問題往往是需要建立輔助函數(shù)，并且將數(shù)學(xué)問題等內(nèi)容轉(zhuǎn)變成函數(shù)的形式，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)求出相關(guān)結(jié)論，根據(jù)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解.因此，函數(shù)思想所對應(yīng)的具體內(nèi)容是極其繁多，并且十分復(fù)雜的，需要學(xué)生對于函數(shù)思想進(jìn)行統(tǒng)籌兼顧式的運(yùn)用和理解.數(shù)學(xué)教師要扮演引導(dǎo)者和輔助者的角色，給學(xué)生提供更多的幫助.

二、函數(shù)思想在運(yùn)用過程中常用的幾種方法

1.整體法

這種方法是通過數(shù)學(xué)題目的整體形式進(jìn)行統(tǒng)一的思考，對于整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體的處理，從而讓解題過程更加便捷.這對于學(xué)生的邏輯思維能力和知識遷移運(yùn)用的能力提出了新的要求，學(xué)生需要理解整體和局部的關(guān)系，并且從整體考慮有用信息之間的關(guān)系.學(xué)生有時(shí)也會運(yùn)用具體數(shù)值對于函數(shù)或者具體題目進(jìn)行求索驗(yàn)證、整體運(yùn)算.整體法在函數(shù)解題過程中有著充足的運(yùn)用空間，可以提高整體的解題效率，使函數(shù)思想滲透得更加有效.

2.遞推思想法

這種方法往往是針對富含一定數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)題目.對于所涉及的遞推關(guān)系進(jìn)行仔細(xì)的探索，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)，用函數(shù)探索解決問題的思路和方法，從而真正地解決這些數(shù)學(xué)問題.這種方法通常適用于數(shù)列問題，比如，解決一些求解通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的具體問題，而通常這樣的題目都是有跡可循的，并且和函數(shù)有共同點(diǎn).可以理解為數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此，可以運(yùn)用函數(shù)思想方法研究數(shù)列.

3.歸納假設(shè)法

這是一種比較常見的探索問題的方法.學(xué)生對于數(shù)學(xué)題目的具體性質(zhì)可能不甚了解，但是，會進(jìn)行相應(yīng)的嘗試和觀察，通過不完全歸納法對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行整體的歸納假設(shè)，再通過數(shù)學(xué)歸納法對自己的假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證.在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)教師往往需要建立一些函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的思想以及變化規(guī)律，對于相應(yīng)的結(jié)論開展驗(yàn)證工作，進(jìn)而帶領(lǐng)同學(xué)們一起進(jìn)行數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的歸納和總結(jié)，同時(shí)，建立一些數(shù)學(xué)模型和假設(shè)鑲嵌其中，使得歸納假設(shè)法可以科學(xué)使用和推廣.

以上三種方法的使用對高中生數(shù)學(xué)解題能力的提高發(fā)揮了積極的作用，并且，有的教師在進(jìn)行函數(shù)題解題過程中會將三種方法融合使用.這種創(chuàng)新運(yùn)用的方式和策略，再結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)的若干要求，使教師取得了積極的運(yùn)用效果，也切實(shí)滿足了學(xué)生的需求.

三、函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的作用和價(jià)值

（一）函數(shù)圖像可以降低學(xué)生的理解難度

對于具體的數(shù)學(xué)題目而言，學(xué)生很難尋找到做題的方法和訣竅，并且題目的要求和內(nèi)容是變化多端的，學(xué)生要理解每一個(gè)題目的具體要求，要熟悉相關(guān)的內(nèi)容，才能解決問題.部分學(xué)生是通過大量的練習(xí)甚至是熟記現(xiàn)成的答題模板來提高自己的理解能力和理解水平的，時(shí)間投入相對較多，但是效果不是十分明顯.究其原因正是缺乏正確方法和正確思想的引領(lǐng).運(yùn)用函數(shù)思想可以提高學(xué)生對題意的理解能力，并且可以在某種程度上降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度和排除學(xué)習(xí)阻力，用最短的時(shí)間尋找最優(yōu)的解題方法，并且建立輔助函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)圖像及性質(zhì)來進(jìn)行積極的思考，不僅使得理解難度大大降低，而且解題效率成倍提高.

（二）函數(shù)思想可以提高教師的教學(xué)效率

對于高中數(shù)學(xué)教師而言，也需要想方設(shè)法地提高自身的教學(xué)，幫助學(xué)生尋找正確的學(xué)習(xí)方法和解題思路，這個(gè)過程是漫長而又痛苦的.很多學(xué)生往往如墜云霧之中，摸不著門路.但是，函數(shù)思想可以讓學(xué)生盡快地?cái)[脫這些舊狀態(tài)的束縛，同樣，教師在授課的過程中往往會對具體題目進(jìn)行函數(shù)思想的靈活運(yùn)用或者深層次拓展，并借助輔助函數(shù)圖像進(jìn)行相關(guān)的講解，從而讓更多的學(xué)生順利地理解教師的所思所想，保證了二者的思路一致.因此，函數(shù)思想的運(yùn)用可以極大地提高教師的教學(xué)效率.

四、函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體運(yùn)用策略

（一）函數(shù)思想在實(shí)際優(yōu)化問題中的運(yùn)用

函數(shù)思想的運(yùn)用范圍十分廣泛，尤其是在解決一些實(shí)際的優(yōu)化問題時(shí)，這些問題如果用普通的方法去做可能十分煩瑣，但是，如果運(yùn)用函數(shù)思想和函數(shù)的方法進(jìn)行探索可能會事半功倍.例如，路程優(yōu)化需要考慮路程、速度以及時(shí)間三者之間的關(guān)系，生產(chǎn)問題需要考慮單價(jià)、總數(shù)以及時(shí)間之間的關(guān)系，因此，運(yùn)用函數(shù)思想解決實(shí)際優(yōu)化問題可以幫助學(xué)生盡快地掌握這些知識，同時(shí)解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)難題，而且，學(xué)生對于所求出來的答案應(yīng)當(dāng)代入題目中進(jìn)行反復(fù)的驗(yàn)證，以符合實(shí)際問題的需求.這樣才能為函數(shù)思想的深層次運(yùn)用奠定良好的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)教師鼓勵(lì)學(xué)生仔細(xì)地閱讀題目，反復(fù)思考，選擇最優(yōu)法解決問題.函數(shù)的外在形式是不斷變化的，但是，函數(shù)思想的內(nèi)在規(guī)律是有一定的軌跡可尋的.在運(yùn)用函數(shù)思想解決實(shí)際優(yōu)化問題的過程中，通過對函數(shù)形式，以及相關(guān)的方程知識的具體運(yùn)用，學(xué)生加深了理解，取得了積極的學(xué)習(xí)效果.

（二）函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)不等式解題中的運(yùn)用

高中數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容之一就是不等式證明.不等式證明的難度相對較高，并且對于學(xué)生的思維有一定的要求.在證明不等式的過程中，很多教師和學(xué)生發(fā)現(xiàn)了不等式證明原來和函數(shù)有著密切的關(guān)系，將函數(shù)思想應(yīng)用到解決不等式的過程中，其實(shí)就是求解對應(yīng)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間、零點(diǎn)，以及單調(diào)性的問題，并且對此進(jìn)行深入的研究.不等式求解對于學(xué)生的邏輯思維能力提出了更多的要求.學(xué)生既要考慮不等式的形式，又要考慮解集的范圍是否符合答案要求，同時(shí)，需要根據(jù)限定條件去判斷相關(guān)的內(nèi)容.如果不運(yùn)用函數(shù)思想以及具體的圖像來解決問題，學(xué)生很容易在練習(xí)過程中出錯(cuò)，并且感到難以理解，無法解決實(shí)際的不等式問題.作為數(shù)學(xué)教師，更應(yīng)當(dāng)在講解不等式題目的過程中，對函數(shù)思想進(jìn)行充分的滲透.

例如，一位教師在講解這樣的數(shù)學(xué)題目時(shí)就選擇了運(yùn)用函數(shù)思想求證不等式：已知不等式n2+ mn+3>4n+m恒成立，并且0≤m≤4.求n的取值范圍.經(jīng)過分析，數(shù)學(xué)教師將m當(dāng)作自變量，并建立相應(yīng)函數(shù)：y=（n-1）m+n2-4n +3.因此，不等式就轉(zhuǎn)換成y>0恒成立，再加上0≤m≤4的條件，就很容易計(jì)算出n的取值范圍，進(jìn)而輕松解決了這個(gè)問題.

教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際需求進(jìn)行相關(guān)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生尋找解題的技巧，熟悉解題流程，使得這些類似的不等式可以成為學(xué)生學(xué)習(xí)路上的墊腳石.通過這樣的過程運(yùn)算以及思索，很多學(xué)生逐漸掌握了方法，逐漸地發(fā)現(xiàn)題目之中所蘊(yùn)含的函數(shù)思想，并且不斷積累，及時(shí)總結(jié).同時(shí)，教師可以通過提供類似的數(shù)學(xué)題目，讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)際訓(xùn)練，即對于所運(yùn)用的函數(shù)思想以及具體的函數(shù)形式進(jìn)行選擇和判斷，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，使得函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用更加科學(xué)有效.

（三）函數(shù)思想在高中數(shù)列題目解題過程中的運(yùn)用

數(shù)列往往可以理解為一種較為特殊的函數(shù).在進(jìn)行具體題目講解和練習(xí)的過程中，我們往往將它看作方程或方程組，也就是通常所說的函數(shù)解析式的形式.對于數(shù)列而言，它是通過自變量的不斷變化，從而得出相應(yīng)的表達(dá)形式，或者求出特定的數(shù)值.因此，在對數(shù)列進(jìn)行思考和解答的過程中，教師可以合理地運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及函數(shù)的思想，增強(qiáng)學(xué)生對于數(shù)列含義的理解，從而使學(xué)生對于等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)問題能夠輕松應(yīng)對.

函數(shù)思想對于等差數(shù)列單調(diào)性以及等比數(shù)列中通項(xiàng)公式的求解過程有重要的作用.比如，在數(shù)列{bn}中，d=bn-bpn-p，公差d的幾何意義在坐標(biāo)系中表明這個(gè)等差數(shù)列的每一項(xiàng)點(diǎn)所處直線的斜率，教師要調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并且解決問題.再如，對于等差數(shù)列的求和公式：S=（a1+an）n2，在進(jìn)行解題時(shí)，可以對這個(gè)等式做出相應(yīng)變化：S=dn22+a1-d2n，這個(gè)時(shí)候再進(jìn)行解答，就可以轉(zhuǎn)換成與n有關(guān)的二次函數(shù)，使解答變得更加容易.

同時(shí)，數(shù)學(xué)教師將二次函數(shù)的圖像進(jìn)行展示，根據(jù)一些具體的函數(shù)性質(zhì)，如開口方向、對稱軸、表達(dá)式中的具體常數(shù)項(xiàng)，給予學(xué)生相應(yīng)的指示，使得學(xué)生的思維得到調(diào)動，并且將其和等差數(shù)列以及等比數(shù)列進(jìn)行聯(lián)系.學(xué)生在聯(lián)想的過程中可以發(fā)現(xiàn)其中的奧妙，進(jìn)而使得函數(shù)思想順利得以實(shí)踐.學(xué)生對于數(shù)列并不再感到陌生和厭倦，而是會進(jìn)行積極的嘗試和實(shí)踐，運(yùn)用教師在授課過程中所滲透的數(shù)學(xué)思想和解題方法來尋找具體的答案，同時(shí)總結(jié)規(guī)律，形成屬于自己獨(dú)特的解題思路，從而提高解題效率.

結(jié)束語

總而言之，在解決高中數(shù)學(xué)應(yīng)用難題的過程中，數(shù)學(xué)教師和學(xué)生對于函數(shù)思想進(jìn)行了深入的探索，并且對于學(xué)生的邏輯思維能力、文字總結(jié)能力的培養(yǎng)是卓有成效的.新的教學(xué)策略和函數(shù)思想不斷得到運(yùn)用和推廣.教師在課堂上注重啟迪學(xué)生，使得學(xué)生的思維得到調(diào)動，并且注重知識的實(shí)踐和運(yùn)用，為學(xué)生營造良好的函數(shù)思想運(yùn)用情景和氛圍，提高了整體的教學(xué)效率.這些函數(shù)思想也為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)、學(xué)習(xí)積極性的調(diào)動打下了良好的基礎(chǔ).相信在不久的將來，會有越來越多的高中數(shù)學(xué)教師將函數(shù)思想融入課堂教學(xué)過程中，用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用函數(shù)思想講解具體的數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)特的思維方式，從而讓更多的學(xué)生迅速地提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率.

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