高中函數(shù)恒成立問(wèn)題的解題策略

俞安琪

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225002)

函數(shù)恒成立問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)解題中較難的部分,它不但涉及到各類函數(shù)的圖象和性質(zhì),而且和導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識(shí)相聯(lián)系,涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多,所以也是歷年高考中的一個(gè)熱點(diǎn)．本文擬結(jié)合近幾年各地高考及模擬題,給出解決高中函數(shù)恒成立問(wèn)題的常見(jiàn)方法和解題策略．

一、利用函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)恒成立問(wèn)題往往與函數(shù)的最值有關(guān).例如，若f(x)>0恒成立,等價(jià)于f(x)min>0;若f(x)<0恒成立,等價(jià)于f(x)max<0．而函數(shù)的最大值和最小值的尋找,主要借助以下兩種方法:一是直接利用函數(shù)的性質(zhì)(即函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性);二是根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù),并結(jié)合基本不等式解決問(wèn)題．

解析 由題意可知,f(-x)=-f(x),所以f(x)為R上的奇函數(shù),所以f(a-1)+f(2a2)≤0等價(jià)于f(2a2)≤f(1-a).

評(píng)析 在本題中,我們利用函數(shù)的奇偶性,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(2a2)≤f(1-a),再根據(jù)該函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為不等式來(lái)解決．

例2 已知f(x)=ax-ex(a>0),當(dāng)1≤a≤e+1時(shí),求證:f(x)≤x.

解析 要證f(x)≤x.,即證x-f(x)≥0.構(gòu)造函數(shù)g(a)=x-f(x)=-ax+x+ex,就只要證明g(a)≥0在1≤a≤e+1上恒成立.當(dāng)a=1時(shí),g(1)=-x+x+ex>0;當(dāng)a=1+e時(shí),g(1+e)=ex-ex，構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-ex,則h′(x)=ex-e,當(dāng)x<1時(shí),h′(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),h′(x)>0,所以h(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)≥h(1)=e-e=0,即g(1+e)≥0.

綜上可知g(a)≥0在1≤a≤e+1上恒成立,當(dāng)1≤a≤e+1時(shí),f(x)≤x.

評(píng)析 該題利用構(gòu)造函數(shù)的方法,將形如f(x)≤g(x)的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為f(x)-g(x)≤0恒成立的形式,構(gòu)造成一個(gè)新函數(shù),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問(wèn)題.由于形式多樣,所以在我們具體解答過(guò)程中要注意靈活多變．

在解題中,如果我們碰到一個(gè)函數(shù)的恒成立問(wèn)題時(shí),并且在題目中僅僅提供了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，并沒(méi)有提供函數(shù)的解析式，這個(gè)時(shí)候我們應(yīng)該考查利用函數(shù)性質(zhì)解決．

二、分離參數(shù)法

利用分離參數(shù)法來(lái)解決形如f(x,λ)>0的恒成立問(wèn)題(其中λ為是參數(shù)),求參數(shù)λ的取值范圍．我們通常采用以下幾個(gè)步驟:第一步，將原函數(shù)中的參數(shù)和變量進(jìn)行分離，即將原來(lái)的函數(shù)恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(λ)>f(x)或者g(λ)f(x)max或者g(λ)

但在使用這個(gè)方法時(shí),我們也需要注意以下幾點(diǎn):一是參數(shù)是可以并且是比較容易與變量分離的;二是分離出來(lái)的函數(shù)的最大值或者最小值是可以比較容易算出來(lái)的．

評(píng)析 分離參數(shù)法是解決恒成立問(wèn)題的一種重要方法,分離參數(shù)后,可以通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)f(x).若參數(shù)a≤f(x),則a要小于等于f(x)的最小值;若a≥f(x),那么a要大于等于f(x)的最大值,并且在此類的求解過(guò)程中,大多都要應(yīng)用基本不等式.

大多數(shù)函數(shù)恒成立問(wèn)題都會(huì)使用到分離參數(shù)法．根據(jù)題意列出恒成立的式子并仔細(xì)觀察,若將要求的參數(shù)放到不等式或者等式的一邊,另一邊的關(guān)系式可以根據(jù)題目條件判斷其單調(diào)性,我們便可以采取該種方法．

三、數(shù)形結(jié)合法

(1)基本思想

如果把等式或者是不等式,經(jīng)過(guò)合理變形后,能夠很容易地將等號(hào)或者不等號(hào)兩邊的函數(shù)圖象畫(huà)出來(lái),則可以通過(guò)作圖來(lái)直接判斷結(jié)果．所以這種方法在我們做選擇題或者填空題的時(shí)候就會(huì)顯得尤其簡(jiǎn)便．在使用該方法的時(shí)候,我們需注意:

一是變形要合理．對(duì)于恒成立的式子,我們需要進(jìn)行的是合理變形,而不是為了湊能夠作出的圖象而進(jìn)行不正確的變形．

二是變形后的式子能較容易作出圖象．變形后的式子一般都會(huì)符合基本函數(shù)的形式,也就是我們能直接繪制出函數(shù)圖象,如果進(jìn)行一階求導(dǎo)后仍較為困難,則可以改變思路．

(2)例題解析

例4 若函數(shù)f(x)=2ex-nx+15>0在實(shí)數(shù)集R上恒成立,則正整數(shù)n的最大值是______.

解析 題設(shè)等價(jià)于y=2ex的圖象恒在y=nx-15的上方.分別作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象(如圖1),觀察可知:當(dāng)y=nx-15與y=2ex相切時(shí),此時(shí)n是最大的.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,2ex0),因?yàn)閥'=2ex,所以n=2ex0，切線方程為

y-2ex0=2ex0(x-x0).

又因?yàn)閥=nx-15恒過(guò)點(diǎn)(0,-15),

將此點(diǎn)代入切線方程可得:2ex0(x0-1)-15=0,設(shè)g(x0)=2ex0(x0-1)-15在(1,+∞)上遞增又因?yàn)間(2)<0,g(3)>0,所以x0∈(2,3),所以n=2ex0∈(2e2,2e3)，又因?yàn)閥=2ex的圖象恒在y=nx-15的上方所以n≤2ex0≤2e2,而2e2∈(14,15),所以n的最大值為14.

評(píng)析 該題我們?nèi)舭押瘮?shù)f(x)=2ex-nx+15看作是一個(gè)整體去討論單調(diào)性,求導(dǎo)之后可得f′(x)=2ex-n,很難完成我們所要求的問(wèn)題．當(dāng)我們換種思路,發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)是我們熟悉的兩種基本函數(shù)組成的,即指數(shù)函數(shù)h1(x)=2ex和一次函數(shù)h2(x)=-nx+15組成的,而討論這兩個(gè)函數(shù)對(duì)大家還是很容易的,觀察圖象后,發(fā)現(xiàn)求n的最大值可以轉(zhuǎn)化為相切問(wèn)題,從而順利解決該題．

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)解題中的一種相當(dāng)重要的解題方法.在利用該方法時(shí),關(guān)鍵是可以分離出能夠討論的形,即你知道的能夠作出的形,這就要求同學(xué)們認(rèn)真分析題干,認(rèn)真審題．在解決恒成立問(wèn)題時(shí),尤其是選擇題或者填空題,若發(fā)現(xiàn)給出的函數(shù)是由基本函數(shù)組成的,這個(gè)時(shí)候可以嘗試采取數(shù)形結(jié)合法．

四、主參換位法

對(duì)于一些含參的恒成立問(wèn)題,在分離參數(shù)的過(guò)程中,往往會(huì)產(chǎn)生各種問(wèn)題,或者在分離出參數(shù)后,求有關(guān)函數(shù)的最大值或者最小值比較困難,此時(shí),我們不妨考慮把主元和參數(shù)換個(gè)位置,可能比較容易解決原本困難的問(wèn)題．

解析f′(x)=ax2-3x+(a+1),由題設(shè)可知a(x2+2)-x2-2x>0對(duì)?a∈(0,+∞)恒成立.設(shè)g(a)=(x2+2)a-x2-2x,則g(a)是一個(gè)以a為自變量的一次函數(shù).因?yàn)閤2+2>0,所以g(a)在(0,+∞)上單調(diào)增,所以對(duì)?a∈(0,+∞),g(a)>0成立,即g(0)≥0,即-x2-2x≥0,所以-2≤x≤0.

評(píng)析 本題中,若將x看作是主元,我們將得到一個(gè)二次函數(shù),在分離參數(shù)之后,是一個(gè)分式的形式,我們需要變形求導(dǎo)之后才能得到想要的結(jié)果.在這個(gè)過(guò)程中,可能要涉及到分類討論,加大了學(xué)生得到正確答案的難度.但如果我們將a看作是主元,那么我們將會(huì)得到一個(gè)以a為自變量的一次函數(shù).我們都知道一次函數(shù)的討論在很大程度上比二次函數(shù)簡(jiǎn)單,在接下來(lái)的問(wèn)題處理上也相對(duì)容易.所以在分離參數(shù)求最值遇到麻煩時(shí),可以考慮主元和參數(shù)互換位置,再綜合運(yùn)用其他知識(shí),說(shuō)不定有更好的效果．