探究疑點(diǎn) 提升能力
——一道解三角形題的教學(xué)思考

陳凌燕

(福建省仙游金石中學(xué)，351200)

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一類重要的基本初等函數(shù),它關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)多個(gè)知識(shí)模塊,既包含了三角恒等變換及不等式等“數(shù)”的知識(shí),還兼具解三角形等“形”的內(nèi)涵,是增進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的重要載體.本文通過一道三角問題求解的疑點(diǎn)探究,探索教學(xué)過程中如何適時(shí)提高學(xué)生綜合分析處理問題的能力.

一、問題呈現(xiàn)

學(xué)生測試的結(jié)果不出所料:幾乎全軍覆沒!考后了解學(xué)生,發(fā)現(xiàn)其思維過程幾乎相同,得到的解法如下.

又由a+b>c=2,得a+b+c>4,故?ABC周長的取值范圍為(4,6].

二、源頭探索

三、多解生成

視角1由不等式入手,直接求a+b的取值范圍

視角2運(yùn)用消元法,化歸為單變量函數(shù)求值域

評(píng)注本解法通過消元,將要求的兩變量表達(dá)式a+b轉(zhuǎn)化成單變量k的函數(shù),求其值域.

視角3采用三角換元,化歸為三角函數(shù)求值域

評(píng)注a2+b2=8具有熟悉的圓的方程特征形式,三角換元是解決“已知x2+y2=r2,求ax+by(a,b∈R)的取值范圍”這類問題的典型方法.

視角4從解析法入手,探究軌跡求取值范圍

正解4同上得a2+b2=8.設(shè)A(-1,0),B(1,0),C(x,y)(y≠0),則有(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=8,整理得x2+y2=3,即動(dòng)點(diǎn)C在圓x2+y2=3上,由此再求|BC|+|AC|的范圍.

評(píng)注通過解析法得出動(dòng)點(diǎn)C的軌跡,活化了對a+b取值范圍探索的途徑,降低了問題求解的難度,彰顯了解析法以數(shù)助形的強(qiáng)大威力.

四、教學(xué)思考

1、注重問題“源頭”探究,實(shí)現(xiàn)思維“活水”長流

任何事物都有矛盾,要抓住其主要矛盾,集中力量解決.教師在教學(xué)中要善于發(fā)現(xiàn)激發(fā)學(xué)生思維的關(guān)鍵問題,抓住這個(gè)“源頭”,引導(dǎo)學(xué)生從自身的認(rèn)知角度與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),通過思考、分析和解決問題,使學(xué)生有思有得,同時(shí)享受其中的樂趣,做到樂學(xué)數(shù)學(xué).

2、在多解中求同,認(rèn)識(shí)本質(zhì),提升能力

學(xué)生不同的思維給出不同的解法,要從各種不同的解法中認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì),提升學(xué)生的綜合能力.如本題中動(dòng)三角形的本質(zhì)是頂點(diǎn)C可變動(dòng),如何從不同的角度對其進(jìn)行描述,就可產(chǎn)生各種不同的求解過程, 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)不同知識(shí)模塊的相互滲透性. 對問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)越透徹,就越能直指問題核心,簡化問題處理過程.

3、總結(jié)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),強(qiáng)化知識(shí)體系建構(gòu)

學(xué)生給出問題的解法之后,教師要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),根據(jù)其所采用的知識(shí)方法實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念與知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的整體構(gòu)建,讓學(xué)生對知識(shí)有更深一層的理解.要幫助學(xué)生理清問題求解的層次和步驟,讓學(xué)生感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,逐步建構(gòu)自己的系統(tǒng)解題方法.