值域

■王 健函數(shù)的值域是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,求函數(shù)的值域有多種方法,不僅如此,同學(xué)們還要善于從函數(shù)的值域出發(fā)尋找解決函數(shù)其他問(wèn)題的方法,如已知函數(shù)的值域求函數(shù)的定義域、求解析式、求參數(shù)的值或取值范圍等。下面就此小議函數(shù)的值域的應(yīng)用問(wèn)題。一、求函數(shù)的定義域例1 (多選題)已知函數(shù)y=x2-2x+3 的值域是[2,11],則其定義域可能是( )。A.[0,4] B.[-1,1]C.[2,3] D.[-1,4]令x2-2x+3=2,解得x=1;令x2-2x+3=11

寧國(guó)中學(xué))函數(shù)的值域是函數(shù)概念的三要素之一,用初等方法求函數(shù)值域是一個(gè)傳統(tǒng)的重要課題.求函數(shù)的值域也是對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步研究的基礎(chǔ),在試題中它常常以求函數(shù)的最值、求參數(shù)的取值范圍以及恒成立問(wèn)題等形式進(jìn)行考查.因?yàn)榍蠛瘮?shù)值域方法的靈活多變,所以學(xué)生在此類問(wèn)題中經(jīng)常出錯(cuò).因此,筆者認(rèn)為有必要對(duì)求函數(shù)值域問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的研究,讓學(xué)生抓住此類問(wèn)題的本質(zhì)、掌握解決此類問(wèn)題的通性通法,從而更好地進(jìn)行備考.1 確定函數(shù)值域的原則由函數(shù)的不同表示方法,可得到下列不同的原

兩者之間的最值和值域關(guān)系來(lái)解題.題型1：?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)=g(x2)?f(x1)值域是g(x2)值域的子集.題型2：?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)=g(x2)?f(x1)值域與g(x2)值域的子集交集非空.若遇到雙變量不是前兩種情況的題怎樣處理呢？題1 設(shè)函數(shù)已知函數(shù)f(x)=ax+sinx+cosx(a∈R)，若函數(shù)f(x)的圖像上存在不同兩點(diǎn)A，B，使得曲線y=f(x)在點(diǎn)A，B處的切線相互垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.∴-

吳榮求函數(shù)的值域問(wèn)題側(cè)重于考查函數(shù)的圖象、單調(diào)性、解析式、定義域.此類問(wèn)題的難度一般不大，通常要求根據(jù)函數(shù)的解析式求函數(shù)的值域，函數(shù)的解析式不同，其求值域的途徑也不同.本文主要談一談求函數(shù)值域的三種路徑，一、數(shù)形結(jié)合在解答函數(shù)問(wèn)題時(shí)，借助函數(shù)的圖象來(lái)分析問(wèn)題，往往能有效提升解題的效率.在求函數(shù)的值域時(shí)，可根據(jù)函數(shù)的解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象，或根據(jù)代數(shù)式的幾何意義繪制出相應(yīng)的幾何圖形，通過(guò)分析圖象或圖形中點(diǎn)、線的位置關(guān)系，找出臨界的情形，從而求得函數(shù)的值域.在采

婁愛(ài)玉函數(shù)的值域問(wèn)題十分常見(jiàn)，其中分式函數(shù)值域問(wèn)題較為復(fù)雜，采用常規(guī)的方法通常很難快速求得函數(shù)的值域.那么，如何求解分式函數(shù)值域問(wèn)題呢？通過(guò)研究，筆者找到了三種求分式函數(shù)值域的方法，下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探討.一、分離常數(shù)法當(dāng)遇到形如 f（x）= 、f（x）= 的分式函數(shù)時(shí)，可采用分離常數(shù)法來(lái)求其值域.先把分子湊成分母的倍數(shù)，然后將常數(shù)從分式中分離出來(lái)，最后求分離后分式的值域，即可求原函數(shù)的值域.例1 .求函數(shù) y = （x - 1） 2 x 2 + 1 的值域

定義域?yàn)镽 時(shí),值域為[-|A|+k,|A|+k];當(dāng)定義域?yàn)槟硞€(gè)給定的區(qū)間時(shí),需確定ωx+φ的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求值域。題型2:形如y=asin2x+bsinx+c,a≠0,x∈R 或y=acos2x+bcosx+c,a≠0,x∈R例2 函數(shù)f(x)=cos2x-2sinx的最大值與最小值分別為_(kāi)___。解:函數(shù)f(x)=cos2x-2sinx=-sin2x-2sinx+1,令t=sinx,則t∈[-1,1],所以原函數(shù)等價(jià)于y=-t2-2t+1

王春銘函數(shù)值域是函數(shù)的三大要素之一，是指函數(shù)中因變量的取值范圍.一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)的值域主要受函數(shù)的解析式和自變量的取值范圍影響，因此在求函數(shù)的值域時(shí)，需重點(diǎn)研究函數(shù)的值域和自變量的取值范圍.求函數(shù)值域的途徑有很多種，下面重點(diǎn)介紹利用函數(shù)的單調(diào)性、配方、分離常數(shù)、換元四個(gè)技巧.

f[f(x)]的值域相同，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.第一步：分析f(x)的單調(diào)性與最值，易知f(x)在(-∞,-a)上遞減，在(-a,+∞)上遞增，f(x)min=f(-a)=a-a2，∴f(x)的值域是[a-a2,+∞).第二步：換元分析兩函數(shù).設(shè)t=f(x)，則f[f(x)]=f(t)，函數(shù)f(t)在t∈(-∞,-a)上遞減，在t∈(-a,+∞)上遞增，則y=f(t)(t≥a-a2)的值域也是[a-a2,+∞).圖1第三步：?jiǎn)栴}求解.設(shè)y1=f(x),y2

■葛云云求函數(shù)值域是高考的重點(diǎn)及熱點(diǎn)，很多問(wèn)題最后都轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域得以解決。其中求含根式的函數(shù)值域是特殊的一個(gè)類型，平常大家碰到的頻率也較高，其求解思路多樣，方法多變，下面對(duì)這一類問(wèn)題的幾種求解策略進(jìn)行舉例分析。一、函數(shù)單調(diào)法例1求函數(shù)的值域。解：函數(shù)的定義域?yàn)橛蓮?fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)y=在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，故其值域為。啟示：利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)問(wèn)題是最常用的方法，解題時(shí)可預(yù)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，充分抓住函數(shù)的相關(guān)性

技術(shù)學(xué)校 求函數(shù)值域是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，也是與實(shí)際應(yīng)用銜接最緊密的內(nèi)容之一。本文對(duì)如何求值域作了系統(tǒng)介紹，對(duì)某一類題，用什么方法較為簡(jiǎn)捷，并用適當(dāng)?shù)睦蛹右哉f(shuō)明，而且還對(duì)每一種方法的概念、適合類型、注意事項(xiàng)等作了全面的概括。一、觀察法根據(jù)函數(shù)值域的定義，函數(shù)值域可由定義域及對(duì)應(yīng)法則確定，因而對(duì)某些簡(jiǎn)單的函數(shù)，可在定義域及對(duì)應(yīng)法則基礎(chǔ)上通過(guò)觀察確定函數(shù)值域。故值域為：y∈(-，1)∪(1，+)在求這種有理分函數(shù)的值域時(shí)往往出

夢(mèng)媛求三角函數(shù)的值域，一般是將三角函數(shù)式化為f(x)=Asin(ω x+φ)+B的形式，然后利用三角函數(shù)的有界性求出值域。下面舉例分析，供大家學(xué)習(xí)與參考。一、函數(shù)f(x)=asinx+bcosx+c型用輔助角公式例1定義行列式運(yùn)算a1a4-a2a3，求函數(shù)為一個(gè)三角形的最小內(nèi)角)的值域。解：由行列式的定義可得因?yàn)棣潦侨切蔚淖钚?nèi)角，所以，所以+所以。故函數(shù)f(x)的值域為二、函數(shù)f(x)=asin2x+bsinx+c型用換元法例2當(dāng)0＜x＜π時(shí)，求函數(shù)f

+c型的三角函數(shù)值域的求法(1)求∠B的大小；二、y=asin2x+bsinx+c型的三角函數(shù)值域的求法例2 求函數(shù)y=cos2x-2asinx-a(a為常數(shù))的最大值M.解析y=cos2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a，令t=sinx，則y=-(t+a)2+a2+1-a,(-1≤t≤1).(1)若-a<-1時(shí)，即a>1時(shí)，在t=-1時(shí)，最大值M=a.(2)若-1≤-a≤1時(shí)，即-1≤a≤1時(shí)，在t=-a時(shí)，取最大值M=a2+1-a

函數(shù)三要素之一的值域的重要性不言而喻.此外，值域（最值）的求解是函數(shù)的重難點(diǎn)，常在高考中出現(xiàn)，因此，掌握函數(shù)值域（最值）的求解方法是很有必要的，本文結(jié)合具體例子對(duì)函數(shù)值域（最值）的求解方法進(jìn)行歸納.關(guān)鍵詞：函數(shù)值域;求解方法一、觀察法對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行觀察，進(jìn)而求出函數(shù)的值域適用函數(shù)類型：比較簡(jiǎn)單的函數(shù)例1求函數(shù)y=-2的值域解：∵≥0∴-2≥-2∴函數(shù)y=-2的值域為[-2，+∞）例2.求函數(shù)y=2x2+3（-1≤x≤1）的值域解：∵-1≤x≤1∴結(jié)合函

點(diǎn)，其中求函數(shù)的值域（求函數(shù)的最大、最小值）尤為重要.在這里筆者做了一個(gè)相對(duì)系統(tǒng)的整理，供廣大高中數(shù)學(xué)教師與學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中參考與使用.一、直接法例1求函數(shù)（fx）=的值域.解析：由3x+1∈（1，+∞），得（fx）=故函數(shù)（fx）=的值域為（1，3）.二、配方法例2已知函數(shù)（fx）=x2-4x+1，x∈［-2，5］，求函數(shù)y=（fx）的值域.解析：由（fx）=x2-4x+1=（x-2）2-3，故當(dāng)x=2時(shí)，ymin=-3；當(dāng)x=-2時(shí)，ymax=13.因

重要地位.函數(shù)的值域就是函數(shù)值的取值范圍，它雖然由函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則完全確定，但是確定值域仍是較為困難的，這些使函數(shù)的值域成為歷年高考必考的重點(diǎn)之一.下面就介紹幾種求函數(shù)值域的常用方法.（注意：不論采用什么方法求函數(shù)的值域均應(yīng)先考慮其定義域.）endprint

(mkb≠0)的值域二、當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)=mx+k+d(mk≠0)的值域1.當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，f(x)=mx+2.當(dāng)b2-4ac≠0時(shí)，f(x)=mx+若a0，利用平方和換元求其函數(shù)的值域，即由u2+v2=r2(r>0)，令u=rcosθ，v=rsinθ(其中θ為非零參數(shù)，且θ的取值范圍由變量u,v的取值范圍確定).下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明其具體求解方法.例6 求函數(shù)f(x)=2x-3+

633.6求函數(shù)值域是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，不同的函數(shù)解析式要用不同的方法，下面舉例說(shuō)明幾種常見(jiàn)的求函數(shù)值域的方法。一、配方法例1求函數(shù)y=2x2-6x+3的值域解：y=2（x-3）2-函數(shù) 的值域為【 ，二、判別式法對(duì)于某些有理數(shù)分式函數(shù)，y=f（x）（分子或分母最高次數(shù)為2），可把函數(shù)的解析式化為關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)判別式 得到一個(gè)關(guān)于y的不等式。解此不等式就可求得函數(shù)的值域。例2求 的值域解：原方程可化為（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1

俞丹例 求，或的值域.解析 方法一：方程法.將變形得，，左右平方得，，化簡(jiǎn)得， .（ 其中即）.又.聯(lián)立解得，，或.，或的值域為，或.方法二：三角函數(shù)法.將變形得，.①令，其中，將代入①得，.化簡(jiǎn)得，.故，或.，或的值域為，或.方法三：數(shù)形結(jié)合法.令，題目轉(zhuǎn)化為與有交點(diǎn)的的取值范圍.將化簡(jiǎn)得，.作出如上圖象. 由圖象可得，，或.

成立，則f（x）值域的“頂”不超過(guò)g（x）值域的“頂”，即f（x）max≤g（x）max，由5≤5+m，則m的取值范圍是m≥0.變式（2）分析 若x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，使得f（x1）>g（x2）恒成立，則g（x）值域的“底”小于f（x）值域的“底”，即f（x）min>g（x）min，由-54>-17527+m，則m的取值范圍是m<565108.變式（3）分析：若x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，總有f（x1）=g（x2），對(duì)f（x）

?求函數(shù)值域的常用方法姚源信(廣西凌云縣中學(xué)，533000)函數(shù)的值域是函數(shù)構(gòu)成的三大要素之一,它可以由定義域和對(duì)應(yīng)法則來(lái)確定．函數(shù)的值域,既能從全局上反映函數(shù)的性質(zhì),又能從局部上體現(xiàn)函數(shù)值的變化規(guī)律,是函數(shù)定義中重要的必不可少的組成部分．求函數(shù)的值域是?？碱}型.在許多問(wèn)題,特別是實(shí)際問(wèn)題(應(yīng)用題)中,經(jīng)常遇到求某個(gè)量取值范圍或最大值、最小值的問(wèn)題,實(shí)際上都是求函數(shù)的值域．因此,我們有必要專門(mén)探討求函數(shù)的值域的方法,將之分門(mén)別類,應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐,提高學(xué)生對(duì)

在反函數(shù)法求函數(shù)值域時(shí)應(yīng)注意的一個(gè)問(wèn)題文/夏金亮對(duì)于函數(shù)值域問(wèn)題的討論是初等數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的問(wèn)題。其重要之處在于這類問(wèn)題研究的是函數(shù)基本概念，它與各類重要函數(shù)、反函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、不等式、最值和導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系。對(duì)認(rèn)知函數(shù)以及后面的相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有著非凡的意義，所以求函數(shù)的值域也成為各類考試的熱門(mén)知識(shí)點(diǎn)。本文將對(duì)求函數(shù)值域時(shí)使用反函數(shù)法應(yīng)注意的問(wèn)題作出討論。反函數(shù)法;函數(shù);值域這個(gè)結(jié)果雖然正確，但是其簡(jiǎn)答的方法卻又邏輯上的錯(cuò)誤。那么對(duì)于例

2+2x+1）的值域為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”，我的解法是：因?yàn)樵趯?duì)數(shù)函數(shù)中要求真數(shù)ax2+2x+1>0，所以a>0，Δ=4-4a1.而正確答案是0≤a≤1.請(qǐng)問(wèn)我錯(cuò)在哪里？A 回答： 問(wèn)題要求的是“對(duì)數(shù)函數(shù)的值域為R時(shí)，a的取值范圍”，而你求的是“對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽時(shí)，a的取值范圍”，這是兩碼事，所以你的解法當(dāng)然有錯(cuò).先來(lái)討論對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽的情況.因?yàn)樵趯?duì)數(shù)函數(shù)中要求真數(shù)恒大于0，函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的定義域?yàn)镽，說(shuō)明當(dāng)

00）試談求函數(shù)值域的基本思想及方法孔曉紅（甘肅省永靖縣永靖中學(xué)，甘肅 永靖 731600）本文簡(jiǎn)述了求函數(shù)值域（或最值）常用的基本方法函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的一個(gè)重要方面。求函數(shù)值域是函數(shù)這部分內(nèi)容的重、難點(diǎn)問(wèn)題之一。求函數(shù)值域首先要考察定義域。以一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)為基礎(chǔ)，尤其要熟練掌握二次函數(shù)式在給定區(qū)間上值域的求法。應(yīng)用化歸思想、方程思想、相互制約思想、幾何思想、基本不等式

換法求無(wú)理函數(shù)的值域●周華生(常福一區(qū)90幢302室 江蘇常熟 215500)用代換法求無(wú)理函數(shù)的值域，方法簡(jiǎn)便、靈活，是一種很有用的解題方法.本文就4種常見(jiàn)的無(wú)理函數(shù)求值域問(wèn)題從整體上分析一些解法和技巧，可供參考.為計(jì)算方便，本文使用以下3個(gè)公式(也可用判別式求):1 求y=+(a>0,c當(dāng)a,c同號(hào)時(shí)，用增減性解很方便.y的最小值可視具體情況通過(guò)所在的點(diǎn)來(lái)計(jì)算.2 求y=-(a>0,c>0)的值域當(dāng)a,c異號(hào)時(shí)，可用增減性很方便地求解.(1)或(2)圖

法的實(shí)質(zhì)是將函數(shù)值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在實(shí)數(shù)集上有解的條件，若自變量的取值范圍是某個(gè)特定區(qū)間，則應(yīng)轉(zhuǎn)化為在此區(qū)間上有解的條件，此時(shí)△≥0僅為必要條件，而不是充分條件，但在解題中，有時(shí)因?qū)λ倪m用范圍不清楚，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.本文就一些常見(jiàn)錯(cuò)誤加以分析，旨在更好的掌握判別式求值域的方法.例1 求函數(shù)y=x2-x+1x2+x+1(0≤x≤1)的值域.錯(cuò)解：將上式變形為(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0 (1)，∵x為實(shí)數(shù)，∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-1

戈秀英函數(shù)的值域就是函數(shù)值的取值范圍，求函數(shù)值域是重點(diǎn)，更是難點(diǎn).學(xué)生對(duì)函數(shù)值域的問(wèn)題常感到頭疼.下面通過(guò)典型例題說(shuō)明求函數(shù)值域的幾種方法.一、常見(jiàn)函數(shù)的值域一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的值域為R.二次函數(shù)y=ax２+bx+c（a≠0），當(dāng)a>0時(shí)，值域是[4ac-b２，+∞）；當(dāng)a<0時(shí)，值域為（-∞， 4ac-b２].指數(shù)函數(shù)y=aｘ（a＞0且a≠1）的值域為R.對(duì)數(shù)函數(shù)y=ｌｏｇaｘ（a>0且a≠1）的值域為R.正余弦函數(shù)的值域為[-1，1]，余切

法則是最基本的，值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則所確定?，F(xiàn)行人教版教材中對(duì)值域的問(wèn)題沒(méi)有做深入研究，同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)當(dāng)中會(huì)經(jīng)常遇到求值域的問(wèn)題，或利用值域解決問(wèn)題，現(xiàn)將筆者在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)的一些求值域的常用方法奉獻(xiàn)給大家。注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文