對(duì)《植樹(shù)問(wèn)題》基本數(shù)學(xué)模型的研究

應(yīng)方園

摘 要：在實(shí)踐中，眾多教師對(duì)“植樹(shù)問(wèn)題”感到難教，多數(shù)學(xué)生感覺(jué)難學(xué)。主要問(wèn)題有：學(xué)生對(duì)三種情況的理解不深刻，尤其是對(duì)什么相當(dāng)于“點(diǎn)”、什么相當(dāng)于“段”弄不清楚。學(xué)生不能根據(jù)植樹(shù)中的間隔情況對(duì)應(yīng)解決生活中其他的間隔問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：植樹(shù)問(wèn)題；間隔排列；自主探究

一、我們的實(shí)踐

第一課時(shí)：用直觀(guān)圖理解“間隔排列”，學(xué)會(huì)用一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)分析兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系。

1.通過(guò)重復(fù)畫(huà)三角形和圓形，讓學(xué)生理解像一個(gè)三角形隔著一個(gè)圓形的排列就叫做間隔排列。

2.用情境圖進(jìn)一步鞏固“間隔排列和一一對(duì)應(yīng)分析方法”，感悟出：首尾相同，兩種物體數(shù)量相差1；首尾不同，兩種物體數(shù)量相等。

第二課時(shí)：研究具體的植樹(shù)問(wèn)題，得出棵數(shù)與間隔數(shù)是“間隔排列”的，并能用“一一對(duì)應(yīng)”的方法分析它們之間的數(shù)量關(guān)系。

提供一道“數(shù)字較小”的開(kāi)放題：例1：學(xué)校計(jì)劃在一條長(zhǎng)20米小路的一邊種樹(shù)，如果每隔5米種一棵樹(shù)，需幾棵樹(shù)呢？通過(guò)讓學(xué)生畫(huà)圖，提供直觀(guān)的研究素材，并提示思考方向，重點(diǎn)溝通“三種類(lèi)型”的聯(lián)系。

二、怎一個(gè)難字了得

《植樹(shù)問(wèn)題》是一個(gè)經(jīng)典的問(wèn)題。在實(shí)踐中，眾多教師感到“植樹(shù)問(wèn)題”難教，多數(shù)學(xué)生感覺(jué)難學(xué)。這是什么原因呢？

老師難教在哪里？

1.“學(xué)生一做作業(yè)就悶了！”

2.“植樹(shù)問(wèn)題到底要教什么？”

學(xué)生難學(xué)在哪里？

1.學(xué)生對(duì)三種情況的理解不深刻，對(duì)于其他間隔問(wèn)題不能進(jìn)行數(shù)學(xué)化的抽象，尤其是對(duì)什么相當(dāng)于“點(diǎn)”、什么相當(dāng)于“段”弄不清楚。

2.學(xué)生不能根據(jù)植樹(shù)中的間隔情況對(duì)應(yīng)解決生活中其他的間隔問(wèn)題。對(duì)于什么時(shí)候加1？什么時(shí)候減1？什么時(shí)候既不加又不減混淆不清。

3.學(xué)生只會(huì)機(jī)械使用三種方法進(jìn)行計(jì)算，多數(shù)學(xué)生并不會(huì)數(shù)學(xué)分析，而是靠死板記憶，機(jī)械模仿。

三、我們上下而求索

1.版本A：用一一對(duì)應(yīng)思想解決植樹(shù)問(wèn)題

環(huán)節(jié)一：自主探究

提供一道“數(shù)字較小”的開(kāi)放題：元旦快到了，大家一起裝扮教室，在一條長(zhǎng)20分米的黑板邊上，掛著燈籠和彩帶，每5分米長(zhǎng)的彩帶掛1個(gè)燈籠。可以?huà)鞄讉€(gè)燈籠？

（1）讓學(xué)生畫(huà)圖，再列式計(jì)算，反饋：你是怎么掛的？明確什么和什么東西是一一間隔排列？是怎么排列的？再說(shuō)說(shuō)每個(gè)算式表示的含義。

（2）引導(dǎo)溝通三種掛法之間的聯(lián)系。①這幾種類(lèi)型又有什么相同的地方？發(fā)現(xiàn)段數(shù)相同，可用“總長(zhǎng)÷每段彩帶長(zhǎng)度=彩帶段數(shù)”計(jì)算出段數(shù)。②這幾種方法有什么不同的地方呢？讓學(xué)生明白：掛的方法不同，兩端都掛，首尾都是燈籠、燈籠比彩帶多1。兩端都不掛，首尾都是彩帶，彩帶比燈籠多1。首尾不同，數(shù)量相等。

環(huán)節(jié)二：溝通本質(zhì)

思考：生活中還有哪些是一一間隔現(xiàn)象，什么可以看作樹(shù)，什么看作段？

環(huán)節(jié)三：應(yīng)用拓展

圍繞一組關(guān)于體驗(yàn)高鐵時(shí)代的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生思考三個(gè)問(wèn)題：這些問(wèn)題都有什么聯(lián)系？意在讓學(xué)生明白不管是車(chē)廂長(zhǎng)度問(wèn)題還是電線(xiàn)桿、時(shí)間問(wèn)題都有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)-間隔排列。

2.版本B：用除法運(yùn)算解決植樹(shù)問(wèn)題

環(huán)節(jié)一：除法運(yùn)算引入

出示題1：“20米，每5米分一段，共分幾段？”

孩子一下就列出了算式：20÷5=4（段）。

師：“為什么用除法來(lái)做？”

幫助他們復(fù)習(xí)用除法算式的最根本意義是平均分。

環(huán)節(jié)二：制造認(rèn)知沖突

出示題2：“20米路，每5米栽一棵樹(shù)，共栽幾棵樹(shù)？”

大部分孩子的方法是20÷5=4（棵），只有一小部分孩子有不同的想法，認(rèn)為還要再加1，是5棵，因?yàn)樵?米時(shí)要種一棵。

環(huán)節(jié)三：聚焦問(wèn)題本質(zhì)

追問(wèn)：“這兩題一樣嗎？不一樣在哪里？”

學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考，區(qū)分出平均分是一段一段分，而種樹(shù)是種在段與段之間兩端的點(diǎn)上。

追問(wèn)：“點(diǎn)與段的差別在哪里？”“點(diǎn)多，還是段多？”“怎么多法？”

為了幫助學(xué)生理解這兩道題不同之處的實(shí)質(zhì)就必須抓住點(diǎn)與段的區(qū)別，學(xué)生只要弄清楚這兩個(gè)概念，那么就清楚了植樹(shù)問(wèn)題是一個(gè)怎樣的問(wèn)題。學(xué)生在老師的啟發(fā)下，學(xué)生漸漸明白：棵（點(diǎn)）=1+平均分，植樹(shù)是植在點(diǎn)上的。

環(huán)節(jié)四：促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化

問(wèn)題1：如果把20米改成50米呢，改成100米，200米呢？你還能解決嗎？“不管換成多遠(yuǎn)，方法都是一樣的?！?/p>

問(wèn)題2：“除了植樹(shù)人把數(shù)種在點(diǎn)上，還有什么人把什么也放在平均分的點(diǎn)上？”

環(huán)節(jié)五：積極變式遷移

情境一：一頭不種。當(dāng)路的一端有一幢房子擋住了，五棵樹(shù)怎么種呢？教師與學(xué)生互動(dòng)，怎么去解決碰到的問(wèn)題，有學(xué)生說(shuō)種在旁邊，拆房子，不種。最后的結(jié)論是，帶回一棵樹(shù)，即一頭不種-1。

情境二：兩頭不種。當(dāng)路的兩端都有房子時(shí)，則帶回兩棵樹(shù)，即兩頭不種-2。

教師追問(wèn)：“除了種樹(shù)以外，什么情況下可以一頭不種，什么情況下可以?xún)深^不種？”通過(guò)再一次的舉例，引導(dǎo)學(xué)生知道學(xué)與用的區(qū)別，體會(huì)生活中像植樹(shù)問(wèn)題用在點(diǎn)上的例子很多，內(nèi)化什么是樹(shù)，樹(shù)是種在點(diǎn)上。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳正憲.聽(tīng)吳正憲老師上課[M].華東師范大學(xué)出版社，2008.

[2]伊麗莎白·布魯瑞克斯.好老師因材施教的12個(gè)方法[M].中國(guó)青年出版社，2010.

編輯 孫玲娟