談模型思想如何引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)

陳利漢

摘要：對于數(shù)學(xué)模型思想的共識是‘用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)課堂教學(xué)圍繞模型思想的價值引領(lǐng)開展教學(xué)活動，從而建立起數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活之間的橋梁。本文中指出數(shù)學(xué)建模的過程要有‘生活情景、回歸生本、留足空間等方法從而讓學(xué)生思維經(jīng)歷‘沖突、猜測、驗證、辯析、明確等過程，由此培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：植樹問題；模型思想；數(shù)學(xué)核心；小學(xué)數(shù)學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中明確提出了‘初步形成模型思想，并具體解釋為‘模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材分“數(shù)與代數(shù)”“圖型幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四大領(lǐng)域，這四大領(lǐng)域所涉及的算法、算理、概念、關(guān)系、定律等都蘊(yùn)含了建模的思想。這就是要求一線的數(shù)學(xué)老師在教學(xué)時充分運(yùn)用模型思想，并且還要利用知識建模的過程滲透應(yīng)用意識、學(xué)會用數(shù)學(xué)方法去分析問題、解決問題，并發(fā)展創(chuàng)新能力。根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》中的這些要求，我在設(shè)計《植樹問題》一課時，注重從現(xiàn)實生活中提取問題，帶領(lǐng)學(xué)生在真實、新奇、有趣、可操作的情景中進(jìn)入植樹研究的模式；讓學(xué)生在沖突、猜測、驗證、討論、匯報等環(huán)節(jié)中逐步完成知識的建模過程中，進(jìn)而使學(xué)生在理解知識的同時，數(shù)學(xué)思維、情感態(tài)度和價值觀方面都得到充分的發(fā)展。新教材將《植樹問題》從四年級移至五年級說明這部分內(nèi)容本身就有難度，而我認(rèn)為難度最大莫過于當(dāng)遇到生活中類似問題時，植樹的模型如何讓學(xué)生在腦海里有效的提取，因此在教學(xué)設(shè)計的練習(xí)環(huán)節(jié)上，在習(xí)題的選擇上教師既要注重來源于生活又要有植樹問題的典型性，促使學(xué)生思維跳出課堂，在現(xiàn)實生活中找到植樹問題的原型，

從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、應(yīng)用能力。

一、來源生活，創(chuàng)情景、促建模

1、貼近生活，創(chuàng)設(shè)情景?！稑?biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，有這樣一段話“課程內(nèi)容的選擇貼近學(xué)生的生活實際，有利于學(xué)生體驗與理解、思考與探索?！?。生活是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的源頭活水，課堂中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容既來源于生活，又要為生活服務(wù)；既要用生活中學(xué)生所熟悉的事例來吸引學(xué)生，又要有利于學(xué)生經(jīng)歷思考與探索；

在設(shè)計《植樹問題》這一課問題情景上，就是由以上理念為指導(dǎo)，并頗費(fèi)了一番心思?！爸矘鋯栴}”本身就與生活密切聯(lián)系，對于這部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)生有生活的經(jīng)驗，一定也會很感興趣，學(xué)習(xí)的熱情也會比較高漲，但是新教材把原本4年級學(xué)習(xí)的內(nèi)容提到了5年級學(xué)習(xí)，說明這部分內(nèi)容是有一定的深度的，再根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗，這部分內(nèi)容對于學(xué)生來說是不容易理解和掌握的，關(guān)鍵是學(xué)生對于植樹的模型難以運(yùn)用到生活實踐當(dāng)中。所以教師在教學(xué)設(shè)計時就要想方設(shè)法把植樹的原型在學(xué)生熟悉的生活情景中選取，再逐漸抽象出來，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊。由此，這一課在設(shè)計時教師根據(jù)學(xué)校門口正在修建一條新的馬路，而這條馬路又是學(xué)校師生進(jìn)出學(xué)校的唯一通道學(xué)生應(yīng)該非常熟悉，師就抓住這一有利因素設(shè)計問題情景：先拍攝相關(guān)的道路全景照片作為學(xué)習(xí)素材，再設(shè)計馬路工人要在馬路一邊植樹的問題情景‘南匯小學(xué)門口有一條全長300米的新路，工人叔叔準(zhǔn)備先在路的一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共需要多少棵樹苗？。

從課堂的教學(xué)效果來看，這種與學(xué)生生活緊密聯(lián)系的情景，真實、新奇、有趣又可操作性，正好滿足學(xué)生好奇的心理要求，可以激活學(xué)生頭腦中已有的生活經(jīng)驗。所以課堂一呈現(xiàn)，學(xué)生注意力馬上被吸引過來，學(xué)習(xí)的興趣高漲，對問題的解決個個都躍躍欲試。

2、回歸生活，懂得應(yīng)用。知識來源于生活，最后應(yīng)用上還要回到生活，去解決生活中的問題。課堂教學(xué)中，學(xué)生要研究的問題從生活而來，最終還要回到生活去解決實際的問題。所以在應(yīng)用環(huán)節(jié)，練習(xí)題的選擇也是圍繞‘解決現(xiàn)實生活中的問題為原則。

比如在學(xué)生建立了植樹的三種模型后，就要將所建立的植樹模型遷移應(yīng)用到生活，那么教師就思考生活中哪些情景既蘊(yùn)含植樹模型的特征、又貼近學(xué)生生活，讓學(xué)生有感同身受特別親切的。經(jīng)過多方比較，最終確定用學(xué)生乘公交車及車站作為練習(xí)題，讓學(xué)生感受生活中的植樹問題。事實證明，學(xué)生對于公交車站這樣的情景由于非常熟悉，所以在用植樹問題解決時，能展開充分的想象力將車站想象為一棵棵樹，將每兩個車站之是的距離，想象成兩棵樹之間的間距。將課堂上學(xué)到的植樹模型，進(jìn)一步拓展到生活，學(xué)以致用。

二、回歸生本，抓本質(zhì)、建模型

《標(biāo)準(zhǔn)》中指出‘建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想。所以數(shù)學(xué)建模的過程，也是學(xué)生抽象思維發(fā)展的過程。

學(xué)生是課堂的主體，教師只是參與者、引領(lǐng)者。在學(xué)生建模的過程中教師只用做好引領(lǐng)工作，在關(guān)鍵處進(jìn)行討論和思維的引導(dǎo)，從而促使學(xué)生順利的建模?！吨矘鋯栴}》一課課堂教學(xué)中的關(guān)鍵也是學(xué)生需要突破的重難點(diǎn)為：‘掌握間隔數(shù)與棵樹之間的規(guī)律，并同時讓學(xué)生的思維經(jīng)歷‘困惑-問題-操作-討論-明晰-掌握規(guī)律這樣的一個由困惑到明晰的過程；整個課堂知識的架構(gòu)不是由教師傳授而是學(xué)生自行探究所得。

由以上原因，所以在正式的課堂教學(xué)前，教師先設(shè)計了一道前測題，此題的目的既是檢測學(xué)生對植樹問題已有知識的掌握情況，所得出的結(jié)果又是作為課堂教學(xué)中學(xué)生討論交流的原始資料部分，是模型建立、思維明晰的重要一環(huán)。

從教學(xué)實際情況來看，學(xué)會出現(xiàn)以下兩種較典型的錯例：

以上兩種錯例正好是作為建立植樹問題模型的好材料，課堂教學(xué)中教師必須要善加利用。比如第一種情況，這位學(xué)生表示為栽6棵樹，為了引導(dǎo)學(xué)生去思考植樹問題中：間隔與路的總長度的關(guān)系，此刻教師將評價和分析的權(quán)利交由學(xué)生，放手讓學(xué)生討論：像這樣畫行不行？學(xué)生在討論中逐漸得出：間隔畫得太多了、像這樣一個間隔5米，那么5個間隔路的總長就變?yōu)?5米不符合題目的意思、間隔畫多了是因為棵數(shù)畫多了一棵、一個間隔的距離畫太小了等等。學(xué)生的思路在分析和討論中逐漸明晰：種6棵樹是不對的，因為路的總長度=每個間隔的長度×間隔數(shù)，這位學(xué)生把棵樹多畫了一棵；學(xué)生在思辨中建立起了路的總長度與間隔之間的關(guān)系，為建立植樹的模型打好的基礎(chǔ)。

第二個錯例除了經(jīng)歷類似以上：路的長度和間隔數(shù)之間關(guān)系的思辨外，課堂教學(xué)時更要深入思考：如果要增加一棵樹，那么增加的這一棵樹要種在哪里？這一個問題的討論是本課教學(xué)的核心所在，因為這一問題的價值在于：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識植樹問題的‘兩端都栽這一模型中，比間隔數(shù)還多出的一棵樹是栽在哪個位置，是建立‘兩端都栽這一植樹模型的核心問題。

由以上兩種錯例的引領(lǐng)，學(xué)生思維的激蕩，學(xué)生明白了路的總長等于間隔的長度、棵數(shù)和間隔數(shù)是一一對應(yīng)的，而最后一個間隔的另一端還可以栽一棵樹。學(xué)生對于植樹問題中‘兩端都栽這一模型就這樣以‘潤物細(xì)無聲的方式在以上的討論中已經(jīng)在腦海中深深建立。這種利用學(xué)生的典型錯例的引領(lǐng)，實現(xiàn)了課堂中學(xué)生學(xué)習(xí)的材料來源于學(xué)生，學(xué)生倍感親切；自然在討論和交流時學(xué)生思維投入得就非常充分，直指課堂中的本質(zhì)和要害，順利實現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維經(jīng)歷了一個由模糊到清晰的過程。由‘兩端都栽再引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識植樹中的另兩種模型‘只栽一端和‘兩端都不栽就非常自然，這樣植樹問題中的三種數(shù)學(xué)模型自然會是在學(xué)生腦海中形成深刻的數(shù)學(xué)架構(gòu)。

三、留足空間，會出模、去創(chuàng)新

1、創(chuàng)設(shè)空間，促進(jìn)思維發(fā)展。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，課堂需要有獨(dú)立的思考的氛圍，學(xué)生的思維有了獨(dú)自發(fā)散的時間和空間，才有創(chuàng)新的可能。比如：建立了三種植樹的模型后，師出示了一正一反兩道相關(guān)的植樹題：（1）南匯小學(xué)門口有一條全長300米的新路每隔5米栽一棵，我們準(zhǔn)備先在路一邊植樹兩端都栽（兩端都不栽）一共需要多少棵樹苗？這道題目是在學(xué)生建立植樹模型后首次償試去分析問題和解決問題，學(xué)生討論的重點(diǎn)為棵樹和間隔數(shù)之間的關(guān)系，從而實現(xiàn)對于植樹模型的初步內(nèi)化的過程。（2）園林工人沿公路一側(cè)植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵（兩端都栽）。從第1棵到最后一棵的距離有多遠(yuǎn)？變式的訓(xùn)練對于學(xué)生思維的發(fā)散性有更好的促進(jìn)作用。本道題目不再是求棵數(shù)，而是求路的長度即間隔的總長度，需要根據(jù)兩端都栽的情況下先求出間隔數(shù)，最后根據(jù)每個間隔的距離求出總長度。這種反向思考變式的訓(xùn)練可以將學(xué)生思維的觸角延伸到更廣闊的范圍，為接下來在現(xiàn)實生活中找植樹的模型做好準(zhǔn)備。

2、分層練習(xí)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。在當(dāng)前我國教育界一個普遍的共識是：我們的學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能方面是非常扎實的，但卻非常缺少：問題解決、獨(dú)立思考和創(chuàng)新精神；缺少發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。根據(jù)這一現(xiàn)狀，接下來有層次的設(shè)計了第三道題：第一層次：出示溫州市區(qū)公交地圖，問：從地圖中你可以發(fā)現(xiàn)什么？能不能找出與這節(jié)課有關(guān)的數(shù)學(xué)信息來？學(xué)生獨(dú)立思考能力、發(fā)現(xiàn)問題能力是一個人創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)，這些能力的培養(yǎng)都需要一定的情景和空間，盡管此時學(xué)生會有點(diǎn)茫然但長此以往自然就會形成思考的習(xí)慣。第二層次：標(biāo)注出其中5路公交車的行車路線，問：這是5路公交車的行車路線圖，從這里能找出與這節(jié)課有關(guān)的數(shù)學(xué)信息嗎？我們可以提出哪些問題？目標(biāo)縮小了，對象就更明確了，所以學(xué)生思路漸漸就有了，圍繞路的長度、車站數(shù)、兩個車站之間的距離等問題展開討論，逐漸的將植樹的模型與生活實際聯(lián)系起來。第三層次：出示5路公共汽車行駛路線全長22千米，相鄰兩站的距離是1千米。一共有幾個車站？在以上兩個層次的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)有了獨(dú)自的思考、問題意識和模型概念，解決起來也就順理成章。學(xué)生思維的發(fā)散有了點(diǎn)，更要有面上的鋪開，有了公交車的解決經(jīng)驗?zāi)敲聪乱徊綆熞髮W(xué)生想一想：生活中哪里還有像這樣的植樹問題？此時學(xué)生的思維像是開閘了的水庫，思緒一瀉千里，腦洞大開。

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個長期的過程，需要教師們不斷的追求和引領(lǐng)。課堂教學(xué)時充分利用數(shù)學(xué)建模思想去解決數(shù)學(xué)問題，可以培養(yǎng)學(xué)生多角度、多層次、多側(cè)面思考問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力是很有益的，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的一條有效途徑。同時數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用也是科學(xué)實踐，有利于實踐能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是實施素質(zhì)教育重要的數(shù)學(xué)思想。

參考文獻(xiàn)

[1] 邱廷建《理應(yīng)追求高效的數(shù)學(xué)課堂》[J]小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2014（7）：46.

[2] 曾秀真《指向執(zhí)教能力的模塊研修-小數(shù)學(xué)骨干教師培養(yǎng)的實踐與思考》南京大學(xué)出片社.

[3] 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》北京師范大學(xué)出版社.