函數(shù)視角下對“圖形運(yùn)動”的思考

毛亞玲

[摘? 要] 在函數(shù)概念體系下，“圖形運(yùn)動”課分別設(shè)計(jì)了圖形“平移”概念課、“軸對稱”性質(zhì)課、“旋轉(zhuǎn)”習(xí)題課三種課型，引導(dǎo)學(xué)生將“運(yùn)動”與“對應(yīng)”建立一一對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生感受函數(shù)思想指導(dǎo)下圖形運(yùn)動規(guī)律的思維體系.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)思想;圖形運(yùn)動;一一對應(yīng)

與圖形運(yùn)動相關(guān)的問題因其靈活多變，所以在中考中頗受出題者的青睞. 相應(yīng)的與圖形運(yùn)動相關(guān)的解題類文章種類繁多，大多側(cè)重于各類模型的解密、解法的提煉與推廣. 而關(guān)于圖形運(yùn)動教學(xué)類的文章則零散、碎片，對三種運(yùn)動方式——平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)的理解如何才能上升到邏輯一體的程度，還有待挖掘. “平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)”是三種有規(guī)律的運(yùn)動，而函數(shù)是描述客觀世界運(yùn)動變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，從函數(shù)變化的角度去理解圖形運(yùn)動是一次對數(shù)學(xué)教材“體系”認(rèn)知的新嘗試，是一次追求本質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程.

我們把圖形運(yùn)動看成是一個變化過程，那這個變化過程的本質(zhì)是點(diǎn)的運(yùn)動. 相關(guān)闡述如下：對于運(yùn)動前的每一個點(diǎn)A來說，運(yùn)動后都有唯一的點(diǎn)A′與它對應(yīng);由于圖形運(yùn)動的可逆性，運(yùn)動后的每一個點(diǎn)A′也都有唯一的點(diǎn)A與之對應(yīng)，所以我們說A和A′是圖形運(yùn)動中的一一對應(yīng)點(diǎn).

下面筆者從挖掘教材中的實(shí)驗(yàn)素材出發(fā)，圍繞函數(shù)的概念，談?wù)剬Α捌揭?、軸對稱、旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)思考.

概念教學(xué)：唯一確定，一一對應(yīng)

圖形的運(yùn)動“平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)”是將平面圖形實(shí)施圖形變換，概念的形成過程就是如何定義圖形變換的過程. 那圖形從一個位置到另一個位置，圖形上的點(diǎn)從X到X′，是如何做到“唯一確定”“一一對應(yīng)”的呢？

案例1？搖 蘇科版課標(biāo)教材七年級下冊“7.3 圖形的平移”中的素材：如圖1，移動三角尺ABC到三角尺A′B′C′的位置，得到一組平行線 AB和A′B′. 如圖2，畫出線段AB向左平移4格后得到的線段A′B′.

問題1：在圖1中，如果把直尺去掉，將三角尺ABC移動8 cm，你能確定移動后的三角尺A′B′C′的位置嗎？

追問：如何保證移動后的三角尺A′B′C′的位置只有一個？

問題2：請用數(shù)學(xué)語言描述圖1中三角尺ABC是如何移動到三角尺A′B′C′的位置的.

追問1：直尺和8 cm的含義是什么？

追問2：說說圖形平移的概念.

問題3：請說出圖1中點(diǎn)B和點(diǎn)B′、點(diǎn)A和點(diǎn)A′的關(guān)系.

追問：依據(jù)是什么？為什么是一樣的？

問題4：在圖2中去掉方格紙后，畫出AB向左平移4個單位長度后得到的A′B′.

追問：畫法的依據(jù)是什么？

設(shè)計(jì)意圖? 圖形平移概念中的兩個要素——方向和距離是如何提煉、概括出來的？“問題1”通過減少條件“把直尺去掉”，讓學(xué)生感受到了平移之后的位置不能確定，接著利用唯一確定，由“問題2”從數(shù)學(xué)語言入手得到圖形平移的概念. 圖形平移和點(diǎn)的平移的關(guān)系是整體和局部的關(guān)系. “問題3”用整體去驗(yàn)證局部，反之，“問題4”用局部還原整體，還原的過程相當(dāng)于利用“對應(yīng)要素”（方向、距離）找對應(yīng)點(diǎn)的過程. 這種函數(shù)思維方式能使學(xué)生對圖形運(yùn)動的理解達(dá)到一定的深度. 同樣的，對于軸對稱、旋轉(zhuǎn)的概念課，教學(xué)也是如此.

性質(zhì)教學(xué)：對應(yīng)元素、對應(yīng)要素

案例2？搖 蘇科版課標(biāo)教材八年級上冊“2.2 軸對稱的性質(zhì)”中的素材：如圖3，仿照上面的操作（沿l對折紙片，扎孔，展開后標(biāo)記為點(diǎn)A和點(diǎn)A′），在對折后的紙上再扎一個孔，把紙展開后記這兩個針孔為點(diǎn)B、點(diǎn)B′，連接BB′，AB，A′B′，BB′與折痕l有什么關(guān)系？再仿照上面的操作，扎孔、展開、標(biāo)記、連線，圖4中的CC′與折痕l有什么關(guān)系？？搖

問題1：在圖3中，軸對稱的性質(zhì)是指研究什么？

問題2：同樣的，從局部看軸對稱的性質(zhì)是研究什么之間的關(guān)系？

追問：如何研究？不變性如何體現(xiàn)？

問題3：我們數(shù)學(xué)上的關(guān)系通常是指“位置關(guān)系”和“數(shù)量關(guān)系”. 從這兩個角度說說BB′與對稱軸l之間的關(guān)系.

追問：能證明嗎？請用文字語言闡述上述結(jié)論.

問題4：我們已經(jīng)得到一組對應(yīng)點(diǎn)的性質(zhì)，接下來，我們可以繼續(xù)研究兩組對應(yīng)點(diǎn)的性質(zhì). 在圖3中，線段AB和A′B′與折痕l之間有什么關(guān)系？

追問：你會證明嗎？請用文字語言闡述這一性質(zhì).

問題5：除了對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)線段的性質(zhì)，接下來還能研究什么？

設(shè)計(jì)意圖？搖 研究軸對稱的性質(zhì)，即研究軸對稱運(yùn)動中的不變性. “問題1”是從整體圖形看，“問題2”是從局部對應(yīng)點(diǎn)來看，從而揭示本質(zhì). “追問”中不變性的探索依賴于核心概念里的“對應(yīng)要素”. 對于軸對稱而言，這個“對應(yīng)要素”就是對稱軸，通過研究對應(yīng)元素BB′與對稱軸l之間的關(guān)系去體現(xiàn)不變性. “問題3”則通過不斷的追問得到軸對稱的性質(zhì)便顯得順理成章. “問題4”“問題5”的提出是遵循研究問題的有序性原則，由一組對應(yīng)點(diǎn)到兩組，甚至更多……研究對應(yīng)元素與“對應(yīng)要素”之間的關(guān)系，這種研究性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)可以順延到“圖形旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)當(dāng)中，這對學(xué)生在后續(xù)圖形運(yùn)動的學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律性、統(tǒng)一性大有幫助.

解題教學(xué)：主動從動，特殊一般

圖形旋轉(zhuǎn)的問題往往伴隨著動點(diǎn)問題，其中的軌跡路程、線段最值問題都是學(xué)生較難攻克的. 下面以旋轉(zhuǎn)動點(diǎn)最值問題為例，嘗試運(yùn)用函數(shù)運(yùn)動觀點(diǎn)，化繁為簡，揭示旋轉(zhuǎn)的本質(zhì).

案例3？搖 （1）如圖5，直線MN⊥AB，垂足為A，AB=2，點(diǎn)C在直線MN上運(yùn)動. 將點(diǎn)C繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°后得到點(diǎn)D，求AD的最小值.

問題1：點(diǎn)C在直線MN上運(yùn)動，任選C的三個位置，畫出旋轉(zhuǎn)之后點(diǎn)D的三個位置. 你發(fā)現(xiàn)了什么？

追問1：如圖6，你能證明點(diǎn)D的軌跡是直線嗎？

追問2：你能畫出AD的最短距離嗎？

問題2：如圖7，已知直線MN與點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線MN上運(yùn)動. 如果點(diǎn)C繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<90°）后得到點(diǎn)D，從對應(yīng)的角度你能得到點(diǎn)D的軌跡嗎？

（2）如圖8，AB=4，O為AB的中點(diǎn)，☉O的半徑為1. 點(diǎn)C是☉O上的一個動點(diǎn)，以CB為直角邊作等腰直角三角形CBD（點(diǎn)C，B，D按逆時針方向），求AD的取值范圍.

問題3：請討論點(diǎn)D的軌跡是通過何種途徑形成的.

問題4：如圖9，運(yùn)用（1）的經(jīng)驗(yàn)，你能得到點(diǎn)D的軌跡嗎？

追問：請畫出AD取得最大值和最小值時的位置.

設(shè)計(jì)意圖？搖 這類圖形旋轉(zhuǎn)問題是近幾年比較熱門的“瓜豆原理”問題. （1）問求AD 的最小值，可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡. 通過“問題1”，直觀觀察為直線. “追問1”的探究用整體旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡：將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，A，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，D，∠BA′D=90°，A′B=2，則點(diǎn)D在與點(diǎn)B的距離為2的直線上，從而可證點(diǎn)D的軌跡是直線. “追問2”則將AD距離的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離. 在一般化的“問題2”中，局部來看，C是點(diǎn)，整體來看，C點(diǎn)就是直線MN，C點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)就是直線MN的旋轉(zhuǎn)，由一一對應(yīng)得到D的軌跡是直線，那如何畫出點(diǎn)D的軌跡呢？如圖7，利用局部特殊位置還原整體，當(dāng)C是垂足時，垂足C對應(yīng)垂足D，于是確定旋轉(zhuǎn)之后的直線DE. （2）問中“問題3”描述軌跡的形成時要認(rèn)清“對應(yīng)要素”（旋轉(zhuǎn)、位似），而“問題4”是“問題2”的變式，點(diǎn)C在“對應(yīng)要素”（旋轉(zhuǎn)、位似）的作用下一一對應(yīng)到點(diǎn)D. 如圖9，相應(yīng)地，整體上看，就是☉O對應(yīng)☉O′，圓心O按照“對應(yīng)要素”（以O(shè)B為直角邊作等腰直角三角形OBO′）找到對應(yīng)圓心O′，利用旋轉(zhuǎn)相似有△DBO′∽△CBO，從而有 = = .由此確定☉O′的圓心和半徑. 同樣地，“追問”轉(zhuǎn)化AD長度的取值為圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值問題. 解題是概念和性質(zhì)的最終應(yīng)用，函數(shù)的對應(yīng)思想能將此復(fù)雜題型破解.

結(jié)束語

函數(shù)的概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，而“平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)”是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常見的圖形變換. 運(yùn)用函數(shù)概念這個普適性描述運(yùn)動變化的方式去理解“平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)”的運(yùn)動，能幫助學(xué)生認(rèn)清客觀世界中的“位置關(guān)系”“數(shù)量關(guān)系”的產(chǎn)生過程，這是一種“全局”的數(shù)學(xué)思維方式. 初中階段的學(xué)生仍處于“直覺”思維到“理性”思維的成長期，需要教師用好教材中的活動素材去引導(dǎo)，讓他們在體驗(yàn)、經(jīng)歷中揭示運(yùn)動的變化規(guī)律，領(lǐng)悟到用運(yùn)動變化的眼光看世界的真諦.