基于數(shù)學史的探究性學習案例*
——“數(shù)系的擴充”教學設計

封志紅

(江蘇省泰興中學，225400)

一、教學目標

知識技能 (1)了解數(shù)系發(fā)展歷史和數(shù)集的擴展過程;(2) 理解復數(shù)的有關概念以及符號表示.

過程與方法 經(jīng)歷數(shù)系的擴充過程,體驗復數(shù)引入的必要,探究復數(shù)相等的概念,領悟類比的思想方法.

情感與態(tài)度 在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程,體會實際需求;由數(shù)系的擴充過程,感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.

二、教學重點和難點

重點 對引入復數(shù)的必要性的認識,理解復數(shù)的基本概念.

難點 虛數(shù)單位i的引入以及復數(shù)概念的生成.

三、教學流程與設計意圖

1. 設置情境,再現(xiàn)歷史

問題1 將10分成兩部分,使兩者的乘積為40.

設計意圖 一方面展示數(shù)學家卡當?shù)娘L采,激發(fā)學生的學習興趣;另一方面,引領學生重溫歷史,感悟數(shù)學發(fā)現(xiàn)并不神秘,數(shù)學家也是從常規(guī)問題入手的.

問題2 有沒有兩數(shù)之和為10且積為40呢?那為什么剛才的問題無解呢?

設計意圖 充分暴露數(shù)學家的思維過程.一方面讓學生體驗數(shù)學家的科研精神；另

一方面讓學生處于“憤悱”狀態(tài).

問題3 實數(shù)集中有沒有這樣的兩個數(shù)?

設計意圖 打破原有認知平衡,形成認知沖突,讓學生感受到原有的數(shù)已經(jīng)不夠用了,體現(xiàn)學習新知識的必要性.

2. 設計問題,追溯歷史

問題4 數(shù)集經(jīng)歷了哪幾次擴充?

設計意圖 學生已經(jīng)學習過自然數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)等.在此基礎上,幫助學生重新建構數(shù)集的擴充過程,即自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實數(shù)集.這是學生的“最近發(fā)展區(qū)”,也是本節(jié)課知識的生長點.

問題5 數(shù)集的每一次擴充分別解決了哪些問題?

計意意圖 學生通過小組合作交流、回憶、思考每次數(shù)集擴充的必要性,解決了哪些問題,即數(shù)集為什么要擴充?通過板書:

讓學生感受到這些數(shù)的產(chǎn)生不是從天而降,既是數(shù)學內部發(fā)展的需要,也是社會發(fā)展

的需要.

問題6 這幾次擴充有什么共同的特點?

設計意圖 一方面培養(yǎng)學生的觀察、概括與表達能力;另一方面通過對前幾次數(shù)集擴充的梳理,為數(shù)系的再一次擴充以及如何擴充打好堅實的基礎.讓學生感受到數(shù)系擴充的合理性,并能提煉出數(shù)系擴充的一般原則.由此,突破本節(jié)課的一個難點.

3. 借鑒歷史,生成理論

設計意圖 引領學生再現(xiàn)卡當問題,將問題轉化為找一個數(shù)的平方為-1,而且運用規(guī)范醒目的板書和留白藝術,給予學生充分思考問題的時間與空間,從而讓“引入新數(shù)”水到渠成.

T: 為什么用i呢?

i是“虛幻的”英文單詞imaginary的第一個字母.

T: 是誰引入了i呢?

卡當只是發(fā)現(xiàn)了這個矛盾,它的引入者是被稱為“分析的化身”的瑞士著名數(shù)學家歐拉,引入時間公元1777年.從十六世紀到十八世紀,歷史的車輪已經(jīng)行進了兩百多年,可見科學上每一步的邁出是多么的艱辛!而這一年又是與虛數(shù)單位i結下不解之緣的高斯誕辰之年.數(shù)學的歷史充滿了不少巧合.

設計意圖 教師通過自問自答,介紹與虛數(shù)單位i有關的歷史,激發(fā)學生興趣,強化對i的認識,并讓學生感受到科學上每一步的邁出是多么的艱辛!

問題7 引入i后,你能寫出卡當要找的數(shù)嗎?

問題8 你還能寫出其他含有i的數(shù)嗎?

設計意圖 學生利用新知解決卡當問題,通過舉例,加深對i的理解,為復數(shù)代數(shù)形式的建構奠定基礎.

問題9 你能寫出一個形式,把剛才所寫出來的數(shù)都包含在內嗎?

設計意圖 數(shù)學需要形式化、符號化.復數(shù)的代數(shù)形式正是這一體現(xiàn),也是本節(jié)課的重點與難點.筆者通過設計問題7、8的鋪墊,對問題9的提出,引導學生由特殊到一般,抽象概括出復數(shù)的代數(shù)形式,培養(yǎng)學生抽象概括能力.

問題10a+bi(a,b∈R)一定是虛數(shù)嗎？

設計意圖 引導學生自然而然地想到要對復數(shù)進行分類,從而深化對復數(shù)概念的理解,攻克本節(jié)課的重點.

4. 精選例題,學以致用

例1 請你說出下列集合之間的關系:N,Z,Q,R,C.

例2 寫出下列復數(shù)的實部與虛部,并指出哪些是實數(shù),哪些是虛數(shù),哪些是純虛數(shù).

例3 實數(shù)m取什么值時,復數(shù)z=m(m-1)+(m-1)i是

(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？

問題11 對于復數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)在什么情況下相等呢?

例4 已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求實數(shù)x,y的值.

設計意圖 例1主要是前后呼應,采用概念同化的方式完善認知結構;例2、例3主要是鞏固復數(shù)的分類標準;例題4主要是強化復數(shù)相等的充要條件，讓學生在解決問題的過程中內化復數(shù)有關概念,起到及時反饋、學以致用的功效.

5. 反思總結,提煉收獲

T:回顧本節(jié)課,你有哪些收獲呢?

回顧本節(jié)課,i的引入者是歐拉,問題的提出者是卡當.卡當雖然沒有解決問題,但他依然是大數(shù)學家,因為,發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要.哈爾莫斯說,問題是數(shù)學的心臟.

會不會還有復數(shù)以外的數(shù)呢?數(shù)學是無窮的科學,正如這無邊無際的海洋.我們就是這一葉扁舟,在知識的海洋探索永無止境,正如屈原所說“路漫漫其修遠兮,吾將上下而求索.”以此和大家共勉.

(投影:問題是數(shù)學的心臟.數(shù)學是無窮的科學.路漫漫其修遠兮,吾將上下而求索.)

設計意圖 通過學生總結、教師提煉,深化內容,讓學生體會數(shù)系擴充過程中蘊含的創(chuàng)新精神和實踐能力,感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.最后,以三句名言作為結束語,期望與學生產(chǎn)生共鳴.