高中數(shù)學(xué)“思維場(chǎng)”的理解與反思

黃春蘭

[摘 要] 數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，高中數(shù)學(xué)教學(xué)需從學(xué)生的角度重視思維能力的培養(yǎng). 提出思維場(chǎng)的概念，意義在于讓教師能夠真正立足于學(xué)生去培養(yǎng)其思維能力，從而為核心素養(yǎng)的培育奠定基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)教師要在理解思維場(chǎng)概念意義的基礎(chǔ)上，在不同的教學(xué)環(huán)節(jié)中生成思維場(chǎng)的營(yíng)造策略.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；思維場(chǎng)；核心素養(yǎng)

近日，再次看到有數(shù)學(xué)教學(xué)同行提出了“思維場(chǎng)”的概念，感覺(jué)頗是有趣. 雖然說(shuō)思維場(chǎng)的概念數(shù)年之前就有人提出，但那個(gè)時(shí)候更多的是作為社會(huì)領(lǐng)域或經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的概念而提出的，在數(shù)學(xué)教學(xué)研究領(lǐng)域提及者相對(duì)少見(jiàn). 當(dāng)然，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中提出思維場(chǎng)的概念，以促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)更有效地發(fā)展，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義. 尤其是在核心素養(yǎng)的背景下，指向“關(guān)鍵能力”的核心素養(yǎng)培育要求，原本就要在具體的思維過(guò)程中得以實(shí)現(xiàn)，從這個(gè)角度來(lái)講，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中以思維場(chǎng)來(lái)引導(dǎo)教學(xué)發(fā)展，也是具有積極意義的.

■核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)思維場(chǎng)的理解

將思維場(chǎng)與核心素養(yǎng)聯(lián)系起來(lái)，并不是想借核心素養(yǎng)這面大旗來(lái)烘托思維場(chǎng)的價(jià)值，而是筆者在多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力其實(shí)在于數(shù)學(xué)思維的運(yùn)用，而學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的困難更多的也是思維困難，從核心素養(yǎng)的視角來(lái)看，學(xué)生的關(guān)鍵能力在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中，歸根到底還是體現(xiàn)為思維能力. 因此，思維能力與核心素養(yǎng)之間有著密不可分的關(guān)系.

思維能力從哪里來(lái)？數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，只有在一個(gè)有效的情境中，學(xué)生的思維才能得到激活，思維能力也才能在具體的運(yùn)用中得到發(fā)展. 很多時(shí)候，情境并不是一個(gè)空洞的概念，而是一個(gè)能夠?qū)W(xué)生的思維引入高效運(yùn)行的“場(chǎng)”. “場(chǎng)”本來(lái)是一個(gè)科學(xué)概念，意指在有質(zhì)量的物體周圍存在的一種看不見(jiàn)、摸不著但客觀存在的物質(zhì)，萬(wàn)有引力就是通過(guò)場(chǎng)來(lái)發(fā)生的. 用場(chǎng)來(lái)比喻學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維，其巧妙之處在于讓師生可以同時(shí)認(rèn)識(shí)到思維是需要其他因素支撐的，其他因素能夠發(fā)揮著潛移默化的隱性作用. 尤其是對(duì)于教師而言，這種作用發(fā)揮的機(jī)制在于可以培養(yǎng)學(xué)生基于思維的默會(huì)知識(shí)，可以讓學(xué)生在這個(gè)場(chǎng)中生成強(qiáng)大的思維能力.

回顧曾經(jīng)的教學(xué)事例，應(yīng)當(dāng)說(shuō)也曾經(jīng)有過(guò)這樣的努力：比如說(shuō)在教“共面向量定理”的時(shí)候，我們也曾給學(xué)生提供一個(gè)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，然后讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到其中哪些量是向量，哪些量是共面向量，尤其是通過(guò)現(xiàn)代教學(xué)手段的支撐，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到哪些向量是“能夠平移到同一平面內(nèi)的向量”，從而順利建立“共面向量”的概念. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的思維在教師提供的素材下展開，學(xué)生通過(guò)觀察與想象，構(gòu)建起了共面向量的表象. 這個(gè)過(guò)程是思維的過(guò)程，而思維是由現(xiàn)代教學(xué)手段提供的素材支撐的，因此在思維素材的周圍就出現(xiàn)了一個(gè)“思維場(chǎng)”，并發(fā)揮了支撐、引導(dǎo)、促進(jìn)學(xué)生思維的作用.

但仍然應(yīng)當(dāng)看到，那個(gè)時(shí)候的努力更多的是面向共面向量這一數(shù)學(xué)概念而構(gòu)建的，對(duì)其中的思維重視程度實(shí)際上是有限的，對(duì)于哪些素材能夠引發(fā)學(xué)生的思維，對(duì)于學(xué)生思維高效運(yùn)行所需要的場(chǎng)并沒(méi)有太多關(guān)注. 而今當(dāng)將注意力集中到思維場(chǎng)上時(shí)，才發(fā)現(xiàn)其中有著更為豐富的教學(xué)及研究意義.

■以思維場(chǎng)引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的策略

那么，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，思維場(chǎng)的營(yíng)造具體可以有哪些策略呢？筆者以為只要本著以思維場(chǎng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思路，就可以總結(jié)出有效的關(guān)于思維場(chǎng)的教學(xué)策略. 下面分幾種情況進(jìn)行討論.

1. 第一種情況：情境創(chuàng)設(shè)時(shí)的思維場(chǎng)營(yíng)造策略

對(duì)于學(xué)生而言，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最大的挑戰(zhàn)在于數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性，因此數(shù)學(xué)教師常常通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境的方法來(lái)讓學(xué)生感覺(jué)到數(shù)學(xué)的形象，而情境創(chuàng)設(shè)作為一種教學(xué)策略，其指向應(yīng)當(dāng)是思維，但思維又是依靠具體的教學(xué)素材而展開的，同時(shí)是通過(guò)問(wèn)題的提出來(lái)驅(qū)動(dòng)的，因此在情境創(chuàng)設(shè)中，思維場(chǎng)的營(yíng)造就需要教師建立“素材支撐，問(wèn)題引領(lǐng)”的策略.

例如，在“空間向量及其線性運(yùn)算”這一內(nèi)容的教學(xué)中，筆者注意到學(xué)生對(duì)向量的理解是比較困難的，盡管在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中曾經(jīng)遇到過(guò)，在此前也已經(jīng)學(xué)過(guò)平面向量，但他們大腦中絕大多數(shù)情況下以數(shù)量形式存在的“量”，與以有向線段表示的“量”之間，還是會(huì)有相當(dāng)大的矛盾. 要將本就不太能夠順利接受的向量放到一個(gè)三維空間，沒(méi)有有效的思維支撐是不可想象的. 基于這樣的思考，筆者創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境是：先幫學(xué)生復(fù)習(xí)平面向量的知識(shí)，然后用三根不等長(zhǎng)的削成一端帶有箭頭的木棍表示向量，并在兩個(gè)同學(xué)的幫助下構(gòu)建空間向量的關(guān)系. 同時(shí)提醒學(xué)生根據(jù)空間中三根直線（立體幾何的知識(shí)）可能的關(guān)系，來(lái)猜想向量的關(guān)系（多考慮方向這個(gè)因素），這樣學(xué)生在具體的事物之下構(gòu)建出來(lái)的空間向量關(guān)系就比較清晰了. 在這種背景下再向?qū)W生提出問(wèn)題：在一個(gè)三維空間，向量的運(yùn)算是如何進(jìn)行的呢？有了前面的素材作為思維的材料，有了問(wèn)題作為驅(qū)動(dòng)，學(xué)生的思維自然就圍繞空間的向量可能性去思考其可能的運(yùn)算法則了. 在這樣的情境中，學(xué)生思維的指向性非常明確，即使是猜想也少了許多的毫無(wú)理由，因?yàn)樵谶@個(gè)思維場(chǎng)中，學(xué)生的思維是圍繞明確的對(duì)象并在有效的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)之下展開的，因此思維就是高效的. 歸納這種情境創(chuàng)設(shè)的成功，實(shí)質(zhì)上就是思維場(chǎng)營(yíng)造策略的成功.

2. 第二種情況：新知構(gòu)建時(shí)的思維場(chǎng)營(yíng)造策略

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，新知構(gòu)建的有效性體現(xiàn)在學(xué)生能夠?qū)⑿聦W(xué)的知識(shí)有效地納入原有的知識(shí)體系，這個(gè)過(guò)程從皮亞杰認(rèn)知心理學(xué)的角度來(lái)看，要么是同化，要么是順應(yīng). 而從思維場(chǎng)的營(yíng)造角度來(lái)看，則是學(xué)生通過(guò)某個(gè)場(chǎng)中思維的運(yùn)用，在新舊知識(shí)之間形成了接觸點(diǎn)，從而將新知識(shí)的大廈牢固地建立在這些接觸點(diǎn)之上. 而這，就是新知構(gòu)建中思維場(chǎng)的營(yíng)造策略.

在“圓錐曲線”的教學(xué)中，很多學(xué)生對(duì)一個(gè)平面與一個(gè)圓錐面相截可以得到橢圓、雙曲線、拋物線等曲線感覺(jué)到神奇，原因在于他們此前學(xué)習(xí)這三種曲線時(shí)都是孤立的，認(rèn)為三者之間即使可以比較但聯(lián)系性也是不強(qiáng)的. 待到這種情境下，怎么看起來(lái)三種曲線就好像是一母所生（學(xué)生語(yǔ)）呢？為了解答學(xué)生的這個(gè)問(wèn)題（這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)與本課內(nèi)容無(wú)關(guān)，但其實(shí)很重要，因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題是指向?qū)W生的思維的，這個(gè)問(wèn)題不解決，學(xué)生在理解這三種典型的圓錐曲線時(shí)就會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知上的障礙，這種障礙會(huì)影響他們對(duì)圓錐曲線的理解），于是筆者做了一個(gè)工作，那就是讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)：圓錐面是怎么形成的？這個(gè)問(wèn)題提出之后，學(xué)生的思維是活躍的，因?yàn)樗麄冄杆僖庾R(shí)到（這實(shí)際上就是一個(gè)高效思維的過(guò)程）圓錐面實(shí)際上可以看作一條直線繞著與他相交但不垂直的另一條直線旋轉(zhuǎn)而成的曲面，這樣的一個(gè)空間想象過(guò)程（必要的時(shí)候教師可以提供課件來(lái)支撐學(xué)生的想象表象），可以進(jìn)一步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：所謂的平面截圓錐面，實(shí)際上可以理解為一根直線繞著另一根相交且不垂直的直線轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，被另一根在同一平面內(nèi)平移的直線相截，由于后面的這根直線截入角度不同，因而所得到的圖形也就不同，于是就出現(xiàn)了不同的圓錐曲線. 反之，觀看這三種不同的圓錐曲線，其實(shí)也可以看到它們相同的地方，那就是都可以分為兩部分（學(xué)生自己總結(jié)的）：這兩部分開口大小不同，方向相反則為拋物線或雙曲線，開口相對(duì)并結(jié)合起來(lái)就是橢圓. 這樣的理解雖然有些粗糙，但因其是學(xué)生基于已有知識(shí)進(jìn)行的思維，因此不失為學(xué)生構(gòu)建關(guān)于圓錐曲線的有效的默會(huì)知識(shí).

3. 第三種情況：?jiǎn)栴}解決中的思維場(chǎng)營(yíng)造策略

問(wèn)題解決是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重頭戲，問(wèn)題解決的挑戰(zhàn)也在于問(wèn)題的抽象性. 因此日常訓(xùn)練中，教師要培養(yǎng)學(xué)生善于將抽象的數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)化為形象的數(shù)學(xué)思維加工對(duì)象的過(guò)程，這也需要思維場(chǎng)的支撐. 這一點(diǎn)，實(shí)際教學(xué)中教師努力較多，筆者不贅述，簡(jiǎn)單舉一例吧，蘇教版“圓錐曲線”教材中，介紹了“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)”這一內(nèi)容，學(xué)生很感興趣，在知識(shí)的學(xué)科遷移中可以對(duì)本章知識(shí)的理解進(jìn)一步深化，教師利用一點(diǎn)時(shí)間跟學(xué)生一起研究這一內(nèi)容，收獲必定良多.

■思維場(chǎng)的最終指向應(yīng)是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

思維說(shuō)到底是學(xué)生的思維，因此思維場(chǎng)說(shuō)到底應(yīng)當(dāng)是面向?qū)W生的數(shù)學(xué)思維，由教師去努力構(gòu)造的能夠促進(jìn)學(xué)生思維的情境.

筆者的經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)教師致力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維時(shí)，就已經(jīng)觸摸到了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的大門上的鎖，而如果知道培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維需要類似于“場(chǎng)”的支撐，那就是找到了打開數(shù)學(xué)大門的鑰匙. 只有當(dāng)數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的意識(shí)立足于學(xué)生時(shí)，亦即通過(guò)學(xué)生自身的努力去使得他們的數(shù)學(xué)思維得到發(fā)展時(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)才是真正有效的.

思維場(chǎng)其實(shí)只是數(shù)學(xué)教學(xué)研究中生成的一個(gè)促進(jìn)教師與學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)形成深刻理解的概念，其本質(zhì)上還是通過(guò)思維的發(fā)展去形成數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)分析能力，而這些正是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn).