一類條件最值問題的多角度探究
——以一道聯(lián)考試題為例

張劍平

(浙江省金華市第六中學，321000)

條件最值問題是每年高考、聯(lián)考?？嫉膬热葜?其解題方法靈活多樣,難度較大,備受命題者青睞.筆者以一道聯(lián)考試題為例,從基本不等式、權方和不等式、換元法、三角代換等多角度探究一類條件最值問題的解法,并舉例說明權方和不等式在解決一類條件最值問題的應用,以期拋磚引玉.

一、柯西不等式、權方和不等式簡介

由柯西不等式，很容易得到權方和不等式的二維形式.

二、聯(lián)考題解法探究

本題為浙江省2020學年第一學期“山水聯(lián)盟”開學考試的第15題.學生解答此題時，有的因找不著條件最值求解思路而放棄，有的因等價變形時目標不明導致半途而廢.現(xiàn)將其解答整理如下.

解法1換元法+基本不等式

評注這類條件最值問題直接用基本不等式無法求解.通過換元后代換“1”,再使用基本不等式,水到渠成、解法自然．

解法2整體思想+基本不等式

評注此解法簡潔明了,但將a+2b=1轉化為(a+b)+b=1,進而使用代換“1”是個難點,要求學生具備整體思想.

解法3消元法+權方和不等式

解法4三角換元+權方和不等式

評注由條件a+2b=1很容易想到三角換元法,進而使用權方和不等式可使問題獲解．

三、拓展應用舉例

人教版教材中只介紹了基本不等式,在我們的常規(guī)教學中,往往非常注重解題的常規(guī)思路,解題方法循規(guī)蹈矩,讓學生不敢有奇思妙想．如果教師能在教學過程中適當?shù)匮a充一些課本之外的知識,引導學生一題多解,從不同角度思考問題,可以使學生的解題思路開闊,妙法頓生,解題速度提高．利用權方和不等式解決這類條件最值問題,其思想方法新穎別致、獨樹一幟,有利于提高學生的思維品質．