藏“系”于身 “待定”而動
——對一道不等式證明題的分析與思考

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞有句名言：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要.”這句話啟發(fā)我們：要想學(xué)會數(shù)學(xué)，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問題、探索問題的規(guī)律性東西要有一雙敏銳的眼睛.不等式問題一直是廣受高考和各類數(shù)學(xué)競賽青睞的考點(diǎn)，但是不等式中各種代數(shù)變形總是令人難以把握其精髓，尤其是一些奇思妙解，仿佛憑空而來.實(shí)際上，這并不是毫無規(guī)律可循，通過待定系數(shù)法與不等式的巧妙結(jié)合，一些復(fù)雜數(shù)學(xué)問題可迎刃而解.筆者結(jié)合自身的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，從一道不等式證明題展開分析與思考，結(jié)合各類書籍雜志中的奇思妙解和自己的一點(diǎn)想法，與讀者共饗.

1 試題呈現(xiàn)

這是一道平時(shí)訓(xùn)練常見的題目，主要考查的是不等式的相關(guān)知識.此題解法較多，學(xué)生的方法及花費(fèi)的時(shí)間也是不盡相同.其中最常見的證法如下：

點(diǎn)評這是學(xué)生最容易想到的解法，也是常規(guī)解法.添“1”運(yùn)用均值不等式.

筆者針對此題，有如下思考：

點(diǎn)評求解時(shí)，調(diào)整系數(shù)、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)是常用技巧.但調(diào)整系數(shù)、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)時(shí)，既要考慮不等式的結(jié)構(gòu)，又要符合相關(guān)要求，難以確定.此時(shí)若使用待定系數(shù)法設(shè)k進(jìn)行搭配，就可兼顧幾方面要求.第二步，運(yùn)用均值不等式，只需求出系數(shù)k即可.

點(diǎn)評觀察到所給式子的分母之和為1，想到三角函數(shù)的基本公式sin2α+cos2α=1，設(shè)出系數(shù)為S，并用兩種形式表示S.與證法2頗有不同，通過運(yùn)用均值不等式得出有關(guān)S的不等式，解得S范圍. 從求解方法上看，本題既落實(shí)基礎(chǔ)又立意新穎、不落俗套，著實(shí)是一道好題.

2 相關(guān)變式

解令a=1+cos2α，b=1+sin2α，則a≥1，b≥1，于是得到

點(diǎn)評所給式子分母略微有點(diǎn)變化，但仔細(xì)一看，本質(zhì)相同.只不過第一步，首先運(yùn)用換元而已.第二步以及第三步與證法2完全一致.而運(yùn)用證法1卻顯得繁瑣，此處體現(xiàn)了證法2的優(yōu)勢.

點(diǎn)評針對這一二元不等式的兩種證法，大部分老師或者學(xué)生都會采用證法1，往往忽略了證法2的創(chuàng)新.對比之下，在面對考試策略上明顯是證法1更勝一籌，但是作為平時(shí)練習(xí)，證法1忽視了解題探究中思維能力的培養(yǎng)，淡化了解題教學(xué)過程中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.

點(diǎn)評由二元推廣到三元，這是大部分高中生所能接受的.盡管，柯西不等式仍可以秒解，但證法2告訴我們等量的待定系數(shù)法同樣適用.

點(diǎn)評本題初看，難以下手，與前面幾題都有所不同，所證式子的分母次數(shù)升為2次.此時(shí)，這一類待定系數(shù)法的優(yōu)勢逐漸體現(xiàn)出來. 設(shè)出等量，根據(jù)所求式子分母的次數(shù)，配上相應(yīng)的系數(shù)，從而得證，此解法不可謂不巧.

點(diǎn)評不難發(fā)現(xiàn)，在二元不等式中，所證式子分母次數(shù)變?yōu)?次，只需在等式左邊的等量配湊上系數(shù)3即可.

點(diǎn)評本題來自于數(shù)學(xué)奧林匹克叢書的一道題.從競賽的角度來說，運(yùn)用赫爾德不等式可以很簡潔地證明，當(dāng)然變式5同樣可以.但是其構(gòu)造要求太高，學(xué)生也難以接受.而與例題相比，證法3的優(yōu)勢體現(xiàn)得淋漓盡致.題中拓展到了三個(gè)變量，所給條件和所證式子中出現(xiàn)2次和6次.與證法3相同，設(shè)出等量S，根據(jù)三元均值不等式，得到有關(guān)S的不等式，得證.

3 解題反思

待定系數(shù)法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，在許多數(shù)學(xué)問題的解決中都能看到它的“身影”.在解題時(shí)，要利用好待定系數(shù)法，首先要觀察代數(shù)式的基本模式，然后在不確定的系數(shù)位置設(shè)置參數(shù).再結(jié)合其他條件解出參數(shù)，從而達(dá)到確定代數(shù)式的目的.待定系數(shù)法的最大好處在于不必事先知道相應(yīng)系數(shù)的值，只需要用參數(shù)代替，到合適的時(shí)機(jī)再求出參數(shù).

從本文的例題以及變式中可以窺見，待定系數(shù)法是多項(xiàng)式恒等變形以及求證不等式中一種有效方法，其解題步驟是：設(shè)所求為一個(gè)含有待定系數(shù)的恒等式，再根據(jù)多項(xiàng)式恒等的定義或者性質(zhì)得到有關(guān)待定系數(shù)的不等式，求出待定系數(shù)的值，而所求即為待定系數(shù)，從而使原問題獲解.這一方面表明，數(shù)學(xué)思想方法奇妙無窮，另一方面說明，只要我們努力去探索、善于思考，將會發(fā)現(xiàn)任何一種數(shù)學(xué)思想方法都有用武之地.

4 結(jié)語

巧妙地運(yùn)用待定系數(shù)法，設(shè)等量，恰當(dāng)配湊，可以創(chuàng)造性地與均值不等式相結(jié)合解題.因此在教學(xué)中，需要通過各種各樣的解題方法來提高學(xué)生的思維.而每一種方法都各有利弊，我們能做到的是對每一種方法都有深刻的認(rèn)識.對于教師來說，需要通過有限的典型例題學(xué)習(xí)，去理解那種解無限道題的教學(xué)機(jī)智.對于學(xué)生來說，遇到具體問題的時(shí)候，能努力地多角度思考，這樣必能尋得有趣的解法.通過這樣的探究，既開拓了學(xué)生的思路，又活躍了學(xué)生思維，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.對于筆者而言，同樣受益無窮.