促進(jìn)思維深度參與的章復(fù)習(xí)課設(shè)計
——以“銳角三角函數(shù)”為例**

(江蘇省無錫市西漳中學(xué) 214171)

葉亞美 (江蘇省無錫惠山區(qū)教師發(fā)展中心 214174)

章復(fù)習(xí)課怎么上這個問題一直困擾著一線教師：是幫助學(xué)生用框圖的形式將知識點(diǎn)再羅列一下？還是重點(diǎn)題型再“炒一下冷飯”？抑或是借助幾道難題提升學(xué)生的綜合運(yùn)用能力？2018年11月江蘇省基礎(chǔ)教育青年教師教學(xué)基本功大賽數(shù)學(xué)學(xué)科比賽的課題是“銳角三角函數(shù)”章復(fù)習(xí)課，筆者有幸參加并獲得一等獎．賽后，筆者深思：章復(fù)習(xí)課應(yīng)以何為核心？如何設(shè)計？就此，筆者以“銳角三角函數(shù)”為例談一些自己的做法，供同行探討.

1 對“章復(fù)習(xí)課”的初步認(rèn)識

在單元教學(xué)研究中，一章教學(xué)大致可以劃分為章首課、章中課和章尾課三個教學(xué)單元．章復(fù)習(xí)課是章尾課的重要課型．從學(xué)生知識學(xué)習(xí)的正常進(jìn)程來說，先是零散地積累，由薄到厚；后是系統(tǒng)梳理，由厚到?。聫?fù)習(xí)課的基本任務(wù)就是系統(tǒng)梳理，基本目的就是讓所學(xué)知識由厚到?。谶@樣的過程中，知識結(jié)構(gòu)要建立，思維方式要顯現(xiàn)，思想方法要感悟到，學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)要形成，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要獲得培養(yǎng)和提升．

如此看來，章復(fù)習(xí)課是指在一章教學(xué)的最后，幫助學(xué)生建構(gòu)整體知識結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)，在知識綜合運(yùn)用的過程中感悟知識價值、訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維和提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的課型．它要求學(xué)生思維要深度參與、情感體驗要深切卷入、智慧領(lǐng)悟獲深遠(yuǎn)啟迪，這也是目前“深度學(xué)習(xí)”領(lǐng)域重點(diǎn)關(guān)切的三個方面．其中，思維的深度參與既符合數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征——抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又是情感深切卷入和智慧深遠(yuǎn)啟迪的基礎(chǔ)，因此，其處于核心地位．

章復(fù)習(xí)課如何設(shè)計才能有效促進(jìn)思維的深度參與呢？筆者認(rèn)為，首先要“整體分析，建構(gòu)整體知識結(jié)構(gòu)”，其次要“把握學(xué)情，建構(gòu)學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)”，最后要“科學(xué)設(shè)計，突出價值提升素養(yǎng)”．

2 章復(fù)習(xí)課的設(shè)計路徑

2.1 整體分析，建構(gòu)整體知識結(jié)構(gòu)

復(fù)習(xí)課首先要做的是對知識和方法的重組，建立知識結(jié)構(gòu)．復(fù)習(xí)前的知識往往孤立、分散、無序、存在認(rèn)識模糊的概念，復(fù)習(xí)時以再現(xiàn)、澄清、整理、概括的方式串成線、連成片、結(jié)成網(wǎng)，使其縱橫聯(lián)系，形成條理化、系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)．理順數(shù)學(xué)知識之間的邏輯順序、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的實質(zhì)性聯(lián)系，思維必然深度參與．

這里，我們首先需要對一章所學(xué)的內(nèi)容作整體分析．例如，“銳角三角函數(shù)”一章在蘇科版九年級下冊第三章，內(nèi)容包括：銳角三角函數(shù)的定義、函數(shù)性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形(在數(shù)學(xué)內(nèi)部的運(yùn)用)、用銳角三角函數(shù)解決問題(在數(shù)學(xué)外部的運(yùn)用)等五個部分．重點(diǎn)是解直角三角形，因為用三角函數(shù)解決問題的核心仍在于構(gòu)造并解直角三角形．本章之前是“圖形的相似”，本章是以“圖形的相似”為基礎(chǔ)建構(gòu)起來的，而三角函數(shù)的初中定義，其原理是相似的性質(zhì)．一般來說，凡是可以用相似解決的問題都可以通過三角函數(shù)的運(yùn)算加以簡便地解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識發(fā)展的優(yōu)越性．如此，就把握了本章的整體知識結(jié)構(gòu)(圖1)．

圖1

教師通過分析建立了一章知識的整體結(jié)構(gòu)，才能通過教學(xué)環(huán)節(jié)的對應(yīng)設(shè)計，逐步帶領(lǐng)學(xué)生建立起一章知識的整體結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生思維的深度參與．

2.2 把握學(xué)情，建構(gòu)學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)

“要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法．”[1]學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅包括數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，還包括對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的學(xué)習(xí)．尤其是在新知識學(xué)習(xí)結(jié)束后，具備了對知識學(xué)習(xí)過程、方法和策略進(jìn)行反思的基礎(chǔ)，有必要對學(xué)習(xí)的過程進(jìn)行“復(fù)盤”、對學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行總結(jié)、對學(xué)習(xí)的成效進(jìn)行評價，深入到“用數(shù)學(xué)的方式理解數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考”的底層思維．在這樣的過程中帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之內(nèi)在規(guī)律及其美妙所獲得的無法言語的快感，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)在的魅力[2]．章復(fù)習(xí)課通過建構(gòu)學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)，可以幫助學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在魅力．

在復(fù)習(xí)“銳角三角函數(shù)”一章時，學(xué)生已經(jīng)具備了基本的探尋知識之間內(nèi)在聯(lián)系的能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，在抽象能力、推理能力、探究能力等方面已經(jīng)發(fā)展到相對比較成熟的水平．經(jīng)過一章的學(xué)習(xí)，知識零散地儲存在學(xué)生頭腦中，有些模糊不清的地方(對銳角三角函數(shù)直角三角形前提的淡忘)、似是而非的地方(對正弦和余弦的混淆)、回憶不起的地方(對特殊角的三角函數(shù)值的遺忘)；有些能力(從實際問題中抽象出三角函數(shù)模型的建模能力，構(gòu)建直角三角形的基本圖形的構(gòu)造能力等)掌握得還不夠熟練．學(xué)生對于三個銳角三角函數(shù)的代表，即正切、正弦、余弦之間的內(nèi)在聯(lián)系以及邊角關(guān)系的深入思考還不夠透徹．這些學(xué)情呼喚著對學(xué)習(xí)過程的“復(fù)盤”，深思數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法．

三角函數(shù)概念在初中數(shù)學(xué)中是借助“直角三角形”這一幾何直觀來定義的，一般來說，看著圖形就能聯(lián)想與之有關(guān)的所有知識．幾何直觀是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)、解決遺忘混淆問題的重要方法；解直角三角形是解一般三角形的基礎(chǔ)，通過轉(zhuǎn)化，把解任意確定的三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形，其中的構(gòu)圖、建模等關(guān)鍵能力需要在由特殊到一般的歸納過程中進(jìn)行強(qiáng)化．由此可見，學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的基本方法是幾何直觀和歸納法，據(jù)此建立起本章的學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)(圖2)．

圖2

2.3 環(huán)節(jié)設(shè)計，突出價值提升素養(yǎng)

文獻(xiàn)[3]指出：現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育，已經(jīng)從關(guān)注知識技能轉(zhuǎn)向關(guān)注核心素養(yǎng)，從關(guān)注“教得完整”“學(xué)得完整”走向“發(fā)展得完整”．這些完整的過程，首先是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中掌握“四基”，其次是在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中提高“四能”，然后是在學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的兩個過程中整體達(dá)成“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析”的目標(biāo)[4]，最終實現(xiàn)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的素養(yǎng)要求．章復(fù)習(xí)課主要是對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程的反思和對應(yīng)用過程的體悟，教學(xué)立意更要關(guān)注知識的應(yīng)用價值、思維訓(xùn)練價值(思維品質(zhì)、高階思維能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng))，以及知識運(yùn)用中所蘊(yùn)含的思想方法，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

三角函數(shù)很好地建立起了“形”和“數(shù)”之間的聯(lián)系，更好地體現(xiàn)和運(yùn)用了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，對綜合培養(yǎng)學(xué)生“四能”和“符號意識”“幾何直觀”“推理能力”“模型思想”等有重要價值．為此，“銳角三角函數(shù)”章尾復(fù)習(xí)分解為兩個課時．第1課時定位于：基礎(chǔ)性、系統(tǒng)性、整體性、綜合性，基礎(chǔ)知識的系統(tǒng)梳理和內(nèi)部關(guān)聯(lián)，基本技能的選擇和綜合，關(guān)鍵能力的訓(xùn)練，核心方法的提煉，基本思想的體悟和鞏固；第2課時定位于：方法性和思想性，基本思想“模型思想”在實際問題中應(yīng)用的深入研究．因此，第1課時目標(biāo)確定為：(1)通過梳理整章基礎(chǔ)知識，理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識結(jié)構(gòu)；(2)通過典型問題分析，提煉基本方法，訓(xùn)練關(guān)鍵能力，夯實技能基礎(chǔ)；(3)經(jīng)歷問題解決的過程，鞏固“模型思想”．其中重點(diǎn)為目標(biāo)(1)，難點(diǎn)為目標(biāo)(2)．為了激活學(xué)生思維、突破難點(diǎn)，準(zhǔn)備采取啟發(fā)式教學(xué)和小組合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)法實施教學(xué)，設(shè)計簡案如下．

·環(huán)節(jié)1——復(fù)習(xí)回顧

問題1 你能畫出圖形解釋你的運(yùn)算依據(jù)嗎？

說明幾何直觀：用圖形來描述和分析問題．?dāng)?shù)形結(jié)合就是一種重要的幾何直觀，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，有直觀整合的優(yōu)越性，需要貫穿在數(shù)學(xué)教育的始終．同時，章建躍先生指出：數(shù)學(xué)中，研究特例具有特別的意義．通過兩幅特殊的直角三角形圖形(圖3)解釋運(yùn)算依據(jù)，既回憶了三個三角函數(shù)的定義(一般性寓于特殊性之中，對特例的研究是對數(shù)學(xué)對象認(rèn)識的深化)，又可以感悟利用圖形記憶特殊角三角函數(shù)的優(yōu)越性，強(qiáng)化基本圖形的意識(很多復(fù)雜的圖形可以轉(zhuǎn)化為基本圖形解決，基本圖形扮演了轉(zhuǎn)化目標(biāo)的作用)[5]．

圖3

問題2 畫一個直角三角形，你能發(fā)現(xiàn)銳角α的三個三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎？

說明在一個直角三角形圖形中，既揭示同一個銳角三個銳角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，又區(qū)分不同的銳角三角函數(shù)，幫助學(xué)生澄清混淆的地方，如圖4．

圖4

問題3 你能在上圖中寫出直角三角形中所有的數(shù)量關(guān)系嗎？

說明在圖形中回顧和梳理三角形的三邊關(guān)系、三角關(guān)系和邊角關(guān)系，“建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物”,這是直觀想象素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，是幾何直觀的主要內(nèi)涵.這些認(rèn)識不是告訴學(xué)生的，而是要通過一個個具體例子讓學(xué)生經(jīng)歷、體會，不斷強(qiáng)化，最終頓悟到．

(2)練習(xí)：在△ABC中，∠C=90°．

1)已知∠A=30°，BC=8 cm，求AB和AC的長；

問題1 結(jié)合上面的求解過程，請你回憶：什么是“解直角三角形”？

問題2 兩個直角三角形全等要具備什么條件？據(jù)此，你認(rèn)為在直角三角形的已知元素中，哪種情況是解不出其他未知元素的？

說明通過兩個簡單的練習(xí)喚醒學(xué)生對“解直角三角形”的記憶，通過追問復(fù)習(xí)其定義，區(qū)分可解的直角三角形與不可解的直角三角形，歸納出解直角三角形的必要條件——已知元素中至少有一邊，進(jìn)而與全等的本質(zhì)“確定”相聯(lián)系．

·環(huán)節(jié)2——典型例題

變式2 等邊三角形的邊長為a，求它的面積．

思考1：從三角形全等的角度來分析一下，為什么這三個問題都是可解的？

思考2：這三個問題都不是直角三角形，為什么也能解出來？

說明在基礎(chǔ)問題中領(lǐng)悟知識本質(zhì)、挖掘基本方法、滲透基本思想．變式：從特殊到特殊再到一般的探索，引導(dǎo)學(xué)生在歸納中強(qiáng)化構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化的意識．思考：發(fā)現(xiàn)全等的本質(zhì)是形狀大小都一樣，意味著一個三角形確定了，確定就是可解的.這樣的意識在解題中有利于不解出具體值而迅速打通思路，有必要在日常解題教學(xué)中滲透這種“確定性”意識．同時，與全等關(guān)聯(lián)，說明章尾課不僅統(tǒng)領(lǐng)一章，而且把本章與同類模塊關(guān)聯(lián)，全章完整、前后貫通．

例2證明：銳角三角形的面積等于兩邊長與其夾角的正弦值的乘積的一半．

思考：你能根據(jù)變式2解釋菱形面積的對角線公式嗎？

說明這兩個例題都指向目標(biāo)(2)，從例1到例2，進(jìn)一步考慮更一般的問題．例2是本節(jié)課的難點(diǎn)，為突破難點(diǎn)，師生活動采用：自主探索、小組合作、小組展示；各組巡視、點(diǎn)撥引導(dǎo)、評價概括．例2及其兩個變式，基本方法不變，都是構(gòu)造“解直角三角形”的基本模型．在這樣的過程中，體悟“模型思想”，同時與高中正弦定理、菱形面積相關(guān)聯(lián)，打通數(shù)學(xué)內(nèi)部不同知識之間的內(nèi)在聯(lián)系：三角函數(shù)—直角三角形—高—面積，知識不斷結(jié)構(gòu)化．

·環(huán)節(jié)3——回顧小結(jié)

(1)經(jīng)過本節(jié)課的復(fù)習(xí)，你對三角函數(shù)有了哪些新的認(rèn)識？

說明復(fù)習(xí)應(yīng)該是知識的再認(rèn)識，方法的再提煉，思想的再升華，能力的再提高[6]．試圖引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到:復(fù)習(xí)的時候要對所學(xué)知識之間的內(nèi)部聯(lián)系有新的認(rèn)識，對數(shù)學(xué)知識中所包含的思想方法有新的認(rèn)識，對數(shù)學(xué)內(nèi)部不同知識之間的聯(lián)系有新的認(rèn)識．

(2)你認(rèn)為下一節(jié)課，我們應(yīng)該重點(diǎn)復(fù)習(xí)什么？

說明引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，除了要對三角函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的作用和價值有新的認(rèn)識之外,還要對三角函數(shù)在數(shù)學(xué)外部的作用和價值有新的認(rèn)識．

2.4 設(shè)計說明

本節(jié)課所有例習(xí)題都來自教材(蘇科版、人教版)，從基本題入手，探究變式，思考追問，逐步拓展．教學(xué)材料具有啟發(fā)性、生成性，每個例習(xí)題都需要畫圖，在幾何直觀中發(fā)現(xiàn)問題解決的線索，不斷強(qiáng)化幾何直觀的方法；每道例題都有變式，在從特殊到一般的歸納中引領(lǐng)學(xué)生再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，不斷強(qiáng)化歸納的方法；變式之后都有思考追問，在追問中觸及本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生體悟知識的本質(zhì)、應(yīng)用的方法和價值．于是，在常規(guī)基礎(chǔ)題中夯實通性通法，從知識結(jié)構(gòu)到學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)再到思想感悟，知識的應(yīng)用價值和思維訓(xùn)練價值就呈現(xiàn)了，在這樣的過程中，帶領(lǐng)學(xué)生逐步觸及數(shù)學(xué)素養(yǎng)，思維是深度參與的．

本節(jié)課例2為高中階段的正弦定理的學(xué)習(xí)奠定了堅實的基礎(chǔ)．文獻(xiàn)[4]中指出：“不僅要針對本單元前面所學(xué)內(nèi)容鎖準(zhǔn)單元目標(biāo)、深化知識內(nèi)涵、探求知識聯(lián)系、建構(gòu)知識體系、積累解題方法、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更要把本單元融入同類單元知識板塊，為后續(xù)初中階段、高中階段同類單元學(xué)習(xí)奠定更堅實的基礎(chǔ)，埋下更自然的伏筆．”由此可見，章復(fù)習(xí)課需要具有“前瞻后顧”的整體視野，選擇或設(shè)計恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)材料，既是已學(xué)知識的自然運(yùn)用，又為后繼學(xué)習(xí)埋下“自然的伏筆”．

3 結(jié)語

裴光亞先生在文獻(xiàn)[3]中說：“直觀過程、豐富的感性經(jīng)驗是理解和掌握抽象理論的必要條件．”章復(fù)習(xí)課的教學(xué)材料應(yīng)該用“好的具體問題”引發(fā)學(xué)生興趣、激活學(xué)生思考，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)、勾聯(lián)內(nèi)在關(guān)系、突出關(guān)鍵能力；用直觀的過程為學(xué)生提供豐富的感性經(jīng)驗，給學(xué)生充分的時空，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)膩體悟，構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的路線：從具體事例中發(fā)現(xiàn)共性、獲得猜想、給出證明、類比遷 移、靈活變通.如此，學(xué)生的思維參與必然是深度的．

章復(fù)習(xí)課的價值在于讓學(xué)生于孤立的課時教學(xué)后，從章、單元的整體角度重新建構(gòu)知識間的脈絡(luò)聯(lián)系、發(fā)展方向．限于篇幅，本文呈現(xiàn)了章復(fù)習(xí)課的設(shè)計路徑．事實上，章復(fù)習(xí)課與其他章尾課，章尾課與章首課、章中課之間如何整體建構(gòu)，教學(xué)情境如何邏輯連貫、一以貫之等都是后繼系統(tǒng)研究應(yīng)該關(guān)注的重要話題．