巧用主元思想 破解多元問題
——以2020年高考數(shù)學(xué)試題為例

黃昌毅

(福建省廈門第一中學(xué), 361003)

在多變元的數(shù)學(xué)問題中,常常有一些變元處于主導(dǎo)地位,我們稱之為主元.按照主元的某種形式對問題進(jìn)行整理,借以發(fā)現(xiàn)問題所隱含的特殊結(jié)構(gòu),以便找到相應(yīng)的策略,使問題獲解.像這樣一種通過確定主元來探索解題途徑的方法,稱之為主元法[1].

多元問題是高考考查的熱點(diǎn)、難點(diǎn),在不等式、解析幾何、函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題中頻繁出現(xiàn),筆者以2020年高考題為例,列舉主元思想在高考試題中的精彩應(yīng)用.

例1(2020年全國高考題)設(shè)a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.

(1)證明:ab+bc+ca<0;

解(1)略.

(2)若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn),求p的最大值.

解(1)略.

(1)求b的值;

(2)若f(x)有一個(gè)絕對值不大于1的零點(diǎn),證明:f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.

例4(2020年山東高考題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解(1)略.

(2)依題意,有f(1)≥1,得a+lna≥1.設(shè)φ(a)=a+lna,易知φ(a)單調(diào)增,結(jié)合φ(a)=a+lna≥1=φ(1),可得a≥1.下面證明a≥1滿足題意.

易證明lnx≤x-1,x≤ex-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號.因此有ex-1-lnx≥x-(x-1)=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號.

綜上,a的取值范圍是[1,+∞).

評注本題若以x為主元求f(x)的最小值,則計(jì)算過程繁雜;而以a為主元,則由單調(diào)性得F(a)≥F(1),可快速消元,化多元問題為單元問題,簡化了計(jì)算,降低了求解難度.

例5(2020年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

解(1)略.

例6(2020年天津高考題)已知函數(shù)f(x)=x3+klnx(k∈R),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)略;

(2)當(dāng)k≥-3時(shí),求證:對任意x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有

解(1)略.

(2)題設(shè)不等式等價(jià)于(x1-x2)[f′(x1)+f′(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]≥0.

以x1為主元,構(gòu)造函數(shù)h(x)=(x-x2)[f′(x)+f′(x2)]-2[f(x)-f(x2)],x>x2≥1,則

所以h′(x)≥0恒成立,即h(x)在(x2,+∞)單調(diào)增,可得h(x)≥h(x2)=0,即題設(shè)不等式成立.

評注本小題觀察出x1,x2存在不等關(guān)系,故選擇x1(也可選擇x2)為主元構(gòu)造函數(shù)并證明h(x)≥0;特別發(fā)現(xiàn)h(x2)=0,則需證明h(x)在(x2,+∞)單調(diào)遞增即可.這樣將多元問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)單調(diào)性證明,大大簡化了運(yùn)算.

主元思想是解決多元問題的有效方法,確定主元是解決這類問題的關(guān)鍵.確定主元,可將多元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題,大大簡化運(yùn)算.