鉛垂法求三角形面積的思路探索與應(yīng)用

何蓮清

[摘? 要] 鉛垂法是求解直角坐標(biāo)系中三角形面積問題的常用方法，利用該方法可以簡(jiǎn)捷地構(gòu)建面積模型，然后聯(lián)系點(diǎn)的坐標(biāo)形成相應(yīng)的面積通式. 文章探究鉛垂法求解面積問題的構(gòu)建思路，總結(jié)方法步驟，并拓展模型，結(jié)合實(shí)例應(yīng)用強(qiáng)化，與讀者交流、探討.

[關(guān)鍵詞] 鉛垂法;面積;拋物線;鉛垂高;水平寬

三角形面積問題是初中數(shù)學(xué)的經(jīng)典問題，常規(guī)圖形可以采用對(duì)應(yīng)的面積公式求解. 但對(duì)于融合了直角坐標(biāo)系的不規(guī)則圖形，則無法直接利用三角形面積公式求解. 解題時(shí)主要有兩大難點(diǎn)：一是幾何圖形不規(guī)則，無法直接構(gòu)建面積模型;二是圖形的線段長(zhǎng)未知，難以確定圖形中底和高的長(zhǎng). 而鉛垂法可以實(shí)現(xiàn)面積轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建，下面對(duì)其進(jìn)行深入探索.

問題描述，方法探索

函數(shù)背景下的三角形面積問題，主要有以下特點(diǎn)：①結(jié)合了直角坐標(biāo)系，量化了三角形頂點(diǎn)位置;②題目一般不會(huì)直接給出線段的長(zhǎng)，需要聯(lián)系點(diǎn)的坐標(biāo)來進(jìn)行計(jì)算. 以下面的問題為例進(jìn)行分析.

問題描述? 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，1），B（7，3），C（4，7），試求△ABC的面積.

解法探索? 對(duì)于圖1中的不規(guī)則三角形，直接利用公式法求解難度較大，可采用鉛垂法. 求解的基本思路是“面積割補(bǔ)→聯(lián)點(diǎn)建?！?，即首先采用面積割補(bǔ)法，將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的組合，然后結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)建相應(yīng)的模型.

如圖2，過點(diǎn)C作y軸的平行線交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為F，過點(diǎn)A作直線CD的垂線，垂足為E，則S =S +S ，其中S = ·CD·AE，S = ·CD·FB. 所以S = ·CD·（AE+FB）. 不難發(fā)現(xiàn)AE+FB為點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的水平距離，實(shí)際求解時(shí)可以聯(lián)系點(diǎn)A和點(diǎn)B橫坐標(biāo)的值，得S = ·CD·x -x .

對(duì)于本題，由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可知直線AB的解析式為y= x+ ，進(jìn)而可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2），于是CD=7-2=5. 又x -x =6，所以S = ·CD·x -x =15.

方法總結(jié)，應(yīng)用剖析

1. 方法總結(jié)

上述是對(duì)鉛垂法的探索. 對(duì)于該方法，可形成如下定義（以圖3為例）：

①A，B兩點(diǎn)之間的水平距離稱之為“水平寬”;

②過點(diǎn)C作y軸的平行線交AB于點(diǎn)D，線段CD稱之為AB邊上的“鉛垂高”.

于是S = ，也就是S = ·CD·x -x .

實(shí)際解題時(shí)，可以按照下面的步驟進(jìn)行：

第一步，結(jié)合鉛垂法建立面積模型;

第二步，由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)求水平寬，以及直線AB的函數(shù)解析式;

第三步，由點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線AB的函數(shù)解析式確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而確定鉛垂高的值;

第四步，代入鉛垂法的模型公式，求解三角形的面積.

2. 實(shí)例剖析

函數(shù)背景下的三角形面積問題的形式較為多樣，綜合性強(qiáng)，實(shí)際解題時(shí)需要靈活變通，合理利用鉛垂法來構(gòu)建解題思路，下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行剖析.

例題? 如圖4，拋物線y=ax2+2x+c與y軸的交點(diǎn)為A（0，6），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（6，0），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試回答下列問題.

（1）試求該拋物線的表達(dá)式以及頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）分析點(diǎn)P移動(dòng)到拋物線的什么位置時(shí)，可使∠PAB=75°，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著線段AB上方的拋物線向著終點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度變化，同時(shí)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著AO從點(diǎn)A向著終點(diǎn)O移動(dòng)，點(diǎn)P和點(diǎn)M移動(dòng)到各自的終點(diǎn)后停止. 設(shè)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t，四邊形PAMB的面積為S.

①試求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式.

②當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？求出該最大值.

解析? （1）分別將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可求得a=- ，c=6，于是可得拋物線的表達(dá)式為y= - x2+2x+6，將拋物線的表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）.

（2）分析可知，若點(diǎn)P在直線AB上方，過點(diǎn)P作PC⊥y軸，垂足為C. 由OA=OB=6可知∠OAB=45°. 又∠PAB=75°，所以∠PAC=60°. 利用三角函數(shù)分析，得tan∠PAC= ，即 = . 可設(shè)AC=m，則PC= m，于是P（ m，6+m）. 將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，可解得m=0（舍去）或m=? - . 所以此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為4-? ， +? . 若點(diǎn)P在直線AB下方，則點(diǎn)P在y軸左邊. 過點(diǎn)P作PC⊥y軸，垂足為C. 因?yàn)椤螼AB=45°，∠PAB=75°時(shí)，所以∠PAC=30°. 利用三角函數(shù)分析，得tan∠PAC= ，即 = . 可設(shè)PC=m，則AC= m，于是P（-m，6- m）. 將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，可解得m=0（舍去）或m=2 -4（不合題意，舍去）. 綜上所述，使∠PAB=75°的點(diǎn)P的坐標(biāo)為4-? ， +? .

（3）該問有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知移動(dòng)速度和時(shí)間，于是有Pt，- t2+2t+6，M（0，6-t）. 對(duì)于四邊形PAMB的面積，可以采用面積割補(bǔ)的方法，即S=S +S ，其中△AMB的位置較為特殊，可直接表示為S = AM·OB= ×t×6=3t;而△PAB的形狀及位置較為一般，可以采用鉛垂法，具體求解方法如下.

如圖5，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，交直線AB于點(diǎn)F，其中點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的水平距離OB為模型的“水平寬”，PF的長(zhǎng)為模型的“鉛垂高”，于是S = PF·OB=3PF. 分析可知EF=EB=6-t，所以F（t，6-t）. 所以PF=- t2+2t+6-（6-t）=- t2+3t. 所以S =- t2+9t.

綜上可知，S=S +S =- t2+12t=- （t-4）2+24. 分析可知，當(dāng)t=4時(shí)，S取得最大值，且最大值為24.

評(píng)析? 上述第（3）問屬于二次函數(shù)背景下涉及動(dòng)點(diǎn)的面積問題，雖然所求圖形為四邊形，但通過割補(bǔ)，依然出現(xiàn)了不規(guī)則的三角形，所以突破的核心是利用鉛垂法構(gòu)建不規(guī)則三角形的面積模型. 解題時(shí)，應(yīng)結(jié)合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)推導(dǎo)點(diǎn)的坐標(biāo)及線段長(zhǎng)，然后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)完成面積最值分析.

模型拓展，范例強(qiáng)化

1. 模型拓展

鉛垂法是求解直角坐標(biāo)系中三角形面積的常用方法，上述所呈現(xiàn)的是其中常用的構(gòu)建模型，學(xué)習(xí)時(shí)，還可以對(duì)其加以拓展變形，構(gòu)建不同的模型. 下面探究其中兩種模型.

（1）拓展模型1：鉛垂水平化

如圖6，過點(diǎn)B作x軸的平行線，與AC交于點(diǎn)D，則視△CDB和△ADB共用底邊BD，則模型中點(diǎn)A和點(diǎn)C之間的垂直距離為“水平寬”，線段DB為“鉛垂高”. 對(duì)于該模型，有S =S +S = ·DB·y -y .

（2）拓展模型2：鉛垂平移化

如圖7，過點(diǎn)B作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)D，則△ADB和△CDB共用底邊BD. 于是模型中的點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的水平距離為“水平寬”，線段DB為“鉛垂高”. 對(duì)于該模型，S =S -S = ·DB·x -x? -x -x? = ·DB·x -x .

2. 范例強(qiáng)化

上述呈現(xiàn)了鉛垂法的拓展模型，構(gòu)建的核心思路依然是面積割補(bǔ)，只是變動(dòng)了模型中的水平寬和鉛垂高，使其更適用于不同的問題. 實(shí)際解題時(shí)，需結(jié)合條件，尤其是通過已知點(diǎn)的坐標(biāo)來選定鉛垂法模型，合理構(gòu)建解題思路.

例題? （2019年綿陽中考題改編）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=ax2（a>0）的圖像先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得圖8中的拋物線. 已知該拋物線與x軸的交點(diǎn)為A和B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且OA=1，經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一交點(diǎn)為D，△ABD的面積為5.

（1）試求平移后的拋物線與一次函數(shù)的解析式;

（2）點(diǎn)E是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于一次函數(shù)圖像的下方，試求△ACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

解析? （1）容易求得平移后的拋物線的解析式為y= x2-x- ，一次函數(shù)的解析式為y= x+ .

（2）已知A（-1，0），C0， ，分析可知，當(dāng)△ACE的面積取得最大值時(shí)，顯然點(diǎn)E不在y軸左邊，于是設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為m， m2-m- ，可采用鉛垂法構(gòu)建面積模型，具體如下.

如圖9，過點(diǎn)E作y軸的平行線，與AD交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)相等，結(jié)合一次函數(shù)的解析式可確定Fm， m+ . 于是S =S -S = ·EF·x -x? -x -x? =- （m2-3m-4）=- m- 2+ . 分析可知，當(dāng)m= 時(shí)，△ACE的面積最大，且最大值為 .

評(píng)析? 本題所涉三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，因此模型構(gòu)建應(yīng)充分考慮該點(diǎn)的坐標(biāo). 上述解法利用了鉛垂法中的拓展模型2——三角形的鉛垂高外移，充分聯(lián)系動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來構(gòu)建模型，過程簡(jiǎn)潔，思路清晰.

總結(jié)思考

上述深入探討了鉛垂法求解直角坐標(biāo)系中三角形面積的構(gòu)建思路，其中呈現(xiàn)了三種常用的模型，雖然模型有所不同，但其構(gòu)建思路是一致的：利用面積割補(bǔ)法作鉛垂線，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為同底三角形的組合，然后聯(lián)系已知點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)建模型的解析公式. 在實(shí)際學(xué)習(xí)中，不僅要關(guān)注模型本身，還要透視模型，理解模型構(gòu)建的原理以及選用的技巧，這樣才能深刻理解模型，從而利用模型高效解題.

在利用鉛垂法構(gòu)建面積模型的解題過程中需要注意兩點(diǎn)：一是注意總結(jié)方法，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握模型解題的策略，形成程序性的解法;二是合理滲透思想方法，讓學(xué)生感受思路構(gòu)建過程中的構(gòu)造思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，明確思想方法解題的重要性，引導(dǎo)學(xué)生感悟思想內(nèi)涵，逐步內(nèi)化吸收，拓展和提升學(xué)生的解題思維.

總之，利用鉛垂法求三角形的面積具有極高的探究?jī)r(jià)值，從問題出發(fā)，展開模型構(gòu)建，總結(jié)解題策略，深入拓展探究，對(duì)提升學(xué)生的解題能力有一定的幫助，教師在教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，讓他們總結(jié)解題通法，從而形成解題策略.