把握問(wèn)題教學(xué)模式 構(gòu)建數(shù)學(xué)高效課堂*
——以三角輔助角公式的應(yīng)用為例

孫西洋

(江蘇省南京市第二十九中學(xué)，210036)

數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)性學(xué)科,教學(xué)的最終目標(biāo)是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題,完成數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)和任務(wù),促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展．為了順應(yīng)數(shù)學(xué)新課程理念的要求,教師要大膽變革當(dāng)下的課堂教學(xué)模式,努力營(yíng)造寬松、和諧、民主的學(xué)習(xí)氛圍,積極創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引導(dǎo)學(xué)生參與問(wèn)題教學(xué)與互動(dòng),變學(xué)生的被動(dòng)接受為主動(dòng)學(xué)習(xí),充分挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能,引導(dǎo)學(xué)生不斷發(fā)展和進(jìn)步．

所謂問(wèn)題教學(xué)法,就是教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,善導(dǎo)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地在自主、合作、探究的學(xué)習(xí)過(guò)程中努力地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,提出問(wèn)題,探尋解決問(wèn)題的途徑和方法,由此獲得基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的一種教學(xué)方法．

問(wèn)題教學(xué)改變了數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)模式和教學(xué)方法,能充分尊重學(xué)生的主體地位,能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性,提高數(shù)學(xué)堂教學(xué)的效果．

本文從三角輔助角公式的探究過(guò)程以及公式的應(yīng)用出發(fā),談?wù)勅绾螌?shí)施數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)．

一、輔助角公式的探究

師:哪位同學(xué)能將三角函數(shù)式y(tǒng)=asinx+bcosx表示為某一個(gè)角的三角函數(shù)?

師:生1把表達(dá)式asinx+bcosx看成兩個(gè)向量(b,a)與(cosx,sinx)的數(shù)量積,解決了老師提出的問(wèn)題,非常好!

師:說(shuō)得非常好！同學(xué)們還有其它處理方法嗎?

生3:可以用兩個(gè)角的和與差的三角函數(shù)將其化為一個(gè)角的三角函數(shù):

師:生3是利用兩個(gè)角差的余弦公式的逆用,三角函數(shù)式asinx+bcosx化為一個(gè)角的三角函數(shù),很好！還有哪位同學(xué)想再補(bǔ)充?

生4:用兩角和的正弦公式的逆用,也可將這個(gè)三角函數(shù)式化為一個(gè)角的三角函數(shù)式:

于是y=asinx+bcosx

師:生4的處理方法正確,也是我們常用的方法之一．請(qǐng)同學(xué)們思考一下把三角函數(shù)式asinx+bcosx化為一個(gè)角的三角函數(shù)的步驟有哪些?

師:生5講得非常棒！他給我們介紹了如何將一個(gè)形如asinx+bcosx三角函數(shù)式化為一個(gè)角的三角函數(shù)的方法與步驟．為了便于應(yīng)用,以后我們就把它叫做輔助角公式．下面我們來(lái)研究輔助角公式的應(yīng)用．

二、輔助角公式的應(yīng)用

例1 已知函數(shù)f(x)=5sinx-12cosx+3,求函數(shù)的最大值與最小值,并求函數(shù)取得最大值與最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的tanx的值．

師:誰(shuí)愿意與大家分享一下這個(gè)問(wèn)題的解法?

生6 可以利用輔助角公式把函數(shù)解析式化為

f(x)=13sin(x-t)+3,

師:生6運(yùn)用輔助角公式將三角函數(shù)式化為一個(gè)角的三角函數(shù),利用三角函數(shù)的有界性,得到問(wèn)題的解．生6對(duì)輔助角公式的理解深刻．下面請(qǐng)同學(xué)們思考一下如何求解下列問(wèn)題:

師:請(qǐng)同學(xué)們思考一下,看看哪位同學(xué)能用輔助角公式來(lái)求這個(gè)函數(shù)的值域嗎?

(說(shuō)明:這個(gè)問(wèn)題與輔助角的關(guān)系不太明顯,為了有效引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用輔助角公式,教師可以有意識(shí)地作出如下引導(dǎo)．)

2sinx=3y+ycosx，

即 2sinx-ycosx=3y.

請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)這個(gè)例題考慮一下什么樣三角函數(shù)問(wèn)題去分母,再利用輔助角公式求解?

師:這類(lèi)問(wèn)題可以通過(guò)去分母,通過(guò)輔助角公式來(lái)求函數(shù)的值域,總結(jié)得很好．下面我們來(lái)看下面例題,看看如何求解?

例3 已知方程2cosx+6sinx+1=0的兩個(gè)根分別是α,β,且α,β∈(0,2π),α≠β,求sin(α+β)的值．

生9:用輔助角公式，可以得到

即α+β=3π-2θ,

所以sin(α+β)=sin(3π-2θ)