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    用函數思想指導高中數學解題

    2017-03-04 21:15:32楊曉君
    成長·讀寫月刊 2017年1期
    關鍵詞:函數思想高中數學解題

    楊曉君

    【摘 要】函數思想以函數性質和理念作為出發(fā)點,對分析和解決數學問題具有重要作用。在數學思想中,函數思想是非常重要的一個部分,教師想要提高課堂效率和教學水平,就必須用函數思想指導解題。本文將具體探討應用函數思想指導高數數學解題的實踐,希望給相關人士提供一些參考。

    【關鍵詞】函數思想;高中數學;解題

    引 言

    高中數學思想方法包括兩類,即知識性的數學方法和思維性的數學方法。在知識性的思維方法中,最重要的就是函數思想。所謂的函數思想,就是以函數的觀點去分析數學問題、解決數學問題,幫助學生形成數學建模的思想觀念。在高中數學的教學內容中,函數板塊是教學的核心,因此將函數思想應用于高中數學解題勢在必行。

    一、用函數思想指導高中數學的方程式問題

    高中數學的方程式問題,主要是將不等式中的未知數解出,雖然方程式和函數的概念有較大的差異性,但是二者之間也存在著密切聯系。當我們用一個解析式來表示函數的時候,函數可以等同于方程。因此把函數思想應用在方程式問題的解題中,可以把函數作為一個方程,且方程的函數量為零。這樣做題可以把復雜的知識簡單化,達到舉一反三的目的[1]。將方程問題轉化成為函數問題之后,方程中未知數的解,實際上就是函數圖像的交點。

    比如,在解答方式式問題的過程中,具體分為兩種解答方法。第一種方法是針對簡單題目而言的,有直接求解的方程方法,但是耗費的解題時間比較多,而且解答的難度也相對較大。第二種方法是針對復雜題目而言的,是將方程問題轉換呈函數問題的方法,在解答的過程中需要應用函數思想,對函數的圖像和性質進行分析,最終求出方程的解,也就是函數圖像的交點。

    二、用函數思想指導高中數學的不等式問題

    函數是用來表述兩個變量關系的數學模型,因此在解決不等式問題中發(fā)揮著很大的指導作用。函數在不同的區(qū)間有著不同的正負關系,將函數的正負放在不等式中,可以有效解決不等式的問題。

    以下面這道題目為例:p是一個實數,且p大于等于0,小于等于4,那么x2+px+3大于4x+p恒成立,求x的取值范圍。我們在分析這道題目的時候,習慣以x作為自變量,構成一個y的函數,求出的結果是y=x2+(p-4)x+3-p。從題目條件中已知P大于等于0,小于等于4,y大于0恒成立,求x的范圍,此時可以應用函數的有關思想,利用二次方程區(qū)間實根分布來解決數學問題,但是這個過程比較復雜。如果設函數為(x-1)p+(x2-4x+3),且這個函數大于0,當p大于等于0小于等于4時恒成立,那么對于這個一次函數來說,只需保證大于0而且小于4即可,最終求出的x范圍是(-∞,-1)U(3,+∞)。

    三、用函數思想指導高中數學的數列問題

    高中數學的數列問題多是以一組按照順序排列的數字作為對象,而且其中的每個數字都是數列之中的項,在解決高中數列的問題時,可以把數列問題看成項數的函數問題,那么數列的通項公式就變成了函數公式[2]。在解答高中數學問題的過程中,應用函數思想解決數列問題,可以把函數的性質作為解題依據,將復雜的解決過程簡單化,提高做題效率。

    以下面的題目為例:等差數列的前n項和等于m,m項和即Sm=n,且m不等于n,那么m+n項的和,即Sm+n應該是多少。在這道題目中應用函數思想,首先要理解等差數列前n項和滿足的關系式。從函數的角度來看,這是一個必過原點的二次函數,因此在解題的過程中可以設Sn=An2+Bn,則Am2+Bm=n,An2+Bn=m。將兩個式子進行相減,最終可以得出A(m+n)+B=-1,因此A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n),最終求出來的結果是Sm+n=-(m+n)。在這道題目的解答中,主要是應用了等差數列求和公式是二次函數的函數思想,把A(m+n)+B看成一個函數,這樣可以簡化計算步驟,有效解答難題。

    四、用函數思想指導高中數學的優(yōu)化問題

    函數思想在高中數學的實際優(yōu)化問題解答中也具有重要作用,可以解決實際問題,為數學問題提供簡單化和系統(tǒng)化的解答方法。在我們的實際生活中,存在許多量和量之間的相互關系,如路程問題,要考慮路程、時間、速度的關系,如生產問題,要考慮單價、時間、總數的關系,而其他的價格問題、采購問題等實際問題,也都涉及了函數的變量。在高考的數學試卷中,實際問題占有很大的比值,用函數思想來指導高中數學的實際優(yōu)化問題,可以引導學生正確地解答題目。

    比如,以路程問題為例,我們在解答路程問題時,可以把總路程設為y,把其中的時間變量或是速度變量設為x,讓實際問題的解答成為函數問題的解答。通過數量的相互關系,建立一個基本的數學模型,然后再代入其中的數值,利用相關知識求出結果[3]。大部分的數學實際問題在解答時都要利用函數的圖像進行分析,因此在做題時可以把變量關系以圖像的形式描繪出來。在求出結果后,要把結果代入到實際問題中去,有很多問題在解答之后有兩個結果,此時要根據題目的要求篩選出最合適的結果。

    結 論

    函數思想是數學思想中的重要思想,對鍛煉數學思維,提高數學學習水平具有重要作用,將函數思想應用于高中數學的解題中,可以提高解題效率,提升數學成績。因此高中數學教師應該在解答方程式問題、不等式問題、數列問題和實際優(yōu)化問題時應用函數思想,讓學生對這種思想有更好的掌控能力。

    參考文獻:

    [1]韓云霞,馬旭.淺談函數思想在高中數學解題中的應用[N].寧夏師范學院學報,2016,03:92-95.

    [2]浦佩華.高中數學解題中如何運用函數思想[J].數理化學習(高三版),2015,05:3-4.

    [3]鄒麗麗.函數與方程思想在高中數學解題中的應用[J].高中數理化,2014,22:6.

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