函數(shù)值域的求法

文/陸豐市第二職業(yè)技術(shù)學(xué)校

求函數(shù)值域是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，它貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，也是與實際應(yīng)用銜接最緊密的內(nèi)容之一。本文對如何求值域作了系統(tǒng)介紹，對某一類題，用什么方法較為簡捷，并用適當(dāng)?shù)睦蛹右哉f明，而且還對每一種方法的概念、適合類型、注意事項等作了全面的概括。

一、觀察法

根據(jù)函數(shù)值域的定義，函數(shù)值域可由定義域及對應(yīng)法則確定，因而對某些簡單的函數(shù)，可在定義域及對應(yīng)法則基礎(chǔ)上通過觀察確定函數(shù)值域。

故值域為：y∈(-，1)∪(1，+)

在求這種有理分函數(shù)的值域時往往出現(xiàn)兩方面錯誤：一是既然定義域要除去使分母為零的值，值域也一定要除去某些值；另一是不考慮分式的特征而認(rèn)為值域一定為一切實數(shù)。這兩方面的錯誤都應(yīng)注意避免。

二、利用基本函數(shù)的性質(zhì)

通過對解析式的分式、變形，然后借助于基本函數(shù)的值域逐步推求原函數(shù)的值域。

所以，y的值域為：(-，)

三、反函數(shù)法

當(dāng)函數(shù)存在反函數(shù)又不難求得時，可以把求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求反函數(shù)的定義域。

它的定義域為x∈(-1，1)

所以原函數(shù)的值域為y∈(-1，1)

四、配方法

根據(jù)式于a2≥0，可以對含有二次三項式的函數(shù)進(jìn)行配方，化成平方式的形式，然后根據(jù)定義域求值域。

解：∵-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4

又∵在函數(shù)的定義域上，顯然y≥0

所以原函數(shù)的值域為：y∈[0，2]

五、判別式法

當(dāng)函數(shù)不存在反函數(shù)或反函數(shù)存在但不易求得時，有時可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成一個常數(shù)項中含y的關(guān)于x的二次方程，利用判別式來求函數(shù)的值域，這個方法可用于無理函數(shù)的值域的求解當(dāng)中。

解：原式移項，兩邊平方整理得：

8x2-16yx+(3-16y2)=0

∵為實數(shù)

∴Δ=(-16y)2-4×8×(3-16y2)≥0

六、替換法

替換法除了上述的代數(shù)換元法，還有三角換元法。

七、不等式法

利用基本不等式、柯西不等式等來求函數(shù)值域。

解：∵x>3

∴x-3>0

=5

所以函數(shù)的值域為y∈[5，+)

用基本不等式求值域，應(yīng)注意不等式的適用范圍及等號成立的條件。

八、函數(shù)單調(diào)性法

九、用方程的觀點求函數(shù)的值域

下面先給出一個定理：

定理：已知函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域為C且關(guān)于x的方程f(x)-y=0在A中至少有一解的y的集合為D，那么C=D。

解：原式等價于：

x2-xy+1=0(x>0)

設(shè)g(x)=x2-xy+1，由g(0)=1，

函數(shù)g(x)的圖像與x軸正半軸相交，所以方程x2-xy+1=0在(0，+∞)內(nèi)有解的條件為y∈[2+)由定理可知函數(shù)的值域為y∈[2+)。

十、導(dǎo)數(shù)法

很多較復(fù)雜的函數(shù)的最值可以利用導(dǎo)數(shù)求得，這也是尋求某些函數(shù)值域的行之有效的方法。這種方法首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后解出導(dǎo)數(shù)值為0的駐點，再判別函數(shù)的單調(diào)性，最后求出值域。

十一、最值法

最大值最小值定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上有最大值與最小值。設(shè)函數(shù)f(x)在定義域[a，b]上的最大、最小值分別是M和m，則f(x)的值域為[m，M]。

十二、極限法

有些函數(shù)可運用極限的知識來求值域。

十三、圖像法

有些函數(shù)可以根據(jù)其函數(shù)圖像求出其值域。

求解函數(shù)值域的方法很多，其實各方法之間是相互聯(lián)系的，一道題可能有多種解法，至于用什么方法好，還需要學(xué)生在實踐中不斷總結(jié)。