尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律 突出幾何思維梯度
——范希爾幾何思維層次理論對(duì)“豐富的圖形世界”的教學(xué)啟示

(江蘇省太倉(cāng)市沙溪第一中學(xué) 215421)

幾何歷來(lái)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是學(xué)生兩極分化的起點(diǎn)．筆者近期參與了區(qū)域公開課的評(píng)審活動(dòng)，參評(píng)的題目為七年級(jí)“豐富的圖形世界”．筆者發(fā)現(xiàn)，三位選手在處理這節(jié)可稱為是初中幾何第一課的課時(shí)，都存在對(duì)學(xué)生的認(rèn)知層次定位不準(zhǔn)、提出的問(wèn)題高于學(xué)生認(rèn)知水平的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了思維梯度跳躍的活動(dòng)環(huán)節(jié)．因此，本文以范希爾(Van Hiele)幾何思維層次理論為依據(jù)，通過(guò)對(duì)這三節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的對(duì)比，來(lái)揭示范希爾幾何思維層次理論在幾何入門教學(xué)中的作用．

1 范希爾幾何思維層次理論

范希爾幾何思維層次理論符合中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的認(rèn)知特點(diǎn)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中具有重大的作用．20世紀(jì)50年代末，范希爾夫婦提出幾何思維發(fā)展水平的理論，認(rèn)為學(xué)生的幾何思維發(fā)展可以劃分為五個(gè)水平：視覺層次(visual)、分析層次(analysis)、非形式演繹層次(informal deduction)、形式邏輯層次(formal deduction)以及嚴(yán)密性層次(rigor)．

根據(jù)范希爾幾何思維層次理論，我們將學(xué)生的幾何思維發(fā)展劃分為五個(gè)階段：①可視化階段，即學(xué)生能夠描摹和區(qū)分圖形，但還不知道圖形的性質(zhì)和名稱；②分析階段，即能判斷圖形中的邊角性質(zhì)，但無(wú)法理解性質(zhì)內(nèi)的關(guān)系；③非形式化推理階段，即能夠?qū)缀蚊}進(jìn)行描述性的非演繹推理；④演繹推理階段，即能夠用幾何符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行嚴(yán)格推理和邏輯證明；⑤精確嚴(yán)密階段，即學(xué)生能夠?qū)缀蚊}和推理過(guò)程進(jìn)行整合、反思和拓展，形成知識(shí)體系．

另外，范希爾幾何思維層次理論還認(rèn)為，這些不同的層級(jí)是不連續(xù)的，但是順次的．因此，我們?cè)诮虒W(xué)中還要設(shè)計(jì)一些“思維的危機(jī)(crisis of thinking)”，使學(xué)生從低一級(jí)認(rèn)知水平跳躍到高一級(jí)認(rèn)知水平，從而使學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)能力得到提升．我們?cè)谶M(jìn)行幾何教學(xué)時(shí)，必須要考慮學(xué)生所處的思維水平，也就是說(shuō)，如果教師的教學(xué)期望值過(guò)高于學(xué)生的思維水平，那么就不可能取得預(yù)期的教學(xué)效果．

2 本課例的教學(xué)背景

學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)認(rèn)識(shí)了一些基本的立體圖形(球、圓柱、長(zhǎng)方體、正方體等)，“豐富的圖形世界”要求學(xué)生在正確識(shí)別柱體和錐體、棱柱和棱錐的基礎(chǔ)上，能夠從各立體圖形的頂點(diǎn)、棱和面的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上進(jìn)行精確的判斷和精準(zhǔn)的定義．

本節(jié)課的學(xué)習(xí)能夠使學(xué)生感受到幾何圖形和生活實(shí)際是息息相關(guān)的，并為后續(xù)立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化打好基礎(chǔ)，初步建立起空間觀念，發(fā)展幾何直觀．

3 三個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的對(duì)比分析

本次評(píng)比活動(dòng)中的三位教師都能夠從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)導(dǎo)入新課、激發(fā)興趣，能夠自覺地將范希爾幾何思維層次理論應(yīng)用于課堂教學(xué)，但是在處理過(guò)程中還存在某些不足和值得商榷的地方．

3.1 J教師的教學(xué)設(shè)計(jì)

J教師基本上按如下的環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)：情境引入→認(rèn)識(shí)立體圖形→分類識(shí)別→點(diǎn)線面的關(guān)系→明確圓柱的構(gòu)成→探究歐拉公式→明確圓錐的構(gòu)成．

J教師首先出示了北京、上海等地的標(biāo)志性建筑，讓學(xué)生從實(shí)物中找出幾何圖形；然后和學(xué)生一起對(duì)涉及的圖形進(jìn)行分類，最終得到了柱體、錐體和球體這三種立體圖形，并對(duì)柱體和錐體進(jìn)行了細(xì)分，得到了圓柱、棱柱和圓錐、棱錐．接著，教師引導(dǎo)學(xué)生從點(diǎn)線面關(guān)系的角度對(duì)上述幾何圖形進(jìn)行了分析，得到了面面相交得線、線線相交得點(diǎn)，并以相關(guān)的圖片進(jìn)行佐證.然后，教師通過(guò)gif動(dòng)畫、幾何畫板演示等教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生得到點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體的規(guī)律．在得到點(diǎn)、線、面關(guān)系之后，教師以棱柱為例，具體指明了各點(diǎn)、線、面的名稱和特點(diǎn)，要求學(xué)生通過(guò)點(diǎn)、線、面的關(guān)系來(lái)辨別棱柱．接著，教師讓學(xué)生數(shù)各個(gè)棱柱模型的頂點(diǎn)、棱和面，完成表格后引導(dǎo)學(xué)生猜想得到歐拉公式．最后，教師以棱錐為例，引導(dǎo)學(xué)生找出棱錐的頂點(diǎn)、棱和面．

3.2 T教師的教學(xué)設(shè)計(jì)

T教師設(shè)計(jì)的教學(xué)環(huán)節(jié)是：情境引入→認(rèn)識(shí)立體圖形→點(diǎn)線面的關(guān)系→辨析棱錐與棱柱的關(guān)系→辨析圓柱與棱柱的關(guān)系→對(duì)立體圖形進(jìn)行分類→探究歐拉公式→解決正方體表面上螞蟻路線最短問(wèn)題．

T教師用承辦學(xué)校的校園圖片引入新課，讓學(xué)生從圖片中尋找立體圖形，并要求說(shuō)出各立體圖形的名稱；然后，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下將棱柱和棱錐按側(cè)棱數(shù)進(jìn)行了細(xì)分；接著，教師借助PPT演示了點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面和面動(dòng)成體的動(dòng)畫，并引導(dǎo)學(xué)生反向思考線與線相交、面與面相交得到的圖形；然后從點(diǎn)、線、面的角度去研究棱柱與棱錐的區(qū)別、圓柱與棱柱的區(qū)別，并對(duì)常見的立體圖形進(jìn)行分類；最后，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過(guò)完成表格來(lái)歸納歐拉公式，并就正方體表面上的螞蟻從一個(gè)頂點(diǎn)爬到另一個(gè)頂點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，探索了正方體的多種表面展開圖．

3.3 S教師的教學(xué)設(shè)計(jì)

S教師設(shè)計(jì)的教學(xué)環(huán)節(jié)是：情境引入→對(duì)立體圖形起名字→點(diǎn)線面的關(guān)系→認(rèn)識(shí)棱柱的棱、面和頂點(diǎn)→認(rèn)識(shí)棱錐的棱、面和頂點(diǎn)→對(duì)常見的立體圖形進(jìn)行分類．

S教師先從金字塔等建筑圖片中引導(dǎo)學(xué)生找到立體圖形，并對(duì)找到的圖形進(jìn)行命名；然后在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生研究了點(diǎn)線面的關(guān)系，其間教師穿插了PPT制作的動(dòng)畫演示；接著，教師分別以棱柱和棱錐為例，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別組成圖形的各個(gè)元素，還介紹了直棱柱與斜棱柱的區(qū)別和聯(lián)系；最后，師生一起對(duì)常見的立體圖形進(jìn)行了分類．

縱觀三位教師的設(shè)計(jì)，有差異也有類似之處．例如，三位教師都是從生活實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生從生活場(chǎng)景中認(rèn)識(shí)幾何圖形，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從這一環(huán)節(jié)學(xué)生的參與度可以看到，這樣的設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知層次，是有效的．在這之后三位教師的處理方式截然不同：J教師要求學(xué)生對(duì)立體圖形進(jìn)行分類，T教師嘗試從點(diǎn)線面的關(guān)系對(duì)立體圖形的本質(zhì)特征進(jìn)行歸納，S教師要求學(xué)生給這些見過(guò)和沒見過(guò)的幾何圖形命名．很明顯，到了這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生的思維出現(xiàn)了較大的斷層，可以覺察到學(xué)生已經(jīng)存在了分化．這種分化說(shuō)明學(xué)生在幾何思維層次上并不都處于同一個(gè)水平，而我們需要找到學(xué)生目前的層次，通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題和活動(dòng)來(lái)促進(jìn)其思維向更高層次發(fā)展．

4 基于范希爾理論改進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)

課堂教學(xué)講究低起點(diǎn)、多臺(tái)階，要從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入手搭建思維的腳手架，范希爾幾何思維層次理論正為我們提供了這樣的依據(jù)．

學(xué)生在小學(xué)六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，接觸最多的是運(yùn)算，而對(duì)幾何圖形的接觸較少，且大都只是一些簡(jiǎn)單的基本圖形，很少涉及對(duì)圖形性質(zhì)的研究，更談不上幾何推理和證明．從范希爾幾何思維層次理論來(lái)看，剛升入初中的學(xué)生，其幾何思維層次基本處于可視化階段和分析階段之間，少數(shù)學(xué)生能夠達(dá)到非形式化推理階段．此時(shí)的學(xué)生能夠區(qū)分不同的圖形(例如小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)的柱體、球等)，但還不知道圖形的命名規(guī)則和性質(zhì)．因此，我們應(yīng)該注意順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和特點(diǎn)，在各個(gè)層級(jí)之間設(shè)計(jì)腳手架，構(gòu)建循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生完成思維的發(fā)展．

4.1 層次1：直觀——感受幾何圖形

通過(guò)典型的建筑圖片和生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生從圖片中歸納和概括出幾何圖形，并能從提供的幾何模型中找到與圖片相對(duì)應(yīng)的幾何圖形．在這個(gè)環(huán)節(jié)，要求學(xué)生將學(xué)過(guò)和沒學(xué)過(guò)的幾何圖形進(jìn)行區(qū)分，為后續(xù)的教學(xué)提供思維的起點(diǎn)，不必強(qiáng)求學(xué)生都能夠說(shuō)出各幾何圖形的名稱，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．

4.2 層次2：分析——認(rèn)識(shí)幾何圖形

對(duì)于小學(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò)的幾何圖形(如球體、柱體等)，要求學(xué)生能夠說(shuō)出它們的區(qū)別與聯(lián)系．例如，學(xué)生知道球由曲面組成，圓柱由兩個(gè)平面和一個(gè)曲面組成，棱柱由若干個(gè)平面組成，即學(xué)生能夠正確區(qū)別球體、圓柱和棱柱，并能說(shuō)明理由．學(xué)生還要能夠歸納出“柱體的兩個(gè)底面完全一樣”的規(guī)律．對(duì)于棱柱，學(xué)生要能夠歸納出面、棱和頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)的規(guī)律，并能按此規(guī)律對(duì)棱柱進(jìn)行命名．在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)實(shí)例了解面與面相交得線、線與線相交得點(diǎn)的道理．

通過(guò)對(duì)柱體的研究，歸納出初中幾何研究的主要方法，目的是運(yùn)用類比來(lái)研究錐體，即學(xué)生能夠自主地探究圓錐與棱錐的區(qū)別，以及按面、棱和頂點(diǎn)個(gè)數(shù)的規(guī)律對(duì)棱錐進(jìn)行命名．如此，學(xué)生的思維自然而然地得到了提升．

最后，設(shè)計(jì)將幾何圖形分類的教學(xué)環(huán)節(jié)，考查學(xué)生是否掌握對(duì)立體圖形進(jìn)行命名的規(guī)則，并能形成常見立體圖形的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架．

4.3 層次3：說(shuō)理——幾何圖形的再認(rèn)識(shí)

根據(jù)范希爾幾何思維層次理論，這一層次的幾何思維特征還沒有到達(dá)嚴(yán)密的邏輯推理層面，學(xué)生能夠用非演繹的方式，通過(guò)對(duì)圖形特點(diǎn)的描述，或者借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等輔助手段發(fā)現(xiàn)一些幾何性質(zhì)．因此，本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)為幾何圖形的再認(rèn)識(shí)，目的是引導(dǎo)學(xué)生感悟初中幾何學(xué)習(xí)的方法，即研究幾何圖形的邊、角的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系等．例如，在棱柱的再認(rèn)識(shí)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生探究各側(cè)棱之間的關(guān)系、側(cè)棱和底面各棱的關(guān)系等，并通過(guò)幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，了解直棱柱與斜棱柱的各邊、角關(guān)系的變化，以及棱柱與棱錐的本質(zhì)關(guān)系(將棱柱的一個(gè)底面縮為一點(diǎn))等．

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)并不需要學(xué)生達(dá)到范希爾幾何思維層次理論的層次4和層次5，因此本節(jié)課不必設(shè)計(jì)過(guò)難的幾何推理問(wèn)題．

5 范希爾理論運(yùn)用的反思

5.1 找準(zhǔn)思維的起點(diǎn)

大衛(wèi)·奧蘇貝爾(David Ausubel)曾說(shuō)：“影響學(xué)生學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要先探明這一點(diǎn)，然后再進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)．”范希爾幾何思維層次理論恰恰是對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行了合理分層，也告訴教師要了解學(xué)情、了解學(xué)生現(xiàn)有的思維層次、了解學(xué)生之間的差異性，從而設(shè)計(jì)更有針對(duì)性的問(wèn)題、活動(dòng)和更科學(xué)合理的方案以應(yīng)對(duì)學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)需求，幫助他們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、更好地發(fā)展幾何思維．

5.2 定位真實(shí)的學(xué)力

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，教師要從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的數(shù)學(xué)情境……”但是，受一些傳統(tǒng)觀念和分?jǐn)?shù)至上觀念的影響，在教學(xué)中，教師常常因“應(yīng)試學(xué)力”的成功而忽略了對(duì)學(xué)生“真實(shí)學(xué)力”的追求．學(xué)生的“真實(shí)學(xué)力”是一種“發(fā)展性的學(xué)力”，是在原有思維層次基礎(chǔ)上主動(dòng)建構(gòu)的學(xué)習(xí)過(guò)程．范希爾幾何思維層次理論定位學(xué)生從不會(huì)到會(huì)、從不能到能的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)獲得、技能形成、經(jīng)驗(yàn)積累、思想領(lǐng)悟和品格塑造，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)力．

總之，范希爾幾何思維層次理論的五個(gè)思維水平清楚地說(shuō)明學(xué)生的不同學(xué)習(xí)階段、不同學(xué)習(xí)過(guò)程和不同學(xué)習(xí)方法的幾何思維差異，從而有效地幫助教師判斷學(xué)生所能達(dá)到的幾何思維層次，較容易地實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維發(fā)展質(zhì)性影響的量化分析，為教學(xué)設(shè)計(jì)的針對(duì)性、有效性及個(gè)性化教學(xué)提供了理論支撐和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)．