用不同的幾何變量解一道高考幾何最值問題

王成強

(成都師范學院 數(shù)學學院,四川 成都 611130)

引言

高考數(shù)學在考查學生對基礎概念、性質(zhì)、公式掌握水平的同時,注重考查學生的數(shù)學能力[1,2]。圓錐曲線理論是高中階段的數(shù)學的教學重難點,它所涉及的問題形式豐富、問題設置視角靈活多變,學好該部分理論要求學生具有較高的空間想象能力、抽象思維能力、邏輯推理能力、轉化化歸能力與科學計算能力,因此,每一年的高考數(shù)學都設置關于圓錐曲線理論的考點,且該考點所占分值穩(wěn)定。幾何變量的最值問題(或幾何量取值范圍問題)是近幾年的高考熱點之一,據(jù)筆者觀察,該類問題以圓錐曲線知識模塊、函數(shù)與導數(shù)知識模塊、不等式知識模塊等為背景,求解思路來源于書本但遠超出書本,能力立意突出,具有很高的研究價值。2019年高考數(shù)學浙江卷第21題(第(ii)問,更準確地說)是典型的幾何最值問題,其內(nèi)容完整表述如下:

圖1 拋物線y2=2px,S△AFG,S△CQG位置關系示意圖

一、用不同的幾何變量求解問題(*)第(ii)問

(一)利用點G的橫坐標求幾何最值

經(jīng)計算,有

且

于是,當t∈(1,2)時,H′(t)>0;當t∈(2,+∞)時,H′(t)<0。由導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系[3,4]可知,H(t)在區(qū)間(1,2)上嚴格遞減,在區(qū)間(2,+∞)上嚴格遞增,且在點t=2處取得最小值。即當點G的坐標為(2,0)時,

(二)利用直線AB的斜率求幾何最值

令直線AB的斜率為t。經(jīng)計算,有

經(jīng)計算,有

與小節(jié)1.1一樣,可計算得出點G的坐標為(2,0)。

(三)利用點A的橫坐標求幾何最值

與小節(jié)1.1及1.2一樣,可計算得出點G的坐標為(2,0)。

注2 (a)小節(jié)1.3中的想法源自于官方參考答案,官方參考答案是利用均值不等式求出J(t)在區(qū)間(2,+∞)上的最小值:

(b)小節(jié)1.3中的想法的優(yōu)點是新引入的幾何變量(點A的橫坐標)與幾何變量S△AFG/S△CQG之間的函數(shù)關系式最簡潔,其缺點是,與小節(jié)1.2類似,都不是直接求出點G的坐標。

(c)小節(jié)1.1的想法直指問題本身,第(ii)問要求點G的坐標,那就引入點G的橫坐標作為自變量,在求得S△AFG/S△CQG的最小值的同時,直接求出的就是點G的坐標,小節(jié)1.1的想法在解答很多數(shù)學問題中有重要應用。

二、結語

本文分別以點G的橫坐標、直線AB的斜率、點A的橫坐標為自變量給出了問題(*)(即2019年高考數(shù)學浙江卷21題)第(ii)問的解答。除了前述三種引入新幾何量的方法,還可引入點B的橫坐標或縱坐標、點C的橫坐標或縱坐標、點Q的橫坐標、直線AC的斜率、直線BC的斜率、直線AG的斜率或直線CG的斜率等幾何量完成對第(ii)問的解答,基于這些想法的過程與本文的解答過程類似,故過程從略。本文的思路是以S△AFG/S△CQG作因變量,引進新的幾何量作為自變量,建立兩者之間的函數(shù)關系,利用函數(shù)的導數(shù)判斷此函數(shù)的單調(diào)性并進而求出其最值。該最值就是問題關注的幾何量的最值。本文用到的思路在幾何最值問題有廣泛應用性。從研究過程獲得的啟示是:(a)中學數(shù)學教學過程中,除重視對基礎概念、性質(zhì)、公式的教學之外,還要注重培養(yǎng)學生的數(shù)學能力;(b)大學數(shù)學類課程教學過程中,要注重加強大學階段的數(shù)學與中小學階段的數(shù)學的銜接。