以“植樹問題”為例探討如何在數(shù)學(xué)廣角教學(xué)中有效滲透數(shù)學(xué)思想方法

摘要：植樹問題一直以來都是小學(xué)數(shù)學(xué)中的經(jīng)典章節(jié)，該問題不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)邏輯思維，同時(shí)還能夠?qū)?shù)學(xué)問題和生活問題有機(jī)結(jié)合拓展學(xué)生的生活視野。但是在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，很多教師并沒有掌握科學(xué)合理的教學(xué)方式，因此很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中存在很多的問題，下面將結(jié)合筆者個(gè)人的思考做出相關(guān)闡述。

關(guān)鍵詞：植樹問題;教學(xué)思想;方法探究

一、 引言

在小學(xué)階段，很多學(xué)校的數(shù)學(xué)教師在教授數(shù)學(xué)的過程中并沒有培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維能力，大部分的教師常常只是在課堂上完成書本中的任務(wù)并沒有對(duì)比較經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行引申和拓展。其實(shí)生活中的一些基本問題蘊(yùn)涵著非常豐富的數(shù)學(xué)哲理，因此下文希望能夠通過植樹問題對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的拓展進(jìn)行介紹。

二、 植樹問題中的數(shù)學(xué)分析

（一）植樹問題的定義

生活中在植樹過程中常常需要先挖坑然后每隔一段距離栽培樹苗，在數(shù)學(xué)問題中樹木的坑位以及各個(gè)樹苗之間的距離是兩個(gè)比較重要的變量，該問題中最為重量的部分就是研究坑位和間距之間的關(guān)系，在小學(xué)數(shù)學(xué)中常常分為三種不同的情況，第一種，兩端都不栽樹苗，第二種，兩端都栽，第三種，兩端之間只有一端種樹。在上述的種種栽培方式中，坑數(shù)與間隔數(shù)的影響關(guān)系并不在于間距的大小，但是如果能夠同時(shí)知道平均間距以及總長度能夠求到間隔數(shù)。

（二）植樹問題所蘊(yùn)含的思想方法

植樹問題雖然只是一個(gè)生活問題，但是內(nèi)部涉及大量的數(shù)學(xué)思想，例如抽象思考、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想等多種方式，如何在學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的思維模式，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)方式來解決生活中的問題是目前廣大教師需要思考的主要工作。另外植樹問題雖然比較簡單，但是內(nèi)部含有比較深刻的數(shù)學(xué)思維，如何將這種思維模式的轉(zhuǎn)換完美展示給學(xué)生也是一種非常困難的工作，不僅要求教師需要具備扎實(shí)的專業(yè)基礎(chǔ)，同時(shí)還需要能夠具有良好的語言表達(dá)素養(yǎng)，當(dāng)前很多教師往往無法平衡二者之間的關(guān)系。

（三）植樹問題之后的衍生問題

一般種樹都是直線栽培，但是植樹問題的進(jìn)一步延伸能夠轉(zhuǎn)向環(huán)形以及方陣問題，同時(shí)植樹問題還可以轉(zhuǎn)換為路燈、爬樓梯、擺花盆等其他類型的問題，教師需要在教學(xué)活動(dòng)中盡量搜集更多的衍生問題并且將其歸類匯總，讓學(xué)生在縱橫問題的對(duì)比中思考問題的本質(zhì)，加深對(duì)于知識(shí)的理解。

三、 植樹問題所蘊(yùn)含的思想方法

在人教版五年級(jí)的數(shù)學(xué)課本中有一個(gè)“數(shù)學(xué)廣角”的專題，該專題主要在于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)方法，增加獨(dú)立自主解決生活問題的能力，拓展數(shù)學(xué)思維能力。因?yàn)橄旅婀P者將以植樹問題為基本導(dǎo)向，對(duì)于內(nèi)部蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析。

（一）數(shù)形結(jié)合思想

為了能夠?qū)?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換為更有故事性的問題吸引學(xué)生的注意力，可以將教學(xué)情境改為：一只可愛的小狐貍想在房屋的前面種植一排蔬菜，請(qǐng)可愛的同學(xué)們幫幫忙，學(xué)生在這樣的問題面前往往會(huì)表現(xiàn)出比較強(qiáng)烈的好奇心，結(jié)合樹上的圖形，他們將一條線段模擬為一個(gè)排，一個(gè)粉筆表示一個(gè)坑，將問題轉(zhuǎn)換為在一條線上畫坑，通過這樣的方式能夠?qū)嫔系膯栴}和生活實(shí)際聯(lián)系起來，強(qiáng)化學(xué)生的動(dòng)手能力。

（二）分類討論思想

在線段上面畫圖挖坑，為了能夠減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，教師可以相應(yīng)更改坑數(shù)，當(dāng)然如果學(xué)生具有足夠的簡化能力，老師可以不加以限制。完成圖形繪制之后學(xué)生分組討論，探討線段上面的不同搭配方式，經(jīng)過激烈的對(duì)比討論和分析，學(xué)生對(duì)一端栽種，兩端栽種，兩端都不栽種三個(gè)問題進(jìn)行討論，在批改的過程中最好能夠結(jié)合圖形將問題簡化。

（三）歸納思想

歸納法的起點(diǎn)應(yīng)該從簡單的數(shù)學(xué)案例開始，因此從原則上最好能夠從一端栽種的情況討論，但是不同的學(xué)生素質(zhì)不同，教師應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行選擇教學(xué)。數(shù)學(xué)老師從最初的一個(gè)坑到最后的多個(gè)坑，一邊畫圖形一邊數(shù)清坑的數(shù)量，逐漸歸納出二者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

例題：園林工人需要在長度為1000m的公園小路旁邊種樹，每隔十米種植一棵樹，則需要種植多少棵。

該問題的核心思想在于如何將比較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換為已有的知識(shí)進(jìn)行解決，教師此時(shí)可以重新帶領(lǐng)學(xué)生先回顧原先的“30m”問題，在引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)樹苗之間的距離關(guān)系之后再去轉(zhuǎn)換為更為復(fù)雜的“1000m”問題，通過難易問題的轉(zhuǎn)換能夠幫助學(xué)生更好地理解化歸的核心思想。

（四）模型方法

正如上文所述，學(xué)生在找到第一種栽種方式的數(shù)量關(guān)系之后，需要利用自己的語言構(gòu)建一定的數(shù)學(xué)模型來表達(dá)這樣的關(guān)系。例如在兩端都不栽種的問題上，從圖形上面可以直接看出端點(diǎn)位置少一個(gè)坑不會(huì)影響間隔數(shù)的數(shù)量，等式可以表達(dá)為坑數(shù)=間隔數(shù)+1。以此可以類推出其他的數(shù)據(jù)關(guān)系，這種建立模型的主要目的在于希望學(xué)生能夠根據(jù)自身的推理建模，進(jìn)一步整理三種數(shù)學(xué)問題的解決思路。

（五）化歸方法

教師可以直接先將問題的答案?jìng)鬟f給學(xué)生，反過來讓他們求坑數(shù)，觀察他們是否能夠根據(jù)種植方式的不同來解決問題，這種反過來求導(dǎo)的方式能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于問題的理解，然后在這樣的基礎(chǔ)問題之上，教師再轉(zhuǎn)移到其他生活問題的求解上，嘗試引導(dǎo)他們?nèi)ソ儆谧陨淼臄?shù)學(xué)模型，找到化歸方法的精髓所在，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題。

四、 關(guān)于植樹問題所帶來的教學(xué)建議

（一）構(gòu)建思維導(dǎo)圖

思維導(dǎo)圖一直以來都是一種非?？茖W(xué)有效的圖形整理方式，和傳統(tǒng)線性的記錄方法不同，思維導(dǎo)圖以圖形的方式將各個(gè)概念之間建立邏輯關(guān)系，模擬思維網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行記憶。學(xué)生在課上繪制思維導(dǎo)圖，然后課后將課堂上面的知識(shí)，探索發(fā)現(xiàn)的規(guī)律全部記錄到上面，同時(shí)教師也可以隨時(shí)檢查學(xué)生的思維導(dǎo)圖，找到學(xué)生學(xué)習(xí)過程中存在的漏洞并且加以補(bǔ)充說明。

（二）減少思維誤區(qū)限制

因?yàn)閷W(xué)生之間存在智力方面的差異，對(duì)于同樣的知識(shí)往往需要不同的時(shí)間進(jìn)行吸收，教師需要針對(duì)這樣的情況制定不同的教學(xué)目標(biāo)，可以從最簡單的問題入手，然后一步一步開始拓展，根據(jù)學(xué)生之間思維層次的不同逐漸升級(jí)。例如，對(duì)于接受能力比較強(qiáng)的學(xué)生可以給他們?cè)谡n后額外布置一些難度更大的問題。

（三）提高自身教學(xué)能力

在數(shù)學(xué)廣角中存在的數(shù)學(xué)問題可能對(duì)于部分?jǐn)?shù)學(xué)教師來說也是從來沒有遇到的，他們雖然有能力解釋出來，但是因?yàn)闆]有充足的準(zhǔn)備，無法將內(nèi)部的數(shù)學(xué)思維向?qū)W生解釋?；蛘呷绻處煴旧砟芰Σ粔?，無法將這些問題轉(zhuǎn)移到更深的領(lǐng)域中，在教學(xué)的過程中將會(huì)出現(xiàn)更為嚴(yán)峻的問題。當(dāng)前教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的內(nèi)容以及形式比較單一，因此需要廣大的數(shù)學(xué)教師應(yīng)用更多種形式的教學(xué)方式來豐富學(xué)生的思想，同時(shí)有關(guān)教師應(yīng)該不斷在教學(xué)活動(dòng)中豐富自身的能力。

五、 在教學(xué)活動(dòng)中存在的問題以及解決措施

首先，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中最為重要的任務(wù)就是探索，但是因?yàn)檎n堂時(shí)間有限，學(xué)生很難對(duì)于某一個(gè)問題進(jìn)行深度分析，因此自主解決問題的能力一直都是處于低級(jí)階段，對(duì)于部分學(xué)生而言，因?yàn)樾枰刻烀鎸?duì)海量的數(shù)據(jù)信息，需要進(jìn)行畫圖并且構(gòu)建相應(yīng)的模型，但是因?yàn)闀r(shí)間方面的限制無法在短時(shí)間內(nèi)構(gòu)建科學(xué)合理的數(shù)學(xué)模型，如果無法自己直接解決這樣的問題將會(huì)出現(xiàn)畏難的心理。為了能夠解決這樣的問題，需要適當(dāng)改良課本上面的習(xí)題，然后用簡單的數(shù)據(jù)讓學(xué)生在充裕的時(shí)間內(nèi)完成樹坑和間隔數(shù)的探究對(duì)比，并且找到相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)。

其次，在內(nèi)容的安排方面，一個(gè)課時(shí)，教師只能夠給學(xué)生介紹某一個(gè)教材的案例，并且對(duì)其進(jìn)行深度分析，對(duì)于其他的方法需要用另外的時(shí)間來解釋，這種割裂的教學(xué)方式無法一起將三種方法共同引入學(xué)生的視野中，學(xué)生容易失去學(xué)習(xí)知識(shí)的最佳時(shí)機(jī)?？赡軙?huì)在短時(shí)間內(nèi)掌握一種思考的方法，但是無法全面來分析這個(gè)問題。

最后，數(shù)學(xué)方法的理解以及領(lǐng)悟往往是循序漸進(jìn)的，如果教師本身沒有形成良好的教學(xué)習(xí)慣，對(duì)于方法原理沒有正確的認(rèn)識(shí)，往往會(huì)誤解編寫者編寫課本的初衷。例如在介紹環(huán)形植樹、擺花盆等問題方面學(xué)生無法利用已有的知識(shí)進(jìn)行思維上的發(fā)散。因此，筆者希望教師在幫助學(xué)生完成植樹模型之后，能夠進(jìn)一步和學(xué)生對(duì)于該問題進(jìn)行深度討論。

六、 認(rèn)識(shí)樹與樹之間的間隔關(guān)系

在植樹問題中比較重要的案例是“兩端都種”，而理解內(nèi)部的運(yùn)行原理需要教師幫助學(xué)生首先了解樹與樹之間的間隔關(guān)系，這是解決植樹問題的根本所在。在介紹“間隔”概念之前可以設(shè)計(jì)一個(gè)教學(xué)方案：教師問：同學(xué)們將手指伸出來，能夠發(fā)現(xiàn)什么。有的學(xué)生可能會(huì)回答：我們一個(gè)手有五個(gè)手指，四個(gè)空隙。教師接下來會(huì)補(bǔ)充：五個(gè)手指有四個(gè)空，那么四個(gè)手指有多少個(gè)呢？

在了解完這個(gè)問題之后，數(shù)學(xué)老師可以將問題轉(zhuǎn)換為“對(duì)應(yīng)”，教師先請(qǐng)6位同學(xué)排列成一排，有的學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)此時(shí)間隔數(shù)量永遠(yuǎn)比人少一個(gè)，如果按照這樣的規(guī)律來判斷，那么人數(shù)和間隔數(shù)之間始終都是存在一定數(shù)量關(guān)系的。此時(shí)在明白這個(gè)問題之后，數(shù)學(xué)教師將問題進(jìn)行延伸，通過這樣的關(guān)系能否發(fā)現(xiàn)其他的規(guī)律。

在平常的教學(xué)活動(dòng)中，常常會(huì)以25m作為種樹的全部長度，我們假設(shè)在這樣的范圍內(nèi)種樹，每一個(gè)樹的距離為5m，兩端全部都要種樹，則問題為需要種多少棵樹苗。將問題拋出之后，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生找到幾個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，在適當(dāng)?shù)那闆r下可以給予提示，例如在黑板上引導(dǎo)他們將實(shí)際生活問題轉(zhuǎn)換為點(diǎn)、線、面的數(shù)學(xué)圖形問題，通過比較直觀的圖形來解決數(shù)學(xué)問題。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓部分，教科書中的數(shù)學(xué)思維只是冰山一角，學(xué)生要想培養(yǎng)更為深刻的數(shù)學(xué)思維，僅僅學(xué)習(xí)書本中的知識(shí)還是不夠的，需要在數(shù)學(xué)教師的引導(dǎo)下去不斷學(xué)習(xí)課外的知識(shí)才能夠形成全面系統(tǒng)的邏輯思維習(xí)慣，因此，希望能夠通過上文的論述給更多的教師帶來教學(xué)上的幫助。

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作者簡介：

張艷，福建省福州市，福建省福州市交通路小學(xué)。