求函數(shù)值域的幾種常用方法

張浩嘉

【中圖分類號】G633.6

求函數(shù)值域是一個比較復(fù)雜的問題，不同的函數(shù)解析式要用不同的方法，下面舉例說明幾種常見的求函數(shù)值域的方法。

一、配方法

例1求函數(shù)y=2x2-6x+3的值域

解：y=2（x-3）2-

函數(shù) 的值域?yàn)椤?，

二、判別式法

對于某些有理數(shù)分式函數(shù)，y=f（x）（分子或分母最高次數(shù)為2），可把函數(shù)的解析式化為關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)判別式 得到一個關(guān)于y的不等式。解此不等式就可求得函數(shù)的值域。

例2求 的值域

解：原方程可化為（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0

當(dāng) y 時，

解得

當(dāng)y=1時，x=0屬于定義域

函數(shù)的值域?yàn)?/p>

三、非負(fù)數(shù)法

當(dāng)函數(shù)的解析式中出現(xiàn)絕對值，偶次方冪，算數(shù)根和指數(shù)冪時，常根據(jù)他們的非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)確定函數(shù)的值域。

例3. 求函數(shù) 的值域

解：原方程可化為

視為關(guān)于x的方程化為

所以函數(shù)的值域?yàn)?/p>

四、分部分式法

當(dāng)函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）是分式且分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，可分部分式求函數(shù)的值域。

例4.求函數(shù) 的值域

解：

因?yàn)?/p>

所以

故該函數(shù)的值域?yàn)閇

五、換元法

對于某些特殊的函數(shù)y=f（x），可利用設(shè)輔助未知數(shù)的方法求得其值域。

例5. 求函數(shù) 的值域

解：令

所以 （當(dāng)且僅當(dāng)t=1時取等號）

故原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

六、函數(shù)的單調(diào)性法

對于某些單調(diào)函數(shù)可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域。

例6.求函數(shù) 的值域

解：設(shè)

因?yàn)?/p>

當(dāng) 時，t有最小值

又因?yàn)?是增函數(shù)

所以當(dāng)

故原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

七、反函數(shù)法

因?yàn)樵瘮?shù)的值域正好是它的定義域，所以要求原函數(shù)的域可以轉(zhuǎn)換為先求其反函數(shù)再求其定義域，即得原函數(shù)的。

例7. 求函數(shù) 的值域

解：求得 的反函數(shù)為 ，

其定義域?yàn)?/p>

故所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

八、數(shù)形結(jié)合法

例8.求函數(shù) 的值域

解：原函數(shù)化為

將此函數(shù)化為分段函數(shù)的形式

通過圖像可知

故所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

以后通過學(xué)習(xí)不等式和三角函數(shù)求函數(shù)的值域還可以用不和利用有界性法。endprint