淺議“阿波羅尼斯圓”的應(yīng)用

章建鋒

(江蘇省梅村高級(jí)中學(xué)，214112)

在近幾年江蘇高考和各地模擬考試中,頻頻出現(xiàn)有關(guān)“阿波羅尼斯圓”的問(wèn)題．本文主要介紹“阿波羅尼斯圓”在優(yōu)化解題,培養(yǎng)學(xué)生解題習(xí)慣,增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)信心方面的作用.希望能帶給大家一定的幫助．

一、“阿波羅尼斯圓”的正用

高考考試說(shuō)明上給出的說(shuō)明是:“命題者本意考查三角形面積公式、余弦定理及函數(shù)思想．”可謂立意新穎,題意簡(jiǎn)明,但是運(yùn)算處理有一定難度．求解如下:

可此題若從軌跡的角度去求解,即在平時(shí)的教學(xué)中,注意滲透了“阿波羅尼斯圓”的定義,則該題的解決不但簡(jiǎn)潔明了且運(yùn)算簡(jiǎn)捷．求解過(guò)程如下:

因?yàn)锳B=2(定長(zhǎng)),所以可以AB所在直線為x軸,以它的中垂線為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0).

化簡(jiǎn)得(x-3)2+y2=8 (y≠0).

詳析 如上解法簡(jiǎn)潔,省去求解變量取值范圍的過(guò)程,又避免了復(fù)雜的運(yùn)算．

其實(shí),象這樣來(lái)源于數(shù)學(xué)史的題型不勝枚舉,在平時(shí)的教學(xué)中，如果我們能夠較多地滲透,對(duì)于進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,有極大的幫助．

二、“阿波羅尼斯圓”的逆用

(1)設(shè)存在定點(diǎn)E(a,b),使得滿足CE=λCB(λ>0且λ≠1)的點(diǎn)C的軌跡方程為

(x-1)2+y2=4,即x2+y2-2x-3=0.

化簡(jiǎn)得點(diǎn)C的軌跡方程為:

又點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0,所以得到

∴存在定點(diǎn)E(5,0),使得滿足CE=2CB的點(diǎn)C的軌跡就是M．

(2)設(shè)存在定點(diǎn)F(m,n),使得滿足CF=μCD的點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0.

大家都知道，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行新定義,已經(jīng)成為高考的一大亮點(diǎn),這就要求教師學(xué)生面對(duì)陌生的題目背景,能迅速提取有用信息,善于挖掘概念的內(nèi)涵與本質(zhì),并合理遷移,運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)加以解決．