“數(shù)學(xué)廣角”單元中內(nèi)容與思想方法的分析

宋迪

摘要：數(shù)學(xué)課程不僅僅以教會學(xué)生數(shù)學(xué)知識為目標(biāo)，更重要的是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本思想方法。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中單獨設(shè)置“數(shù)學(xué)廣角”單元，用以加強數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，這些內(nèi)容及數(shù)學(xué)思想方法將增加難度后在中學(xué)教科書中再次呈現(xiàn)，由此可見，在小學(xué)階段的“數(shù)學(xué)廣角”單元中有效滲透數(shù)學(xué)思想方法尤為重要，可為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，使學(xué)生對思想方法的學(xué)習(xí)與掌握得到漸進式的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)廣角 中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

中圖分類號：G623 ?文獻標(biāo)識碼：A ?文章編號：1009-5349（2020）11-0191-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在總體目標(biāo)中明確提出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能“獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗”[1]。課程總目標(biāo)從過去的“雙基”發(fā)展為“四基”，并把數(shù)學(xué)思想作為義務(wù)教育階段，尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一，強調(diào)數(shù)學(xué)思想的重要性，以及要重視思想方法的貫徹落實。其中所說的“數(shù)學(xué)的基本思想”主要指：數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想[2]。由這三種數(shù)學(xué)基本思想又可演變很多思想，比如數(shù)學(xué)抽象的思想演變出分類的思想、集合的思想、數(shù)形結(jié)合和符號的思想等;由數(shù)學(xué)推理的思想演變出歸納、演繹的思想、化歸和特殊與一般的思想等;由數(shù)學(xué)建模的思想演變出方程的思想、優(yōu)化和隨機的思想等。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中加強了數(shù)學(xué)思想方法的編排，一方面在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率領(lǐng)域中體現(xiàn)思想方法，另一方面單獨設(shè)置“數(shù)學(xué)廣角”單元作為滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要載體[3]?！皵?shù)學(xué)廣角”單元雖然內(nèi)容不多，但其與生活密切聯(lián)系，活動性和操作性較強，比較系統(tǒng)而有步驟地幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法[4]。由于“數(shù)學(xué)廣角”部分并不是教科書中的重點和主要內(nèi)容，也不是考試評價的內(nèi)容，導(dǎo)致大部分教師和學(xué)生對這部分內(nèi)容的重視程度不高，認(rèn)為內(nèi)容難度大或者認(rèn)為沒有必要學(xué)習(xí)這部分的內(nèi)容，但是，正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在教材編寫建議中所明確指出的：“重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則”[1]。如果在小學(xué)階段忽視對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，那么進入中學(xué)階段后，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和掌握很難得到漸進式的發(fā)展。

一、“數(shù)學(xué)廣角”單元內(nèi)容與思想方法的分析

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書在二年級上冊至六年級下冊10本書的“總復(fù)習(xí)”之前都單獨設(shè)置了“數(shù)學(xué)廣角”單元，新增設(shè)此單元作為滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要載體。

1.內(nèi)容與生活實際密切相關(guān)

通過梳理整套教科書不難發(fā)現(xiàn)：每一冊中的“數(shù)學(xué)廣角”單元至少都滲透了兩種思想方法，其內(nèi)容和滲透的數(shù)學(xué)思想方法，如表1所示。比如“雞兔同籠”單元中滲透的思想方法有假設(shè)法、轉(zhuǎn)化和推理思想;“植樹問題”單元中滲透的思想方法有模型、一一對應(yīng)和轉(zhuǎn)化思想;“鴿巢問題”單元中滲透的思想方法有分類、推理、數(shù)形結(jié)合和模型思想。所涉及的內(nèi)容都與生活實際密切相關(guān)，比如四年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”中的“優(yōu)化”問題，教科書中的三個例題都是學(xué)生生活中會面對并要解決的實際問題，例題一是如何合理安排使客人能夠盡快喝上茶，使學(xué)生了解以“優(yōu)化思想”去解決問題;例題二是經(jīng)典的烙餅問題，引導(dǎo)學(xué)生探究烙出多張餅的省時策略;例題三是關(guān)于“田忌賽馬”的故事，通過經(jīng)典的故事幫助學(xué)生進一步理解掌握“優(yōu)化思想”。此外，其他冊的數(shù)學(xué)廣角單元也與學(xué)生的實際生活聯(lián)系密切，比如“推理”“雞兔同籠”“植樹問題”“找次品”，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)對于學(xué)生解決生活中的具體問題有很大的幫助，并能在一定程度上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

2.思想方法呈現(xiàn)螺旋上升

此外，這些思想方法的呈現(xiàn)是螺旋上升的，比如，“優(yōu)化思想”的學(xué)習(xí)主要安排在四年級下冊的“數(shù)學(xué)廣角”單元中，但也在二年級下冊的“推理”，以及五年級下冊的“找次品”單元中有所涉及;“數(shù)形結(jié)合思想”在六年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”單元中作為重點內(nèi)容進行學(xué)習(xí)，但在之前的單元中也有所滲透。除此之外，“搭配問題”出現(xiàn)在了兩冊書中。二年級上冊學(xué)習(xí)“搭配問題”時，例題是：“用1、2、3組成兩位數(shù)，每個兩位數(shù)的十位數(shù)和個位數(shù)不能一樣，能組成幾個兩位數(shù)？”學(xué)習(xí)的是一些簡單的排列和組合問題，引導(dǎo)學(xué)生了解發(fā)現(xiàn)最簡單實物的排列數(shù)和組合數(shù)并初步形成有序的概念，此單元中滲透了分類討論思想和窮舉法。在三年級下冊學(xué)習(xí)“搭配問題”時，例題難度上升為：“用0、1、3、5能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)？”在二年級上冊的基礎(chǔ)上又進一步學(xué)習(xí)稍微復(fù)雜一些的排列和組合問題，并在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生用圖形、符號及連線的方法解決搭配問題，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。由此可見，思想方法的滲透隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容難度的增加而逐漸滲透。

3.中學(xué)教科書中再次出現(xiàn)

“數(shù)學(xué)廣角”單元所涉及的內(nèi)容及思想方法不僅在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中出現(xiàn)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中也將會增加難度再次出現(xiàn)。在三年級下冊的“數(shù)學(xué)廣角”單元中，所學(xué)習(xí)的內(nèi)容是“集合”，學(xué)習(xí)目標(biāo)是“會借助直觀圖，并利用集合的思想方法來解決實際問題”，比如“借助集合圖，統(tǒng)計同學(xué)們參加兩項比賽的情況”，這里所說的“集合圖”和涉及的“重疊問題”，正是人教版高中數(shù)學(xué)必修1教科書中“集合”一章所要學(xué)習(xí)的“韋恩圖”和“交集”的內(nèi)容，并且例題“統(tǒng)計參加兩項比賽的情況”又一次出現(xiàn)在高中教科書中。由此可見，雖然小學(xué)教科書中沒有給出“集合”的具體定義，但是在一定程度上滲透了“集合”的思想方法，這將對中學(xué)階段的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用。無獨有偶，二年級上冊和三年級下冊所學(xué)習(xí)的“搭配問題”，學(xué)習(xí)目標(biāo)是“了解發(fā)現(xiàn)最簡單實物的排列數(shù)和組合數(shù)的基本思想和方法”，通過解決實際的排列、組合問題，讓學(xué)生體會排列問題與組合問題的區(qū)別，用到的方法有連線法、列表法，這正是人教版選修2—3“計數(shù)原理”中所要學(xué)習(xí)的“分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理”，雖然小學(xué)教科書中沒有給出“排列、組合”的定義和解題原理，但是滲透了“排列有先后順序，而組合無先后順序”的思想，為高中的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ)。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的一種思想，“數(shù)與形”在六年級上冊作為單獨的一單元進行學(xué)習(xí)，可見，在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)中滲透數(shù)形結(jié)合思想是非常有必要的，可為學(xué)生后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定一定的基礎(chǔ)。

二、教學(xué)建議

從上面的分析可以看出，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中“數(shù)學(xué)廣角”單元滲透了較多的數(shù)學(xué)思想方法，且對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用，因此，對教師的教學(xué)提出了更高的要求。

作為小學(xué)教師，不能只將傳授給學(xué)生基礎(chǔ)知識、培養(yǎng)學(xué)生的計算能力作為教學(xué)的唯一目標(biāo)，更要在教學(xué)過程中有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，使中學(xué)與小學(xué)的學(xué)習(xí)更好地銜接，為學(xué)生后期的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。備課時教師要認(rèn)真研讀教材，吃透教材，將目光放長遠，充分挖掘和理解教材中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，弄清每種數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵，再思考如何在教學(xué)中有效地滲透這些學(xué)生較難理解的數(shù)學(xué)思想方法[6]。例如，教師在講授“搭配問題”單元時，通過生活中的具體問題引導(dǎo)學(xué)生體會排列有順序、組合無順序的思想，并區(qū)別兩者的不同之處，在此基礎(chǔ)上，可適當(dāng)?shù)剡M行思維提升，讓學(xué)生了解“搭配原理”;在講授“集合”單元時，通過實際問題，根據(jù)學(xué)生的情況適當(dāng)?shù)貪B透“交集、并集以及全集”的定義，進一步引導(dǎo)學(xué)生了解集合的思想方法。

作為中學(xué)教師，在講授中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容時，不能忽視學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容，可以將回顧小學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”中的問題作為導(dǎo)入新知識的方法。比如在八年級上冊學(xué)習(xí)“求多邊形的對角線”內(nèi)容時就可以復(fù)習(xí)小學(xué)階段學(xué)習(xí)的搭配問題為切入點，通過生活中的實際問題，設(shè)置相關(guān)情境，引導(dǎo)學(xué)生自己歸納總結(jié)出多邊形對角線個數(shù)的規(guī)律及公式。在高中階段講解“集合”一章時，可不直接給出相關(guān)的定義，先用小學(xué)階段學(xué)習(xí)的方法解決實際的問題，再引導(dǎo)學(xué)生以自學(xué)或者小組討論的形式學(xué)習(xí)新的概念和方法。這樣，教師不僅在教學(xué)過程中引入了適當(dāng)?shù)那榫骋龑?dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)難懂的定義定理，而且將課堂還給了學(xué)生，讓學(xué)生自己總結(jié)公式，并且使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的重要性。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是一個長期的過程，小學(xué)階段作為學(xué)生時代最重要的時期，教師不能僅僅將目光放在學(xué)生的分?jǐn)?shù)上，更應(yīng)該重視學(xué)生思想方法的學(xué)習(xí)[5]。由于“數(shù)學(xué)廣角”部分內(nèi)容新穎，教師在教學(xué)過程中必然面臨著很大的挑戰(zhàn)，需在備課的過程中多花時間，深入研讀教材，提高思想方法滲透的自覺性，把握滲透的可行性，注重滲透的反復(fù)性，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到切實、有效的發(fā)展。教師要進一步更新觀念，加強學(xué)習(xí)，促進自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷提升，進而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，真正實現(xiàn)素質(zhì)教育。

參考文獻：

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[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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責(zé)任編輯：張蕊