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    如何求抽象函數(shù)的定義域

    2022-04-09 13:56:12葉建勇
    關鍵詞:值域定義域關系式

    葉建勇

    求抽象函數(shù)的定義域問題經(jīng)常出現(xiàn)各類函數(shù)試題中.此類問題較為抽象,題目中通常不會給出具體的函數(shù)解析式,要求根據(jù)已知條件或函數(shù)的值域求其定義域.常見的題型有三種:(1)已知 f x的定義域,求fgx的定義域;(2)已知fgx的定義域,求 f x的定義域;(3)已知fgx的定義域,求fhx的定義域.下面結合實例,重點探討一下這三類抽象函數(shù)定義域問題的解法.

    例1.已知函數(shù) f x的定義域為4, 9,求 fx2的定義域.

    解:令 u = x2,則 fx2是由 u = x2與 y =f u構成的復合函數(shù),

    因為函數(shù) f x的定義域為4, 9,

    所以 u = x2∈4, 9,

    解得-3≤ x ≤-2或 2≤ x ≤3,

    即函數(shù) fx2的定義域為[-3,-2]?[2,3].

    對于已知函數(shù) f x的定義域,求fgx的定義域問題,需先根據(jù) f x的定義域a, b確定函數(shù)gx的值域,即gx∈a, b,通過解不等式 a ≤ g(x)≤ b,得到fgx的定義域.對于本題,我們需由 f x的定義域,確定 u = x2∈4, 9,建立關于 x 的不等式,即可求得 x 的取值范圍.

    例2.已知函數(shù) fx2- 2x +2的定義域為0, 3,求函數(shù) f x的定義域.

    解:令 t = x2- 2x +2,所以 fx2- 2x +2=f t,

    因為 fx2- 2x +2的定義域為0, 3,

    則 x ∈0, 3,

    所以,當 x ∈0, 3時,x2- 2x +2∈1, 5,

    因此 f x的定義域為1, 5.

    若已知fgx的定義域為a, b,求函數(shù) f x的定義域,需根據(jù)fgx的定義域a, b,得到gx的值域,所得的gx的值域即為函數(shù) f x的定義域.

    例3.已知函數(shù) y=f(x2-1)的定義域為[- ?, ],則函數(shù) y=f(x)的定義域為_____.

    解:∵y=f(x2-1)的定義域為[- ?, ],

    ∴ x ∈[- ?, ],x2-1∈[-1,2],

    ∴y=f(x)的定義域為[-1,2].

    我們只需根據(jù)題意求得 x2-1的取值范圍,即可建立關于 x 的不等式,求得函數(shù) y=f(x)的定義域.在解題時,需注意兩點:(1)明晰fgx的定義域與 f x的定義域之間的區(qū)別;(2)明確fgx中的gx與f x中 x 之間的等價關系.

    例4.已知函數(shù) f x +2的定義域是-1, 2,求函數(shù) fx2的定義域.

    解:因為 f x +2的定義域是-1, 2,

    則-1≤ x ≤2,

    因此1≤ x +2≤4,

    即函數(shù) f x的定義域為1,4,

    令1≤ x2≤4,

    解得-2≤ x ≤- 1或1≤ x ≤2,

    因此,函數(shù) fx2的定義域為{x|- 2≤ x ≤-1或1≤x ≤2}.

    在解答本題時,需明確函數(shù) f x的 x 與函數(shù)fx2中 x2的值域之間的等價關系,由此建立關系式,即可解題.若已知fgx的定義域為a, b,求函數(shù)fhx的定義域,要根據(jù)fgx的定義域得到gx的值域,再根據(jù)gx的值域等價于hx的值域來建立不等式,解不等式即可求得fhx的定義域.

    雖然函數(shù) y =fgx、y =fhx、y =f x的解析式不相同,但是其對應的法則相同,因此求抽象函數(shù)的定義域,關鍵在于明確 y =fgx、y =fhx、 y =f x中 x、gx、hx的意義及其等價關系,建立相應的關系式,即可求得對應函數(shù)的定義域.

    (作者單位:湖北省安陸市第二高級中學)

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