對課本中一道習題的深入探究

廖中山

[摘 要] 課本是最具權威的學習資料，課本上例題都有很高的研究價值，對例題和習題的探究與思考，會達到舉一反三的效果，比盲目的題海戰(zhàn)術更有效. 文章對人教A版必修5第二章章末練習的一道習題進行了深入研究，并給出了形如an+1=pan+qan-1（n≥2）的遞推公式求通項公式的一般解法.

[關鍵詞] 數(shù)列；遞推公式；特征根法

■習題再現(xiàn)

（人教A版必修5第二章章末第6題）

已知數(shù)列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），對于這個數(shù)列的通項公式做研究，能否寫出它的通項公式？

解析：題干給出的是常系數(shù)二階齊次線性遞推形式的遞推公式，求這個數(shù)列的通項公式. 表面上對這道題看起來好像束手無策，因為學生只學過由一階遞推公式求通項公式的方法，但此題是二階的形式，沒有現(xiàn)成的解法. 但是利用“化歸與轉化”的數(shù)學思想，自然想到這個二階的問題能不能轉化成一階的形式呢？注意到這個遞推公式的相鄰三項的系數(shù)都相差1，利用整體代換的思路很容易想到以下解法.

解法一：考慮在an=2an-1+3an-2兩邊同時加上an-1，便可以得到an+an-1=3（an-1+an-2），

利用整體思維，令bn=an+an-1（n≥3），那么bn-1=an-1+an-2，所以就可以得到bn=3bn-1（n≥3），這樣就實現(xiàn)了“降階”，顯然很容易就可以求出{bn}的通項公式為：bn=7×3n-2（n≥2），進而an+an-1=7×3n-2（n≥2）. 這是常見的一階遞推公式求通項公式的形式，在an+an-1=7×3n-2（n≥2）兩邊同時除以3n，得到：■+■·■=■. 顯然，再做一次代換：■=cn（n≥2），得到cn+■·cn-1=■（n≥2），這是最基本的一階常系數(shù)線性遞推的形式，利用公式可求得：cn=■-■■+■（n∈N*），注意■=cn（n≥2），

可得an=3ncn，所以可以得到：a■=■·[7×3n-1+13×（-1）n-1]（n∈N*）.

這種解法中間做了3次代換，利用“化歸”的思想一步一步降階，把未知的形式轉換成已知的形式，最終將題目中an=2an-1+3an-2這種二階常系數(shù)遞推公式轉化成熟悉的cn+■·cn-1=■（n≥2）一階常系數(shù)線性遞推公式，從而得到了答案. 從解答過程來看，還存在另一種更為簡便的解法.

解法二：由解法一可得an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3），利用“迭代”的思想可以得到，

an+an-1=3（an-1+an-2）=32（an-2+an-3）=…=3n-2（a2+a1）=7×3n-2，同理，如果在an=2an-1+3an-2的兩邊同時減去3an-1，可以得到an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3），

同樣利用“迭代”的思想可以得到：an-3an-1=…=（-1）n-2（a2-3a1）=13×（-1）n-1，所以得到：an+an-1=7×3n-2，an-3an-1=13×（-1）n-1，顯然 “消元”就可得到{an}的通項公式為： an=■·[7×3n-1+13×（-1）n-1]（n∈N*）.

第二種解法避免了煩瑣的代換，而是利用了“方程的思想”，首先想辦法建立關于an與an-1的方程組，然后通過解方程，求得{an}的通項公式. 實際上，這兩種方法的關鍵就在于題干給出的遞推公式的系數(shù)是有特點的，系數(shù)的絕對值都是相差常數(shù)1，這樣很容易利用“湊型”，實現(xiàn)“降階”，如果題干中給出的是一般的形式：an+1=pan+qan-1（n≥2），這時再來“湊型”就沒那么容易了，我們可以利用高等數(shù)學里面的“特征根法”來解決.

■推廣到一般形式

一般的，對于an+1=pan+qan-1（n≥2）的二階線性齊次遞推式，它的通項公式的求法，首先構造特征方程x2=px+q，解出特征方程的兩個根x1，x2（x1，x2可為虛數(shù)）.

（1）若x1≠x2，則可構造等比數(shù)列{an+1-x1·an}和{an+1-x2·an}，分別求出構造的兩個等比數(shù)列的表達式，再通過解方程的思想就可得到{an}的通項公式.

（2）若x1=x2=x0，還是可以構造等比數(shù)列{an+1-x0·an}，求出這個等比數(shù)列的通項公式，這樣就完成“降階”，再利用常規(guī)的待定系數(shù)法就可以得到{an}的通項公式.

不妨利用“特征根法”來解決這道例題.

解法三：構造特征方程：x2=2x+3，解得x1=-1，x2=3. 所以構造等比數(shù)列{an+1+an}與{an+1-3an}，利用等比數(shù)列通項公式，求得an+an-1=7×3n-2，an-3an-1=13×（-1）n-1，解方程可得：an=■[7×3n-1+13×（-1）n-1]（n∈N*）.

■總結

課本的習題都只是冰山一角，作為教師，應該充分挖掘教材上的例題與習題，精講課本上的例題與習題，往往會達到事半功倍的效果. 實際上，近兩年的高考題有些就是課本上例題與習題的變式，比如2016年江蘇高考第14題就是蘇教版必修4第三章第二節(jié)的一道例題的變式.實際上，本文中的遞推形式還可以有推廣，如果對于二階線性非齊次遞推數(shù)列，形如：an+1=pan+qan-1+A（p，q，A≠0）的遞推公式，可以先采用“階差法”轉化為二階線性齊次遞推數(shù)列，進而利用本文介紹的“特征根法”可以得到解答.