例說實(shí)數(shù)大小比較的常用方法

王忠誠

(湖南省炎陵縣第一中學(xué)，412500)

比較大小是高中數(shù)學(xué)中常見的題型,也是高考中常考常新的一類問題.這類問題通常以不等式的基本性質(zhì)為主要依據(jù),涉及不等式、函數(shù)等多方面的數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)思想方法,具有涉及面廣、立意新、角度新、解法靈活多樣等特點(diǎn),能多方面考查同學(xué)們分析問題、解決問題的能力.本文以2020年高考真題為例，談兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較的常用方法.

一、作差(商)比較法

例1(2020年全國高考題)已知2a+log2a=4b+2log4b,則( )

(A)a>2b(B)a<2b

(C)a>b2(D)a

分析設(shè)f(x)=2x+log2x,利用作差法結(jié)合f(x)的單調(diào)性即可得到答案.也可以用取特殊值利用函數(shù)的單調(diào)性用排除法.

解法2由2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b,取b=1,得2a+log2a=4.

令g(x)=2x+log2x-4,則g(a)=0,且易知g(x)在(0,+∞)單調(diào)增，g(1)<0,g(2)>0,所以g(x)在(1,2)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)a，即此時(shí)a<2b=2，且a>b2=1,可排除A,D.

同理，取b=2,得2a+log2a=17.令函數(shù)h(x)=2x+log2x-17,則h(a)=0，且易知h(x)在(0,+∞)單調(diào)增，h(3)<0,h(4)>0,從而h(x)在(3,4)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)a,故此時(shí)a

綜上，選B.

評注本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用,涉及到構(gòu)造函數(shù),作差并利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查學(xué)生觀察能力、運(yùn)算能力、推理判斷能力與靈活運(yùn)用知識(shí)的綜合能力．

二、不等式法

例2(2020年山東高考題)已知a>0,b>0,且a+b=1,則( )

(C) log2a+log2b≥-2

分析根據(jù)a+b=1,結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)求解.

由a-b=2a-1>-1,得2a-b>2-1,故B正確.

綜上，選ABD.

評注本題主要考查不等式的性質(zhì),綜合了基本不等式、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,側(cè)重考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).作為新高考中的多項(xiàng)選擇題,不等式的有關(guān)判斷是很好的載體.

三、利用函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)

例3(2020年全國高考題)若2x-2y<3-x-3-y,則( )

(A)ln(y-x+1)>0

(B)ln(y-x+1)<0

(C)ln|x-y|>0

(D)ln|x-y|<0

解由條件可得2x-3-x<2y-3-y.令f(t)=2t-3-t,則f(x)

又由y=2x在R上單調(diào)增,y=3-x在R上單調(diào)減,易知f(t)在R上單調(diào)增,

因此x1.于是ln(y-x+1)>0,選A.

評注本題考查指數(shù)式的大小判斷問題,解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式,利用函數(shù)的單調(diào)性得到x,y的大小關(guān)系；同時(shí)，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想及邏輯推理、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

(A)a

(C)b

分析利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),即可得出a,b,c的大小關(guān)系.

(A)a

(C)b

四、綜合應(yīng)用

例6(2020年全國高考題)已知55<84,134<85.設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則( )

(A)a

(C)b

解由題意，可知a，b，c∈(0,1).

所以a

綜上,a